Elementare Grundlagen der Vektorrechnung

Präsentation zum Thema: "Elementare Grundlagen der Vektorrechnung"—  Präsentation transkript:

1 Elementare Grundlagen der Vektorrechnung
Kursfolien Karin Haenelt

2 Definition: Vektor Vektoren sind Größen, die durch - Betrag - Richtungsangabe bestimmt sind Das geometrische Bild eines physikalischen Vektors ist ein Pfeil mit der Richtung des Vektors, dessen Länge den Betrag des Vektors repräsentiert. (Weltner, 1999, 15)

3 Bezeichnungen Repräsentant eines Vektors Bezeichnung eines Vektors
Bezeichnung eines Vektors mit Anfangspunkt A und Endpunkt B Einheitsvektor, Vektor mit dem Betrag einer Längeneinheit Einheitsvektor der Länge 1 in x-Richtung

4 Komponentendarstellung
Angaben zur Konstruktion eines Vektors: Das benutzte Koordinatensystem Die Komponenten des Vektors in Richtung der Koordinatenachsen z az a y ay ax x (Weltner, 1999, 24)

5 Addition – geometrisch (1)
b b b a a a Parallel- Vektor verschiebung bis Anfangspunkt Vektor = Endpunkt Vektor b b a Vektor - Summe von und - Anfangspunkt = Anfangspunkt von - Endpunkt = Endpunkt von c a b a b (Weltner, 1999, 16)

6 Addition – geometrisch (2)
Summenvektor Resultante

7 Addition – Komponentenschreibweise
y -2 -1 1 2 3 x

8 Multiplikation mit einem Skalar

9 Betrag – zweidimensionaler V.
x y ay ax Betrag = Länge des Pfeils c a b Satz des Pythagoras „Im rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrats über der Hypothenuse“

10 Betrag – dreidimensionaler V.
z az a y ay ax x

11 Skalarprodukt - geometrische Deutung (1)
Skalarprodukt: Multiplikation der Beträge zweier Vektoren unter Berücksichtigung der Richtungs- abhängigkeit der Vektoren ergibt eine skalare Größe Schreibweisen:

12 Skalarprodukt - geometrische Deutung (2)
Das skalare Produkt zweier Vektoren und ist gleich dem Produkt aus dem Betrag des Vektors und dem Betrag der Projektion von auf a b a b a b a a (Weltner, 1999, 39)

13 Skalarprodukt - Komponentendarstellung
Skalares Produkt der Einheitsvektoren Herleitung (Weltner, 1999, 41)

14 Skalarprodukt - Beispiel
(Weltner, 1999, 42)

15 Trigonometrische Ausdrücke
b a x y ay ax a

16 Beispielaufgabe Es soll der Winkel zwischen den Vektoren r1 = -6i + 8j
r2 = 3i – 4j + 12k berechnet werden Leupold, 1976, 495)

17 Lösung der Beispielaufgabe
Aus folgt (Leupold, 1976, 495)

18 Formeln Addition Multiplikation mit Skalar Skalar- produkt Betrag

19 Literatur Leupold, Wilhelm (1976): Vektoralgebra. In: Birnbaum, H.; Götzke, H.; Kreul, H.; Leupold, W.; Müller, F.; Müller, P.H.; Nickel, H.; Sachs, H. (Hrsg.): Algebra und Geometrie für Ingenieure. Leipzig, VEB Fachbuchverlag, S SchülerDuden Mathematik II. Mannheim, Leipzig, Wien, Zürich: DudenVerlag, 2000 Weltner, Klaus (1999): Mathematik für Physiker. Basiswissen für das Grundstudium der Experimentalphysik. Wiesbaden: Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH. 11. Aufl. 1999