Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

Folie 1 §10 Vektorraum. Definition und Beispiele (10.1) Definition: Ein Vektorraum über dem Körper K ist eine additive abelsche Gruppe V, also für alle.

Ähnliche Präsentationen


Präsentation zum Thema: "Folie 1 §10 Vektorraum. Definition und Beispiele (10.1) Definition: Ein Vektorraum über dem Körper K ist eine additive abelsche Gruppe V, also für alle."—  Präsentation transkript:

1 Folie 1 §10 Vektorraum. Definition und Beispiele (10.1) Definition: Ein Vektorraum über dem Körper K ist eine additive abelsche Gruppe V, also für alle x,y,z aus V : Wir wiederholen (vgl. auch 2.3) : Der Begriff des Vektorraumes wurde in den letzten Paragrafen entwickelt. 1 o (x + y) + z = x + (y + z) 2 o Es gibt 0 (Nullvektor) mit: x + 0 = x = 0 + x. 3 o Zu jedem x aus V existiert -x aus V mit x+(-x) = 0. 4 o x + y = y + x, zusammen mit einer Skalarmultiplikation so dass für alle x,y aus V und alle r,s aus K : 5 o 1x = x. 6 o r(x + y) = rx + ry. 7 o (r + s)x = rx + sx. 8 o (rs)x = r(sx).

2 Folie 2 Kapitel II, §10 1 o r(0) = 0 (0 ist der Nullvektor.) Wie für Untergruppen (vgl. 8.11) haben wir den Satz: (10.2) Bemerkungen: Sei V eine Vektorraum über K. (V wird auch kurz K-Vektorraum genannt.) Dann gilt für all x aus V und all r aus K: 3 o (-1)x = -x. 2 o 0x = 0 (Linke Seite: 0 ist die Null im Körper K; rechte Seite: 0 ist der Nullvektor.) 4 o (-1)(-1) = 1 und 0r = 0 im Körper K. (10.3) Definition: Sei V eine Vektorraum über K. Ein Untervektor- raum ist eine Menge U in V, die bezüglich der auf V gegebenen Addition und Skalarmultiplikation ein Vektorraum über K ist. (10.4) Satz: Sei V eine Vektorraum über K. Eine nichtleere Menge U in V ist genau dann ein Untervektorraum, wenn für alle x,y in U und alle r aus K gilt: x+y, -y und rx liegen in U.

3 Folie 3 Kapitel II, §10 Weitere Beispiele von Vektorräumen: 3 o {(r,s,0) : r,s aus K} ist ein Untervektorraum von K 3. 4 o Sind U und W Untervektorräume von V, so ist auch der Durchschnitt eine Untervektorraum. 5 o Für die Vereinigung gilt das in der Regel nicht. 1 o F ist ein Vektorraum über R bezüglich der komponentenweise Addition und Multiplikation. 2 o F b := {x aus F: x ist beschränkt} ist ein Untervektorraum von F. (10.6) Folgenräume: Es geht zunächst um Folgen in der Analysis. Sei F die Menge aller Folgen x = (x 0, x 1, x 2,... ) reeller Zahlen x k. 1 o {0} und V sind Untervektorräume von V. (10.5) Beispiele: Sei V eine Vektorraum über K. 2 o Sei v aus V\{0}. Dann ist die Menge Kv := {rv : r aus K} ein Untervektorraum von V.

4 Folie 4 Kapitel II, §10 3 o F k := {x aus F: x ist konvergent} ist ein Untervektorraum von F b. 4 o F 0 := {x aus F: x ist Nullfolge} ist Untervektorraum von F k. 5 o F hp := {x aus F: x hat einen Häufungspunkt in R} ist kein Untervektorraum von F. 6 o F e := {x aus F: {x k : k aus N} ist endlich} ist ein Untervektorraum von F k. 7 o F c := {x aus F: x ist konstant ab einem Index m} ist ein Untervektorraum von F k und F e, und zwar der Durchschnitt dieser beiden Untervektorräume. 8 o Definition: Eine Folge x = (x k ) aus F heißt absolut summier- bar, wenn die Reihe mit dem allgemeinen Glied |x k | konvergiert. F 0 wird meistens mit c 0 bezeichnet. := {x aus F: x ist absolut summierbar} ist ein Untervektorraum von c 0.

