Harmonische Schwingungen

Präsentation zum Thema: "Harmonische Schwingungen"—  Präsentation transkript:

1 Harmonische Schwingungen

2 Harmonische Schwingungen
Systeme, die beim Verlassen der Ruhelage eine zur Auslenkung proportionale Rückstellkraft aufbringen, sind zu harmonischen Schwingungen befähigt.

3 Harmonische Schwingungen
Systeme, die beim Verlassen der Ruhelage eine zur Auslenkung proportionale Rückstellkraft aufbringen, sind zu harmonischen Schwingungen befähigt. Man nennt sie harmonische Oszillatoren.

4 Harmonische Schwingungen
Systeme, die beim Verlassen der Ruhelage eine zur Auslenkung proportionale Rückstellkraft aufbringen, sind zu harmonischen Schwingungen befähigt. Man nennt sie harmonische Oszillatoren. d2f Jede DGL der Form + K f = 0 (wobei K > 0) dt2

5 Harmonische Schwingungen
Systeme, die beim Verlassen der Ruhelage eine zur Auslenkung proportionale Rückstellkraft aufbringen, sind zu harmonischen Schwingungen befähigt. Man nennt sie harmonische Oszillatoren. d2f Jede DGL der Form + K f = 0 (wobei K > 0) dt2 ^ führt auf eine harmonische Schwingung f(t) = f sin w(t - t0)

6 Harmonische Schwingungen
Systeme, die beim Verlassen der Ruhelage eine zur Auslenkung proportionale Rückstellkraft aufbringen, sind zu harmonischen Schwingungen befähigt. Man nennt sie harmonische Oszillatoren. d2f Jede DGL der Form + K f = 0 (wobei K > 0) dt2 ^ führt auf eine harmonische Schwingung f(t) = f sin w(t - t0) mit w = ÖK

7 Harmonische Schwingungen
Systeme, die beim Verlassen der Ruhelage eine zur Auslenkung proportionale Rückstellkraft aufbringen, sind zu harmonischen Schwingungen befähigt. Man nennt sie harmonische Oszillatoren. d2f Jede DGL der Form + K f = 0 (wobei K > 0) dt2 ^ führt auf eine harmonische Schwingung f(t) = f sin w(t - t0) mit w = ÖK Sehr viele Systeme in Natur und Technik führen harmonische Schwingungen aus, wenn die Amplitude nicht zu groß ist.

8 Harmonische Schwingungen
Systeme, die beim Verlassen der Ruhelage eine zur Auslenkung proportionale Rückstellkraft aufbringen, sind zu harmonischen Schwingungen befähigt. Man nennt sie harmonische Oszillatoren. d2f Jede DGL der Form + K f = 0 (wobei K > 0) dt2 ^ führt auf eine harmonische Schwingung f(t) = f sin w(t - t0) mit w = ÖK Sehr viele Systeme in Natur und Technik führen harmonische Schwingungen aus, wenn die Amplitude nicht zu groß ist. Hookesches Gesetz: F = -D s

9 Harmonische Schwingungen
Systeme, die beim Verlassen der Ruhelage eine zur Auslenkung proportionale Rückstellkraft aufbringen, sind zu harmonischen Schwingungen befähigt. Man nennt sie harmonische Oszillatoren. d2f Jede DGL der Form + K f = 0 (wobei K > 0) dt2 ^ führt auf eine harmonische Schwingung f(t) = f sin w(t - t0) mit w = ÖK Sehr viele Systeme in Natur und Technik führen harmonische Schwingungen aus, wenn die Amplitude nicht zu groß ist. Hookesches Gesetz: F = -D s genauer: F = -D1s - D2s2 - D3s

10 Harmonische Schwingungen
Systeme, die beim Verlassen der Ruhelage eine zur Auslenkung proportionale Rückstellkraft aufbringen, sind zu harmonischen Schwingungen befähigt. Man nennt sie harmonische Oszillatoren. d2f Jede DGL der Form + K f = 0 (wobei K > 0) dt2 ^ führt auf eine harmonische Schwingung f(t) = f sin w(t - t0) mit w = ÖK Sehr viele Systeme in Natur und Technik führen harmonische Schwingungen aus, wenn die Amplitude nicht zu groß ist. Hookesches Gesetz: F = -D s genauer: F = -D1s - D2s2 - D3s Dn enthält den Faktor 1/In, sodaß für s << l alle höheren Potenzen von s vernachlässigt werden können.

