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1 Fachwissenschaftliches Seminar unter der Leitung von Herrn Prof. Dr. W. Bley WS 2008/09 Summenformel Teil 1 Referentin: Pelin Özgün Kanat.

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1 1 Fachwissenschaftliches Seminar unter der Leitung von Herrn Prof. Dr. W. Bley WS 2008/09 Summenformel Teil 1 Referentin: Pelin Özgün Kanat

2 2 Summenformeln Summenformel für n aufeinanderfolgende natürliche Zahlen (d=1) Bsp.: a) 1,2,3,4 (n=4) b) 6,7,8,9 (n=4) c) 6,7,8,9,10 (n=5)

3 3 n kann entweder gerade oder ungerade sein Entwickeln einer Summenformel n- gerade ungerade Ziel: Durch reines umordnen

4 4 Für n= gerade Bsp.: S 4 =(a 1 + a 4 )*n/ (6+ 9)*4/2=30

5 =40 Diese Operation (Ausgleich um die Mittelzahl) kann auch durch Treppen veranschaulicht werden: Für n = ungerade S 5 =a 3 *n

6 6 Allgemein n= k n= k n= k n= 2k, k N (a 1 +a n )* (n/2) Für n= gerade (n= 2k)

7 7 ak+1 n= (2 k+1 ) (a k+1 )* n n= (2 k+1 ) Für n= ungerade (n= 2k+1)

8 8 Ohne reines umordnen n= 4 n=3 (gerade) (ungerade) Idee: Verdoppeln des Zahlenturms

9 9 a 1 + a 4 n= 4 n= 3 Gleiches Prinzip keine Unterteilung in gerade/ ungerade n nötig a 1 + a 3

10 10 Allgemein a 1 + a n n (a 1 + a n )* n/2

11 11 Verallgemeinerung von aufeinanderfolgend (d=1) zu gleichen Abstand (d N) Bsp.: a) 1,5,9,13 n=4; d=4 b) 5,8,11,14 n=4; d=3 c) 11,13,14 n=3; d=2 d) 2,4,6,8 n=4; d=2 d) d= 2

12 summiert 7 20= : 2=70 Summe der Reihe: 70, da Bsp.: Startzahl 1 und Additionszahl 3 Wir addieren geschickt beide Reihen durch die zweifache Summierung (Da wir vorher verdoppelt haben wird es wieder am Ende halbiert)

13 13 Summe der ersten n-Folgeglieder Allgemein: a= Startzahl d= Abstand n= Glieder

14 14 Summe der ersten n-Folgeglieder Allgemein: a= Startzahl d= Abstand n= Glieder Durch die zweifache Summierung erhalten wir: 2a+(n-1)*d mal n/2 (a+ (n-1)/2*d))*n a a+ d a+2d … a+(n-3)d a+(n-2)d a+(n-1)d a+(n-1)d a+(n-2)d a+(n-3)d … a+2d a+ d a +

15 15 Veranschaulicht 2a+(n-1)d n

16 16 Formeln: 1)Erste Glied (a) und das letzte Glied z=a+(n-1) sind bekannt: S n (a, z)= n * (a+ z)/2 2) Erste Glied (a) und der Abstand (d) mit n- Glieder sind bekannt: S n (a, d)= n* a + (n-1)*n/2*d D n-1

17 17 (n-1)*n/2*d D n-1 (Dreieckszahl) Def.: D n := k= (n+1)*n/2 (Für n-te Dreieckszahl) n k=1

18 Summe der ersten n natürlichen Zahlen

19 Summe der ersten n ungeraden Zahlen

20 20 Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ist die n- te Quadratzahl. Die Summe der ersten n geraden Zahlen ist das doppelte der n- ten Dreieckzahlen.

21 21 Müller, Gerhard N., Steinbring, Heinz, Wittmann Erich Ch. (Hg.): Arithmetik als Prozess, Kallmeyersche Verlagsbuchhandlung GmbH, Seelze, 2004 Literaturangabe:


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