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Harmonische Schwingungen. Systeme, die beim Verlassen der Ruhelage eine zur Auslenkung proportionale Rückstellkraft aufbringen, sind zu harmonischen Schwingungen.

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Präsentation zum Thema: "Harmonische Schwingungen. Systeme, die beim Verlassen der Ruhelage eine zur Auslenkung proportionale Rückstellkraft aufbringen, sind zu harmonischen Schwingungen."—  Präsentation transkript:

1 Harmonische Schwingungen

2 Systeme, die beim Verlassen der Ruhelage eine zur Auslenkung proportionale Rückstellkraft aufbringen, sind zu harmonischen Schwingungen befähigt.

3 Harmonische Schwingungen Systeme, die beim Verlassen der Ruhelage eine zur Auslenkung proportionale Rückstellkraft aufbringen, sind zu harmonischen Schwingungen befähigt. Man nennt sie harmonische Oszillatoren.

4 Harmonische Schwingungen Systeme, die beim Verlassen der Ruhelage eine zur Auslenkung proportionale Rückstellkraft aufbringen, sind zu harmonischen Schwingungen befähigt. d2fd2f dt 2 Jede DGL der Form Man nennt sie harmonische Oszillatoren. + K f = 0(wobei K > 0)

5 Harmonische Schwingungen Systeme, die beim Verlassen der Ruhelage eine zur Auslenkung proportionale Rückstellkraft aufbringen, sind zu harmonischen Schwingungen befähigt. d2fd2f dt 2 Jede DGL der Form Man nennt sie harmonische Oszillatoren. + K f = 0(wobei K > 0) führt auf eine harmonische Schwingung f(t) = f sin (t - t 0 ) ^

6 Harmonische Schwingungen Systeme, die beim Verlassen der Ruhelage eine zur Auslenkung proportionale Rückstellkraft aufbringen, sind zu harmonischen Schwingungen befähigt. d2fd2f dt 2 Jede DGL der Form Man nennt sie harmonische Oszillatoren. + K f = 0(wobei K > 0) führt auf eine harmonische Schwingung f(t) = f sin (t - t 0 ) mit = ÖK ^

7 Harmonische Schwingungen Systeme, die beim Verlassen der Ruhelage eine zur Auslenkung proportionale Rückstellkraft aufbringen, sind zu harmonischen Schwingungen befähigt. d2fd2f dt 2 Jede DGL der Form Man nennt sie harmonische Oszillatoren. + K f = 0(wobei K > 0) führt auf eine harmonische Schwingung f(t) = f sin (t - t 0 ) mit = ÖK ^ Sehr viele Systeme in Natur und Technik führen harmonische Schwingungen aus, wenn die Amplitude nicht zu groß ist.

8 Harmonische Schwingungen Systeme, die beim Verlassen der Ruhelage eine zur Auslenkung proportionale Rückstellkraft aufbringen, sind zu harmonischen Schwingungen befähigt. d2fd2f dt 2 Jede DGL der Form Man nennt sie harmonische Oszillatoren. + K f = 0(wobei K > 0) führt auf eine harmonische Schwingung ^ Sehr viele Systeme in Natur und Technik führen harmonische Schwingungen aus, wenn die Amplitude nicht zu groß ist. Hookesches Gesetz:F = -D s f(t) = f sin (t - t 0 ) mit = ÖK

9 Harmonische Schwingungen Systeme, die beim Verlassen der Ruhelage eine zur Auslenkung proportionale Rückstellkraft aufbringen, sind zu harmonischen Schwingungen befähigt. d2fd2f dt 2 Jede DGL der Form Man nennt sie harmonische Oszillatoren. + K f = 0(wobei K > 0) führt auf eine harmonische Schwingung ^ Sehr viele Systeme in Natur und Technik führen harmonische Schwingungen aus, wenn die Amplitude nicht zu groß ist. Hookesches Gesetz:F = -D s genauer:F = -D 1 s - D 2 s 2 - D 3 s f(t) = f sin (t - t 0 ) mit = ÖK

10 Harmonische Schwingungen Systeme, die beim Verlassen der Ruhelage eine zur Auslenkung proportionale Rückstellkraft aufbringen, sind zu harmonischen Schwingungen befähigt. d2fd2f dt 2 Jede DGL der Form Man nennt sie harmonische Oszillatoren. + K f = 0(wobei K > 0) führt auf eine harmonische Schwingung ^ Sehr viele Systeme in Natur und Technik führen harmonische Schwingungen aus, wenn die Amplitude nicht zu groß ist. Hookesches Gesetz:F = -D s genauer:F = -D 1 s - D 2 s 2 - D 3 s D n enthält den Faktor 1/I n, sodaß für s << l alle höheren Potenzen von s vernachlässigt werden können. f(t) = f sin (t - t 0 ) mit = ÖK

11 Mathematisches Pendel

12 m s F l mg

13 Mathematisches Pendel m s F l mg d2sd2s dt 2 F = m

14 Mathematisches Pendel m s F l mg d2sd2s dt 2 F = m s = l

15 Mathematisches Pendel m s F l mg d2sd2s dt 2 F = m = ml d 2 dt 2 s = l

16 Mathematisches Pendel m s F l mg d2sd2s dt 2 F = m = ml F = -mg sin d 2 dt 2 s = l

17 Mathematisches Pendel d2sd2s dt 2 F = m = ml F = -mg sin d 2 dt 2 -mg sin = ml d 2 dt 2 m s F l mg s = l

18 Mathematisches Pendel m s l mg d2sd2s dt 2 F = m = ml F = -mg sin d 2 dt 2 -mg sin = ml d 2 dt 2 sin = s/l

19 Mathematisches Pendel d2sd2s dt 2 F = m = ml F = -mg sin d 2 dt 2 -mg sin = ml d 2 dt 2 sin l + g = 0 d 2 dt 2 m s F l mg

20 Mathematisches Pendel d2sd2s dt 2 F = m = ml F = -mg sin d 2 dt 2 -mg sin = ml d 2 dt 2 sin l + g = 0 d 2 dt 2 + = 0 d 2 dt 2 g l m s F l mg

21 Mathematisches Pendel d2sd2s dt 2 F = m = ml F = -mg sin d 2 dt 2 -mg sin = ml d 2 dt 2 l + g = 0 d 2 dt 2 + = 0 d 2 dt 2 g (t) = sin (t - t 0 ) ^ m s F l mg l

22 Mathematisches Pendel d2sd2s dt 2 F = m = ml F = -mg sin d 2 dt 2 -mg sin = ml d 2 dt 2 l + g = 0 d 2 dt 2 + = 0 d 2 dt 2 g (t) = sin (t - t 0 ) ^ = g l m s F l mg l

23 Mathematisches Pendel d2sd2s dt 2 F = m = ml F = -mg sin d 2 dt 2 -mg sin = ml d 2 dt 2 l + g = 0 d 2 dt 2 + = 0 d 2 dt 2 g (t) = sin (t - t 0 ) ^ = g l T = 2 l g m s F l mg l

24 Mathematisches Pendel d2sd2s dt 2 F = m = ml F = -mg sin d 2 dt 2 -mg sin = ml d 2 dt 2 l + g = 0 d 2 dt 2 + = 0 d 2 dt 2 g (t) = sin (t - t 0 ) ^ = g l T = 2 l g Sekundenpendel: l = 25 cm m s F l mg l

25 Flüssigkeitspendel

26 A

27 d2sd2s dt 2 F = m Flüssigkeitspendel A

28 d2sd2s dt 2 F = m Flüssigkeitspendel m = lA A

29 d2sd2s dt 2 F = m Flüssigkeitspendel m = lA p = gh

30 d2sd2s dt 2 F = m Flüssigkeitspendel m = lA p = gh F = pA = - g 2s A

31 d2sd2s dt 2 F = m Flüssigkeitspendel m = lA p = gh F = pA = - g 2s A d2sd2s dt 2 lA = - g 2s A

32 d2sd2s dt 2 F = m Flüssigkeitspendel m = lA p = gh F = pA = - g 2s A d2sd2s dt 2 lA = - g 2s A d2sd2s dt 2 + s = 0 2g l

33 d2sd2s dt 2 F = m Flüssigkeitspendel m = lA p = gh F = pA = - g 2s A d2sd2s dt 2 lA = - g 2s A d2sd2s dt 2 + s = 0 2g l = l

34 d2sd2s dt 2 F = m Flüssigkeitspendel m = lA p = gh F = pA = - g 2s A d2sd2s dt 2 lA = - g 2s A d2sd2s dt 2 + s = 0 2g l = l T = 2 l 2g

35 d2sd2s dt 2 F = m Flüssigkeitspendel m = lA p = gh F = pA = - g 2s A d2sd2s dt 2 lA = - g 2s A d2sd2s dt 2 + s = 0 2g l = l T = 2 l 2g Eine Quecksilbersäule schwingt genau so schnell wie eine Wassersäule.

