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Zahlensysteme und Dualarithmetik copyleft: munz Zahlensysteme: Dualarithmetik: (Binärsystem) (Sedezimalsystem) Ende Dezimalsystem Dualsystem Hexadezimalsystem.

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Präsentation zum Thema: "Zahlensysteme und Dualarithmetik copyleft: munz Zahlensysteme: Dualarithmetik: (Binärsystem) (Sedezimalsystem) Ende Dezimalsystem Dualsystem Hexadezimalsystem."—  Präsentation transkript:

1 Zahlensysteme und Dualarithmetik copyleft: munz Zahlensysteme: Dualarithmetik: (Binärsystem) (Sedezimalsystem) Ende Dezimalsystem Dualsystem Hexadezimalsystem Oktalsystem Division Multiplikation Subtraktion Addition

2 Copyleft: munz Dualsystem (Binärsystem) Basis: 2 Zeichenvorrat: {0;1} Umwandlung von Dezimalsystem in das Dualsystem mit Restdivision (Modulo-Operation) –beliebige Zahl dividiert durch 2 ergibt als Rest entweder 0 oder 1 Notwendig für Dualarithmetik

3 Copyleft: munz Umwandlung Dezimal- in Dualsystem 168 : 2 = 84Rest 0 84 : 2 = 42Rest 0 42 : 2 = 21Rest 0 21 : 2 = 10Rest 1 10 : 2 = 5Rest 0 5 : 2 = 2Rest 1 2 : 2 = 1Rest 0 1 : 2 = 0Rest 1 Schreibweise der Ergebnisse in umgekehrter Reihenfolge: 168 10 = 10101000 2 Schnelle Umrechnungen mit dem Windowstaschenrechner in wissenschaftlicher Ansicht: Mehrere Wege zur Berechnung möglich

4 Copyleft: munz Umwandlung Dual- in Dezimalsystem 10101000 2 = 1*2 7 +0*2 6 +1*2 5 +0*2 4 +1*2 3 +0*2 2 +0*2 1 +0*2 0 = 128+0+32+0+8+0+0+0 = 168 10

5 Copyleft: munz Basis 8 Zeichenvorrat {0;1;2;3;4;5;6;7} Erleichtert den Umgang mit Dualzahlen Aus 3-Bit-Worten können acht verschiedene Kombinationen dargestellt werden Oktalsystem

6 Copyleft: munz Umwandlung Dual- in Oktalsystem binär 000 001010011100101110111 oktal 01234567 dezi. 01234567 1.Zerteilen der Dualzeichenfolge in 3er-Gruppen von rechts beginnend 2.Umschreiben der Dualzahl in eine Oktalzahl 3009 10 binär 101 111 000 001 oktal5 701 = 101111000001 2 = 5701 8

7 Copyleft: munz Umwandlung Oktal- in Dezimalsystem Zur Umwandlung von Oktal- in Dezimalzahlen einfach die Oktalzahl mit ihrem Stellenwert potenzieren und die Ergebnisse addieren: 5701 (8) 1 * 8 0 = 1 0 * 8 1 = 0 7 * 8 2 = 448 5 * 8 3 = 2560 3009 (10)

8 Copyleft: munz Umwandlung Dezimal- in Oktalsystem Zur Umwandlung von Dezimal- in Oktalzahlen muss die Dezimalzahl mit Hilfe der Modulo- Operation umgewandelt werden und von der höchsten oktalen Stelle aus gelesen werden: 3009 : 8 = 376Rest 1 376 : 8 = 47Rest 0 47 : 8 = 5Rest 7 5 : 8 = 0Rest 5 5 7 0 1 (8)

9 Copyleft: munz Dezimalsystem Basis: 10 Zeichenvorrat: {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9} Ziffern besitzen Nenn- und Stellenwert –Nennwert: wirklicher Wert der Ziffer –Stellenwert: Wert der Ziffer innerhalb der dargestellten Zahl Beispiel: 4186 = 4*1000+1*100+8*10+6*1 = 4*10 3 +1*10 2 +8*10 1 +6*10 0