11 Mathematisches Pendel

12 Mathematisches Pendel
j s m mg j F

13 Mathematisches Pendel
d2s l F = m dt2 j s m mg j F

14 Mathematisches Pendel
d2s l F = m dt2 s = lj j s m mg j F

15 Mathematisches Pendel
d2s d2j l F = m = ml dt2 dt2 s = lj j s m mg j F

16 Mathematisches Pendel
d2s d2j l F = m = ml dt2 dt2 s = lj j F = -mg sin j s m mg j F

17 Mathematisches Pendel
d2s d2j l F = m = ml dt2 dt2 s = lj j F = -mg sin j s m d2j -mg sin j = ml dt2 mg j F

18 Mathematisches Pendel
d2s d2j l F = m = ml dt2 dt2 j = s/l j F = -mg sin j s m d2j -mg sin j = ml sin j » j dt2 mg j

19 Mathematisches Pendel
d2s d2j l F = m = ml dt2 dt2 j F = -mg sin j s m d2j -mg sin j = ml sin j » j dt2 mg j d2j l g j = 0 dt2 F

20 Mathematisches Pendel
d2s d2j l F = m = ml dt2 dt2 j F = -mg sin j s m d2j -mg sin j = ml sin j » j dt2 mg j d2j l g j = 0 dt2 F d2j g j = 0 dt2 l

21 Mathematisches Pendel
d2s d2j l F = m = ml dt2 dt2 j F = -mg sin j s m d2j -mg sin j = ml dt2 mg j d2j l g j = 0 dt2 F d2j g j = 0 dt2 l ^ j(t) = j sin w(t - t0)

22 Mathematisches Pendel
d2s d2j l F = m = ml dt2 dt2 j F = -mg sin j s m d2j -mg sin j = ml dt2 mg j d2j l g j = 0 g dt2 F w = l d2j g j = 0 dt2 l ^ j(t) = j sin w(t - t0)

23 Mathematisches Pendel
d2s d2j l F = m = ml dt2 dt2 j F = -mg sin j s m d2j -mg sin j = ml dt2 mg j d2j l g j = 0 g dt2 F w = l d2j g j = 0 dt2 l l T = 2p g ^ j(t) = j sin w(t - t0)

24 Mathematisches Pendel
d2s d2j l F = m = ml dt2 dt2 j F = -mg sin j s m d2j -mg sin j = ml dt2 mg j d2j l g j = 0 g dt2 F w = l d2j g j = 0 dt2 l l T = 2p g ^ j(t) = j sin w(t - t0) Sekundenpendel: l = 25 cm

25 Flüssigkeitspendel

26 Flüssigkeitspendel A

27 Flüssigkeitspendel A d2s F = m dt2

28 Flüssigkeitspendel A d2s F = m dt2 m = rlA

29 Flüssigkeitspendel d2s F = m dt2 m = rlA p = rgh

30 Flüssigkeitspendel d2s F = m dt2 m = rlA p = rgh F = pA = -rg 2s A

31 Flüssigkeitspendel d2s F = m dt2 d2s dt2 m = rlA p = rgh
F = pA = -rg 2s A d2s rlA = -rg 2s A dt2

32 Flüssigkeitspendel d2s F = m dt2 d2s dt2 d2s dt2 m = rlA p = rgh
F = pA = -rg 2s A d2s rlA = -rg 2s A dt2 d2s 2g s = 0 dt2 l

33 Flüssigkeitspendel d2s F = m dt2 d2s 2g w = dt2 l d2s dt2 m = rlA
p = rgh F = pA = -rg 2s A d2s 2g rlA = -rg 2s A dt2 w = l d2s 2g s = 0 dt2 l

34 Flüssigkeitspendel d2s F = m dt2 d2s 2g dt2 w = l d2s l T = 2p dt2 2g
m = rlA p = rgh F = pA = -rg 2s A d2s 2g rlA = -rg 2s A dt2 w = l d2s 2g l s = 0 T = 2p dt2 l 2g

35 Flüssigkeitspendel d2s F = m dt2 d2s 2g dt2 w = l d2s l T = 2p dt2 2g
m = rlA p = rgh F = pA = -rg 2s A d2s 2g rlA = -rg 2s A dt2 w = l d2s 2g l s = 0 T = 2p dt2 l 2g Eine Quecksilbersäule schwingt genau so schnell wie eine Wassersäule.

