Numerik Hauptsache, man hat Zahlen 'raus

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1 Numerik Hauptsache, man hat Zahlen 'raus
Was man exakt nicht schafft, das macht man mit Numerik Fallen und Fußangeln in der Numerik Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

2 Numerik Numerik bewältigt vieles in den Anwendungen
Fallen und Fußangeln in der Numerik Was man exakt nicht schafft, das macht man mit Numerik Hauptsache, man hat wenigstens Zahlen 'raus Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

3 Numerik Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

4 Lagrange-Interpolation
Phänomen verstehen Erklärung verstehen p(x) = c0 la0(x) + c1 la1(x) + c2 la2(x) + c3 la3(x) Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

5 Lagrange-Interpolation
hier fehlt (x-c) ! p(x) = c0 la0(x) + c1 la1(x) + c2 la2(x) + c3 la3(x) Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

6 Lagrange-Interpolation
hier fehlt (x-c) ! p(x) = c0 la0(x) + c1 la1(x) + c2 la2(x) + c3 la3(x) Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

7 Lagrange-Interpolation
hier fehlt (x-c) ! Jeder Punkt erzeugt einen Baustein. p(x) = c0 la0(x) + c1 la1(x) + c2 la2(x) + c3 la3(x) la(x) = y(A) / ((x(A) - x(B)) (x(A) - x(C)) (x(A) - x(D))) (x - x(B)) (x - x(C)) (x - x(D)) + y(B) / ((x(B) - x(A)) (x(B) - x(C)) (x(B) - x(D))) (x - x(A)) (x - x(C)) (x - x(D)) + y(C) / ((x(C) - x(A)) (x(C) - x(B)) (x(C) - x(D))) (x - x(A)) (x - x(B)) (x - x(D)) + y(D) / ((x(D) - x(A)) (x(D) - x(B)) (x(D) - x(C))) (x - x(A)) (x - x(B)) (x - x(C)) Lagrange-Algorithmus in einem Schritt aufgeschrieben. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

8 Wirtschaftsfunktionen mit Lagrange-Interpolation
D Modelliere die Kostenfunktion passend. Kosten Stückkosten variable Stückkosten Grenzkosten BM = Betriebsminimum BO = Betriebsoptimum kPug= kurzfristige Preisuntergrenze lPug= langfristige Preisuntergrenze Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

9 Wirtschaftsfunktionen mit Lagrange-Interpolation
D Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

10 Numerik beim Bauen Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

11 Splines = Straklatten Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

12 Splines im Schiffbau Halber Querschnitt In gekippter Lage
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

13 Kubische Splines Vier „Nägel“ markieren die Form.
Von einem zum nächsten legt man ein Polynom 3. Grades (daher „kubisch“). Man sorgt für gute Übergänge und fügt alle passend zusammen. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

14 Splines als Formkonzept
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

15 Bézier-Splines Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

16 Bézier-Splines Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

17 Bézier-Splines Sie sind aus Bernstein-Polynomen aufgebaut.
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

18 Bézier-Splines Sie sind aus Bernstein-Polynomen aufgebaut.
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

19 Bézier-Splines Von Pierre Étienne Bézier um 1960 für Renault entwickelt. Bézier gilt als Begründer von CAD und CAM. De Casteljau entwickelte entsprechendes für Citroen, durfte es aber nicht veröffentlichen. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

20 CAD Computer Aided Design
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

21 CAD Computer Aided Design
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

22 Fallen und Fußangeln in der Numerik
Mit welcher Maschinengenauigkeit arbeitet Ihr Taschenrechner? =0 ? Die Maschinengenauigkeit MG ist die kleinste Zahl, deren Addition zu 1 von der Maschine noch gemerkt wird. Ist e12 ungleich 0 aber e13 =0, dann ist MG=10-12 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

23 Grundlagen der Numerik mit Computer
exakt 3 Nachkommastellen, 6 tragende Ziffern 8 Nachkommastellen, 6 tragende Ziffern Exponent Mantisse Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

24 Grundlagen der Numerik mit Computer
Gleitpunktzahl = floatingpoint number Vor- zeichen- bit 52 Bit für die Mantisse 11 Bit für den Exponenten 64 Bit für eine Kommazahl das sind 8 Byte Das sind dann etwa 16 dezimale Stellen für die Mantisse Die Zehnerpotenzen laufen etwa von +300 bis -300 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

25 Grundlagen der Numerik mit Computer
Gleitpunktzahl = floatingpoint number Das sind dann etwa 16 dezimale Stellen für die Mantisse Die Zehnerpotenzen laufen etwa von +300 bis -300 Die Abstände zwischen den darstellbaren Zahlen werden immer größer. Unterscheiden sich zwei große Zahlen erst nach mehr als 16 Stellen kann ihre Differenz nicht ordentlich berechnet werden. Differenz-katastrophe Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

26 Weitere Pannen Klar, das ist beide Male eine Gerade Excel
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27 Weitere Pannen nicht gelungen Excel
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28 Fallen und Fußangeln in der Numerik
Beispiel für Rechenfehler (Kulisch, Miranker[270]) x = y = z = (1682*x*y4 + 3*x3 + 29*x*y2 - 2*x ) / Wir wenden zur Lösung 3 Systeme an: Berechnung mit Mathematica Berechnung mit Taschenrechner Berechnung mit Programmiersprache C Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

29 16 Stellen Maschinengenauigkeit
Numerik Programm Eingabe Precision Resultat Ergebnis Mathematica infinity 1783 richtig 36 Stellen 117 35 Stellen 113 0. falsch 17 Stellen 57 0.E+13 16 Stellen Maschinengenauigkeit 53 E+20 Taschenrechner E-03 Turbo C Single precision 24 E+29 Double precision E-03

30 Fallen und Fußangeln in der Numerik
für x = y = Das war eine Differenzkatastrophe Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

31 Fallen und Fußangeln in der Numerik
Bei der Berechnung von Konfidenzintervallen kann es von Hand durch Runden leicht zur Differenzkatasprophe Kommen. Diese Berechnung ist „schlecht konditioniert“. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

32 Numerische Verfahren Was man exakt nicht schafft, das macht man mit Numerik, Hauptsache, man hat wenigstens Zahlen 'raus. Rekursive, b.z.w. iterative Konzepte Heronverfahren für Wurzeln Nullstellenverfahren ( Mitten~, Sekanten~ , Newton~) Modellierung von Prozessen (logistisch...) Numerische Lösung von Differentialgleichungen Weitere Konzepte: Numerische Integration, Taylorreihen, Fourierreihen, Klangverarbeitung, ... Finite-Element-methode, Simulationen,.... Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,

33 Die Klothoide, nur numerisch zu bewältigen
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg,