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Kapitel 12 Autokorrelation. Hackl, Einführung in die Ökonometrie (12) 2 Der Sachverhalt Modell y = X + u, Ordnung von X: n x k Annahme A6: Var{u} = 2.

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1 Kapitel 12 Autokorrelation

2 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (12) 2 Der Sachverhalt Modell y = X + u, Ordnung von X: n x k Annahme A6: Var{u} = 2 I Annahme 6 impliziert serielle Unkorreliertheit der Störgrößen: Var{u t, u t+i } = 0, t = 1,…,n, i = ±1, ±2, … In der Realität trifft diese Annahme nicht immer zu; man spricht dann von serieller Korreliertheit oder Autokorrelation der Störgrößen; Var{u} = 2 mit Nichtdiagonalelementen verschieden von Null Fragestellungen: Konsequenzen von Autokorrelation Möglichkeiten zum Identifizieren von Autokorrelation Alternative Verfahren, die bei Autokorrelation verwendet werden können

3 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (12) 3 Beispiel: Importfunktion MTR: Importe FDD: Nachfrage (aus AWM-Datenbasis) Importfunktion: MTR = FDD R 2 = 0.977, t FFD = 74.8

4 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (12) 4 Beispiel: Importfunktion, Forts. MTR: Importe FDD: Nachfrage (aus AWM-Datenbasis) RESID: e t = MTR - ( FDD)

5 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (12) 5 Beispiel: Importfunktion, Forts. Streudiagramm der um eine Periode verzögerten Residuen [Resid(-1)] über den aktuellen Residuen [Resid] Achtung! Serielle Korrelation!

6 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (12) 6 Autokorrelation von ökonomischen Zeitreihen Konsum in der laufenden Periode unterscheidet sich nicht allzu sehr von dem der Vorperiode; der aktuelle Konsum hängt vom Konsum der Vorperiode ab Konsum, Produktion, Investitionen, etc.: Man muss damit rechnen, dass aufeinander folgende Beobachtungen ökonomischer Variabler positiv korrelieren Je kürzer die Beobachtungsintervalle, umso ausgeprägter korrelieren die ökonomischen Variablen (ökonomische Phänomene wie Konjunkturphasen, Moden im Konsumverhalten, klimatische Effekte etc. wirken über längere Perioden Saisonbereinigung: Durch Anwenden von Glättungs- oder Filterungsverfahren geglättete Daten sind korreliert

7 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (12) 7 Beispiel: Importe Streudiagramm der um eine Periode verzöger- ten Importe MTR(-1) über den aktuellen Importen MTR Korrelationskoeffizient zwischen MTR und MTR(-1):

8 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (12) 8 Typische Situationen für Autokorrelation Autokorrelation tritt typischerweise auf wenn ein relevanter Regressor im Modell nicht berücksichtigt wird; Missspezifikation des Modells die funktionale Form eines Regressors fehlerhaft spezifiziert ist die abhängige Variable in einer Weise autokorreliert ist, die durch den systematischen Teil des Modells nicht adäquat dargestellt wird Achtung! Nichtberücksichtigen eines relevanten Regressors mit Trend impliziert Autokorrelation der Störgrößen. Bei ökonometrischen Analysen muss stets mit Autokorrelation der Störgrößen gerechnet werden! Achtung! Autokorrelation der Störgrößen weist generell auf Mängel in der Modellspezifikation hin. Tests auf Autokorrelation sind die am häufigsten verwendete Art des diagnostischen Überprüfens der Modellspezifikation.

9 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (12) 9 Importfunktionen Regression der Importe (MTR) auf Gesamte Nachfrage (FDD) MTR = x FDD, t FDD = 74.9, R 2 = Autokorrelation (Ordnung 1) der Residuen: Corr(e t, e t-1 ) = Importfunktion mit Trend (T) MTR = x FDD – x 10 9 T t FDD = 45.8, t T = -21.0, R 2 = Multikollinearität? Achtung! Corr(FDD, T) = Importfunktion mit verzögerten Importen als Regressor MTR = x FDD MTR -1 t FDD = 2.89, t MTR(-1) = 50.1, R 2 = 0.999