10 Copyleft: munz Hexadezimalsystem (Sedezimalsystem) Basis: 16 Zeichenvorrat: {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;A;B;C;D;E;F} In der Praxis können mit wenig Zeichen große Zahlen dargestellt werden Anwendung bei Programmiersprachen, Farbangaben bei Grafikprogrammen zweithäufigst genutztes Zahlensystem (n. DEZ) Verminderte Fehleranfälligkeit Wird auf maschinennaher Umgebung häufig in Assemblersprachen genutzt

11 Copyleft: munz Hexadezimalsystem - Zeichenvorrat DEZ 01234567 BIN 00000001001000110100010101100111 HEX 01234567 DEZ 89101112131415 BIN 10001001101010111100110111101111 HEX 89ABCDEF

12 Copyleft: munz Umwandlung Hexadezimal- in Dezimalsystem Die Stellenwerte des Hexadezimalsystems sind Potenzen zur Basis 16. BC1 (16) 1 * 16 0 = 1 12 * 16 1 = 192 11 * 16 2 = 2816 3009 (10)

13 Copyleft: munz Umwandlung Dezimal- in Hexadezimalsystem Zur Umwandlung von Dezimal- in Hexadezimalzahlen muss die Reste von unten nach oben angeschrieben werden 3009 : 16 = 188Rest 1 188 : 16 = 11Rest 12 11 : 16 = 0Rest 11 B C 1 (16)

14 Copyleft: munz Dualarithmetik - Addition stellenweises Rechnen von geringst- wertigen zur höchstwertigsten Stelle, also von rechts nach links Stellenübertrag analog zum Rechnen im Dezimalsystem Zusätzliche Regeln unbedingt beachten: 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 0 Übertrag 1

15 Copyleft: munz Addition - Rechnung Beispiel: 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 0 Übertrag 1 Addition dezimalAddition dual 168 + 37 205 1 1 0 1 0 1 0 0 0 + 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0110011

16 Copyleft: munz Dualarithmetik - Subtraktion stellenweises Rechnen von geringst- wertigen zur höchstwertigsten Stelle, also von rechts nach links Stellenübertrag analog zum Rechnen im Dezimalsystem Zusätzliche Regeln unbedingt beachten: 0 - 0 = 0 0 - 1 = 1 Übertrag 1 1 - 0 = 1 1 - 1 = 0

17 Copyleft: munz Subtraktion - Rechnung Beispiel: Subtraktion dezimalSubtraktion dual 168 - 37 131 1 1 0 1 0 1 0 0 0 - 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1000001 0 - 0 = 0 0 - 1 = 1 Übertrag 1 1 - 0 = 1 1 - 1 = 0 11 Berechnung auch über Komplementbildung möglich

18 Copyleft: munz Dualarithmetik - Multiplikation Vorgehensweise simultan zur schriftlichen Multiplikation im Dezimalsystem Kein Stellenübertrag Ergebnisse aus Teilmultiplikationen werden zu Summe addiert (Dualaddition) Zusätzliche Regeln unbedingt beachten: 0 * 0 = 0 0 * 1 = 0 1 * 0 = 0 1 * 1 = 1

19 Copyleft: munz Multiplikation - Rechnung Beispiel: Multiplikation dezimalMultiplikation dual 1 1 * 0 = 00 * 0 = 0 0 * 1 = 01 * 1 = 1 12*14 12 48 168 1 1 0 0 * 1 1 1 0 01 0011 0011 0011 0000 000011 1 1

20 Copyleft: munz Dualarithmetik - Division Komplexeste Arithmetik Rechnung wird an höchster Stelle des Dividenden begonnen 1.Prüfen ob Divisor vollständig abgezogen werden kann (mittels Dualsubtraktion) 2. Ja:Notierung einer 1 im Ergebnis und mit Rest weiterrechnen. Nein:Notierung einer 0 im Ergebnis, eine Stelle nach rechts rücken und nochmals prüfen

21 Copyleft: munz Division - Rechnung Beispiel: 168/6=28 12 48 48 0 10101000 / 110 = Division dezimalDivision dual 00111 1 - 110 geht nicht 10 - 110 geht nicht 101 - 110 geht nicht 1010 - 110 geht (Rest 100) 1001 - 110 geht (Rest 11) 110 - 110 geht (Rest 0) 0 - 110 geht nicht 1010 -0110 0100 1 000 1001 -0110 0011 11

22 Copyleft: munz Division - Rechnung 10101000/110=00011100 -110 1001 -110 110 -110 0 Beispiel übersichtlicher:


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