36 Flüssigkeitspendel d2s F = m dt2 d2s 2g dt2 w = l d2s l T = 2p dt2 2g
m = rlA p = rgh F = pA = -rg 2s A d2s 2g rlA = -rg 2s A dt2 w = l d2s 2g l s = 0 T = 2p dt2 l 2g Eine Quecksilbersäule schwingt genau so schnell wie eine Wassersäule. Ein Fadenpendel der halben Säulenlänge, l/2, schwingt ebenso schnell.

37 Übersteuertes Flüssigkeitspendel
d2s F = m dt2 m = rlA p = rgh F = pA = -rg 2s A d2s 2g rlA = -rg 2s A dt2 w = l d2s 2g l s = 0 T = 2p dt2 l 2g Eine Quecksilbersäule schwingt genau so schnell wie eine Wassersäule. Ein Fadenpendel der halben Säulenlänge, l/2, schwingt ebenso schnell.

38 Übersteuertes Flüssigkeitspendel
d2s F = m dt2 m = rlA p = rgh F = pA = -rg 2s A F = -mg d2s 2g rlA = -rg 2s A dt2 w = l d2s 2g l s = 0 T = 2p dt2 l 2g Eine Quecksilbersäule schwingt genau so schnell wie eine Wassersäule. Ein Fadenpendel der halben Säulenlänge, l/2, schwingt ebenso schnell.

39 Übersteuertes Flüssigkeitspendel
d2s F = m dt2 m = rlA p = rgh F = pA = -rg 2s A F = -mg = -rg l A (unabhängig von s) d2s 2g rlA = -rg 2s A dt2 w = l d2s 2g l s = 0 T = 2p dt2 l 2g Eine Quecksilbersäule schwingt genau so schnell wie eine Wassersäule. Ein Fadenpendel der halben Säulenlänge, l/2, schwingt ebenso schnell.

40 Flüssigkeitspendel d2s F = m dt2 d2s 2g dt2 w = l d2s l T = 2p dt2 2g
m = rlA p = rgh F = pA = -rg 2s A gilt nicht überall! d2s 2g rlA = -rg 2s A dt2 w = l d2s 2g l s = 0 T = 2p dt2 l 2g Eine Quecksilbersäule schwingt genau so schnell wie eine Wassersäule. Ein Fadenpendel der halben Säulenlänge, l/2, schwingt ebenso schnell.

41 Energie des harmonischen Oszillators am Beispiel des Federpendels

42 Energie des harmonischen Oszillators am Beispiel des Federpendels
Wpot = òFadx

43 Energie des harmonischen Oszillators am Beispiel des Federpendels
Wpot = òFadx = òDxdx

44 Energie des harmonischen Oszillators am Beispiel des Federpendels
Wpot = òFadx = òDxdx = s2 2

45 Energie des harmonischen Oszillators am Beispiel des Federpendels
Wpot = òFadx = òDxdx = s2 Wkin = v 2 2 2

46 ( )2 Energie des harmonischen Oszillators am Beispiel des Federpendels
( )2 ds Wpot = òFadx = òDxdx = s2 Wkin = v 2 = 2 2 2 dt

47 ( )2 Energie des harmonischen Oszillators am Beispiel des Federpendels
( )2 ds Wpot = òFadx = òDxdx = s2 Wkin = v 2 = 2 2 2 dt ^ ds ^ s = s sin wt = w s cos wt dt

48 ( )2 Energie des harmonischen Oszillators am Beispiel des Federpendels
( )2 ds Wpot = òFadx = òDxdx = s2 Wkin = v 2 = 2 2 2 dt ^ ds ^ s = s sin wt = w s cos wt dt D ^ m ^ W = Wpot + Wkin = s2 sin2wt w2 s2 cos2wt 2 2