36 d2sd2s dt 2 F = m Flüssigkeitspendel m = lA p = gh F = pA = - g 2s A d2sd2s dt 2 lA = - g 2s A d2sd2s dt 2 + s = 0 2g l = l T = 2 l 2g Eine Quecksilbersäule schwingt genau so schnell wie eine Wassersäule. Ein Fadenpendel der halben Säulenlänge, l/2, schwingt ebenso schnell.

37 Übersteuertes Flüssigkeitspendel d2sd2s dt 2 F = m m = lA p = gh F = pA = - g 2s A d2sd2s dt 2 lA = - g 2s A d2sd2s dt 2 + s = 0 2g l = l T = 2 l 2g Eine Quecksilbersäule schwingt genau so schnell wie eine Wassersäule. Ein Fadenpendel der halben Säulenlänge, l/2, schwingt ebenso schnell.

38 Übersteuertes Flüssigkeitspendel d2sd2s dt 2 F = m m = lA p = gh F = pA = - g 2s A d2sd2s dt 2 lA = - g 2s A d2sd2s dt 2 + s = 0 2g l = l T = 2 l 2g Eine Quecksilbersäule schwingt genau so schnell wie eine Wassersäule. Ein Fadenpendel der halben Säulenlänge, l/2, schwingt ebenso schnell. F = -mg

39 Übersteuertes Flüssigkeitspendel d2sd2s dt 2 F = m m = lA p = gh F = pA = - g 2s A d2sd2s dt 2 lA = - g 2s A d2sd2s dt 2 + s = 0 2g l = l T = 2 l 2g Eine Quecksilbersäule schwingt genau so schnell wie eine Wassersäule. Ein Fadenpendel der halben Säulenlänge, l/2, schwingt ebenso schnell. F = -mg = - g l A (unabhängig von s)

40 d2sd2s dt 2 F = m Flüssigkeitspendel m = lA p = gh F = pA = - g 2s A d2sd2s dt 2 lA = - g 2s A d2sd2s dt 2 + s = 0 2g l = l T = 2 l 2g Eine Quecksilbersäule schwingt genau so schnell wie eine Wassersäule. Ein Fadenpendel der halben Säulenlänge, l/2, schwingt ebenso schnell. gilt nicht überall!

41 Energie des harmonischen Oszillators am Beispiel des Federpendels

42 W pot = òF a dx s 0

43 Energie des harmonischen Oszillators am Beispiel des Federpendels W pot = òF a dx = òDxdx s 00 s

44 Energie des harmonischen Oszillators am Beispiel des Federpendels W pot = òF a dx = òDxdx = s 2 s 00 s D 2

45 Energie des harmonischen Oszillators am Beispiel des Federpendels W pot = òF a dx = òDxdx = s 2 s 00 s D 2 W kin = v 2 m 2

46 Energie des harmonischen Oszillators am Beispiel des Federpendels W pot = òF a dx = òDxdx = s 2 s 00 s D 2 W kin = v 2 = m 2 ds dt m 2 ( ) 2

47 Energie des harmonischen Oszillators am Beispiel des Federpendels W pot = òF a dx = òDxdx = s 2 s 00 s D 2 W kin = v 2 = m 2 ds dt m 2 ( ) 2 s = s sin t ds dt = s cos t ^ ^

48 W = W pot + W kin = s 2 sin 2 t + 2 s 2 cos 2 t D 2 ^ m 2 ^ Energie des harmonischen Oszillators am Beispiel des Federpendels W pot = òF a dx = òDxdx = s 2 s 00 s D 2 W kin = v 2 = m 2 ds dt m 2 ( ) 2 s = s sin t ds dt = s cos t ^ ^