5 Folie 5 Kapitel II, §10 Zu 3 o und 4 o : Eine komplexe Zahlenfolge z k = x k + iy k ist genau dann konvergent mit Grenzwert z = x + iy, wenn (x k ) gegen x und (y k ) gegen y konvergieren, dh. wenn |z k - z| gegen 0 konvergiert. 9 o Definition: Eine Folge x = (x k ) aus F heißt quadratsummier- bar, wenn die Reihe mit dem allgemeinen Glied |x k | 2 konvergiert. := {x aus F: x ist quadratsummierbar} ist ein Untervektorraum von c 0. (10.7) Räume komplexer Zahlenfolgen: Entsprechend hat man den Raum aller komplexen Zahlenfolgen und die zu 10.6 analogen Untervektorräume: Zu 2 o benötigt man den Betrag in C, gegeben als |z| := für z = x + iy, x,y aus R. Zu 5 o, 8 o und 9 o : Analog überträgt man die Definition von Häufungspunkt, absolut summierbar und quadratsummierbar auf komplexe Zahlenfolgen z k = x k + iy k.

6 Folie 6 Kapitel II, §10 (f+g)(m) := f(m) + g(m), (10.8) Räume von Abbildungen: Sei K ein Körper und M eine Menge. Die Menge der Abbildungen Abb(M,K) = K M ist in natürlicher Weise ein K-Vektorraum bezüglich: (rf)(m) := rf(m) für f,g aus K M, Für alle m aus M und r aus K. Bemerkungen: 1 o Der in 10.6 (bzw. in 10.7) beschriebene Folgenraum ist R N (bzw. C N ). Allgemeinere Folgenräume (Folgen von Körperele- menten aus K) sind die K N. 2 o Auch der Standardraum K n ist als Abbildungsraum aufzufassen, es handelt sich um K M für M = {1,2,...,n}. 3 o Für einen Vektorraum V über K ist auch V N, der Raum der Folgen in V, ein Vektorraum von Abbildungen.

7 Folie 7 Kapitel II, §10 4 o Für einen Vektorraum V über K ist ganz allgemein V M ein K-Vektorraum. 5 o Die meisten Vektorräume von Bedeutung in der Analysis sind Untervektorräume von K M für K = R oder K = C. (10.9) Räume von Abbildungen mit endlichem Träger: Der Träger einer Abbildung x aus Abb(M,K) = K M ist nach Definition die Menge T = T(x) := {m aus M : x(m) ist nicht Null}. K M hat als Untervektorraum den Raum K (M) := {x : x aus Abb(M,K) mit endlichem Träger}. Sei für a aus M die Abbildung durch Bemerkung: Offensichtlich ist ein Element von K (M). Es gilt: Jedes Element x aus K (M) hat eine eindeutige Darstellung als endliche Summe der Form:

8 Folie 8 Kapitel II, §10 Den K-Vektorraum der Polynome mit Koeffizienten schreibt man auch als K[T]. mit geeigneten von Null verschiedenen x k aus K und a k aus M. (10.10) Polynome: Die Folgen mit endlichem Träger in einem Körper, also die Vektoren aus K (N), lassen sich auch als Polynome mit Koeffizienten aus K auffassen: Die für n aus N schreibe man als T n, dann hat nach dem Vorangehenden ein Element p aus K (N) stets die Form: mit den Koeffizienten p k aus K (hier dürfen einige der p k Null sein). Ein Polynom p der Form bestimmt eine Abbildung von K nach K, die zugehörige Polynomabbildung, die folgendermaßen definiert ist:

9 Folie 9 Kapitel II, §10 (10.11) Stetige und differenzierbare Abbildungen: I sei ein Intervall in R. Dann ist C(I) := {f : f ist aus R I und f ist stetig} ein Untervektorraum von R I. Ferner ist C k (I) := {f : f ist aus R I und f ist k-mal stetig differenzierbar} ein Untervektorraum von C k-1 (I). In diesem Sinne ist K[T] ein Untervektorraum von K K. Zurück zu den affinen Räumen, mit denen wir den Begriff des Vektorraumes motiviert haben: Es sei V ein Vektorraum über K. Setze A = A(V) := V, T = T(V) := V und t(P,Q) := Q – P für P,Q aus A. Dann ist (A(V), T(V), t) ein affiner Raum ! R[T] als Raum von Polynomabbildungen von R nach R lässt sich als Untervektorraum von C k (I) auffassen.


Herunterladen ppt "Folie 1 §10 Vektorraum. Definition und Beispiele (10.1) Definition: Ein Vektorraum über dem Körper K ist eine additive abelsche Gruppe V, also für alle."

Ähnliche Präsentationen


Google-Anzeigen