49 ( )2 Energie des harmonischen Oszillators am Beispiel des Federpendels
( )2 ds Wpot = òFadx = òDxdx = s2 Wkin = v 2 = 2 2 2 dt ^ ds ^ s(t) = s sin wt = w s cos wt dt D ^ m ^ W = Wpot + Wkin = s2 sin2wt w2 s2 cos2wt 2 2 D = mw2

50 ( )2 Energie des harmonischen Oszillators am Beispiel des Federpendels
( )2 ds Wpot = òFadx = òDxdx = s2 Wkin = v 2 = 2 2 2 dt ^ ds ^ s(t) = s sin wt = w s cos wt dt D ^ m ^ W = Wpot + Wkin = s2 sin2wt w2 s2 cos2wt 2 2 D = mw2 mw2 ^ W = s2 (sin2wt + cos2wt) 2

51 ( )2 Energie des harmonischen Oszillators am Beispiel des Federpendels
( )2 ds Wpot = òFadx = òDxdx = s2 Wkin = v 2 = 2 2 2 dt ^ ds ^ s(t) = s sin wt = w s cos wt dt D ^ m ^ W = Wpot + Wkin = s2 sin2wt w2 s2 cos2wt 2 2 D = mw2 mw2 mw2 ^ ^ W = s2 (sin2wt + cos2wt) = s2 2 2

52 ( )2 Energie des harmonischen Oszillators am Beispiel des Federpendels
( )2 ds Wpot = òFadx = òDxdx = s2 Wkin = v 2 = 2 2 2 dt ^ ds ^ s(t) = s sin wt = w s cos wt dt D ^ m ^ W = Wpot + Wkin = s2 sin2wt w2 s2 cos2wt 2 2 D = mw2 mw2 mw2 D ^ ^ ^ W = s2 (sin2wt + cos2wt) = s2 = s2 2 2 2

53 ( )2 Energie des harmonischen Oszillators am Beispiel des Federpendels
( )2 ds Wpot = òFadx = òDxdx = s2 Wkin = v 2 = 2 2 2 dt ^ ds ^ s(t) = s sin wt = w s cos wt dt D ^ m ^ W = Wpot + Wkin = s2 sin2wt w2 s2 cos2wt 2 2 D = mw2 mw2 mw2 D ^ ^ ^ W = s2 (sin2wt + cos2wt) = s2 = s2 2 2 2 ^ ^ oder mit der Schnelle v = ws

54 ( )2 Energie des harmonischen Oszillators am Beispiel des Federpendels
( )2 ds Wpot = òFadx = òDxdx = s2 Wkin = v 2 = 2 2 2 dt ^ ds ^ s(t) = s sin wt = w s cos wt dt D ^ m ^ W = Wpot + Wkin = s2 sin2wt w2 s2 cos2wt 2 2 D = mw2 mw2 mw2 D ^ ^ ^ W = s2 (sin2wt + cos2wt) = s2 = s2 2 2 2 ^ ^ oder mit der Schnelle v = ws m ^ W = v 2 2

55 ( )2 Energie des harmonischen Oszillators am Beispiel des Federpendels
( )2 ds Wpot = òFadx = òDxdx = s2 Wkin = v 2 = 2 2 2 dt ^ ds ^ s(t) = s sin wt = w s cos wt dt D ^ m ^ W = Wpot + Wkin = s2 sin2wt w2 s2 cos2wt 2 2 D = mw2 mw2 mw2 D ^ ^ ^ W = s2 (sin2wt + cos2wt) = s2 = s2 2 2 2 ^ ^ oder mit der Schnelle v = ws m ^ W = v 2 2

56 ( )2 Energie des harmonischen Oszillators am Beispiel des Federpendels
( )2 ds Wpot = òFadx = òDxdx = s2 Wkin = v 2 = 2 2 2 dt ^ ds ^ s(t) = s sin wt = w s cos wt dt D ^ m ^ W = Wpot + Wkin = s2 sin2wt w2 s2 cos2wt 2 2 D = mw2 mw2 mw2 D ^ ^ ^ W = s2 (sin2wt + cos2wt) = s2 = s2 2 2 2 ^ ^ oder mit der Schnelle v = ws m ^ W = v 2 2 Potentielle und kinetische Energie sind gleichverteilt.

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