49 Energie des harmonischen Oszillators am Beispiel des Federpendels W pot = òF a dx = òDxdx = s 2 s 00 s D 2 W kin = v 2 = m 2 ds dt m 2 ( ) 2 s(t) = s sin t ds dt = s cos t ^ ^ W = W pot + W kin = s 2 sin 2 t + 2 s 2 cos 2 t D 2 ^ m 2 ^ D = m 2

50 Energie des harmonischen Oszillators am Beispiel des Federpendels W pot = òF a dx = òDxdx = s 2 s 00 s D 2 W kin = v 2 = m 2 ds dt m 2 ( ) 2 s(t) = s sin t ds dt = s cos t ^ ^ W = W pot + W kin = s 2 sin 2 t + 2 s 2 cos 2 t D 2 ^ m 2 ^ D = m 2 W = s 2 (sin 2 t + cos 2 t) m 2 ^ 2

51 Energie des harmonischen Oszillators am Beispiel des Federpendels W pot = òF a dx = òDxdx = s 2 s 00 s D 2 W kin = v 2 = m 2 ds dt m 2 ( ) 2 s(t) = s sin t ds dt = s cos t ^ ^ W = W pot + W kin = s 2 sin 2 t + 2 s 2 cos 2 t D 2 ^ m 2 ^ D = m 2 W = s 2 (sin 2 t + cos 2 t) = s 2 m 2 ^ 2 ^ 2

52 Energie des harmonischen Oszillators am Beispiel des Federpendels W pot = òF a dx = òDxdx = s 2 s 00 s D 2 W kin = v 2 = m 2 ds dt m 2 ( ) 2 s(t) = s sin t ds dt = s cos t ^ ^ W = W pot + W kin = s 2 sin 2 t + 2 s 2 cos 2 t D 2 ^ m 2 ^ D = m 2 W = s 2 (sin 2 t + cos 2 t) = s 2 = s 2 m 2 ^ 2 ^ 2 D 2 ^

53 Energie des harmonischen Oszillators am Beispiel des Federpendels W pot = òF a dx = òDxdx = s 2 s 00 s D 2 W kin = v 2 = m 2 ds dt m 2 ( ) 2 s(t) = s sin t ds dt = s cos t ^ ^ W = W pot + W kin = s 2 sin 2 t + 2 s 2 cos 2 t D 2 ^ m 2 ^ D = m 2 W = s 2 (sin 2 t + cos 2 t) = s 2 = s 2 m 2 ^ 2 ^ 2 D 2 ^ oder mit der Schnelle v = s ^ ^

54 Energie des harmonischen Oszillators am Beispiel des Federpendels W pot = òF a dx = òDxdx = s 2 s 00 s D 2 W kin = v 2 = m 2 ds dt m 2 ( ) 2 s(t) = s sin t ds dt = s cos t ^ ^ W = W pot + W kin = s 2 sin 2 t + 2 s 2 cos 2 t D 2 ^ m 2 ^ D = m 2 W = s 2 (sin 2 t + cos 2 t) = s 2 = s 2 m 2 ^ 2 ^ 2 D 2 ^ oder mit der Schnelle v = s ^ ^ W = v 2 m ^ 2

55 Energie des harmonischen Oszillators am Beispiel des Federpendels W pot = òF a dx = òDxdx = s 2 s 00 s D 2 W kin = v 2 = m 2 ds dt m 2 ( ) 2 s(t) = s sin t ds dt = s cos t ^ ^ W = W pot + W kin = s 2 sin 2 t + 2 s 2 cos 2 t D 2 ^ m 2 ^ D = m 2 W = s 2 (sin 2 t + cos 2 t) = s 2 = s 2 m 2 ^ 2 ^ 2 D 2 ^ oder mit der Schnelle v = s ^ ^ W = v 2 m ^ 2

56 Energie des harmonischen Oszillators am Beispiel des Federpendels W pot = òF a dx = òDxdx = s 2 s 00 s D 2 W kin = v 2 = m 2 ds dt m 2 ( ) 2 s(t) = s sin t ds dt = s cos t ^ ^ W = W pot + W kin = s 2 sin 2 t + 2 s 2 cos 2 t D 2 ^ m 2 ^ D = m 2 W = s 2 (sin 2 t + cos 2 t) = s 2 = s 2 m 2 ^ 2 ^ 2 D 2 ^ oder mit der Schnelle v = s ^ ^ Potentielle und kinetische Energie sind gleichverteilt. W = v 2 m ^ 2

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