10 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (12) 10 Autokorrelation der Störgrößen Autokorrelation der Ordnung k: k = Corr{u t, u t-k } unabhängig von t (Kovarianz-Stationarität) Empirischer Wert r k von k : Kovarianzmatrix Var{u} der Störgrößen Var{u} = 2 = mit = ( st ), = ( st ) mit st = 2 st = 2 |t-s| Oft wird eine Struktur für die Elemente von unterstellt

11 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (12) 11 AR(1)-Prozess Für alle t gilt: u t = φu t-1 + ε t mit unkorrelierten ε t mit E{ε t } = 0 und Var{ε t } = e 2 ; ε t mit diesen Eigenschaften nennt man weißes Rauschen (white noise) u t folgt einer Autoregression oder einem autoregressiven (AR) Prozess der Ordnung Eins Achtung! Für φ gilt: |φ| < 1 Autokorrelationen: Mit u t = ε t + φε t-1 + φ 2 ε t-2 + … erhält man Var{u t } = e 2 + φ 2 e 2 + φ 4 e 2 + … = e 2 (1- φ 2 ) -1 Cov{u t, u t-k } = e 2 φ k (1- φ 2 ) -1 wenn |φ| 1 ist die Varianz der Störgrößen nicht definiert

12 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (12) 12 AR(1)-Prozess, Forts. Die Kovarianzmatrix Var{u} der Störgrößen ergibt sich zu Var{u} hat Bandstruktur Var{u} hängt außer von e 2 nur von einem Parameter, von φ, ab

13 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (12) 13 Autokorrelationsfunktion Autokorrelation der Ordnung k, k = Corr{u t, u t-k }, ist unabhängig von t (Kovarianz-Stationarität) Autokorrelationsfunktion: Zuordung zwischen k und k Im allgemeinen wird k mit wachsendem k immer kleiner

14 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (12) 14 Beispiel: Importe, Forts. Date: 05/15/05 Time: 16:57 Sample: 1970:1 2003:4 Included observations: 136 AutocorrelationPartial CorrelationAC PAC Q-Stat Prob.|*******|.|*******| |*******|.|. | |*******|.|. | |*******|.|. | |****** | *|. | |****** |.|. | |****** |.|. | |****** |.|. | |***** | *|. | |***** | *|. | |***** | *|. | |**** | *|. |

15 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (12) 15 Konsequenzen von Autokorrelation Die OLS-Schätzer b für sind erwartungstreu sind konsistent haben die Kovarianzmatrix Var{b} = 2 (X'X) -1 X' X (X'X) -1 sind keine effizienten Schätzer sind unter allgemein erfüllten Bedingungen asymptotisch normalverteilt Der Schätzer s 2 = e'e/(n-k) der Varianz der Störgrößen 2 unterschätzt 2 (e: Vektor der OLS-Residuen) Ist u ein AR(1)-Prozess mit φ > 0, werden die Var{b} = 2 (X'X) -1 unterschätzt Achtung! t- und F-Test liefern irreführende Ergebnisse

16 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (12) 16 Tests auf Autokorrelation Residuen sollten wegen Unverzerrtheit von b die Autokorrelation anzeigen Graphische Aufbereitung gibt oft gute Hinweise Tests auf Basis der Residuen Durbin-Watson-Test Breusch-Godfrey-Test Box-Pierce-Test

17 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (12) 17 Durbin-Watson-Test Nullhypothese: 1 = 0 Alternative: nicht spezifiziert Teststatistik: Bei positivem 1 wird auch r 1 positiv sein; d liegt im Intervall (0,2) Bei negativem 1 wird d im Intervall (2,4) liegen Liegt d nahe beim Wert 2, so gibt es keine wesentliche Autokorrelation der Störgrößen Bei Werten von d nahe bei Null oder 4 sind die Störgrößen hoch korreliert

18 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (12) 18 Durbin-Watson-Test, Forts. Kritische Schranken für d: Hängen von Matrix X ab Durbin & Watson haben untere (d L ) und obere Schranken (d U ) für die kritischen Werte der Teststatistik abgeleitet; siehe Tab.G1 d< d L : H 0 wird verworfen d> d U : H 0 wird nicht verworfen d L < d < d U : keine Entscheidung (Unentscheidbarkeitsbereich) Krit.Schranken für = 0.05: n k=2k=3k=10 dLdL dUdU dLdL dUdU dLdL dUdU

19 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (12) 19 Importfunktionen, Forts. Regression der Importe (MTR) auf Gesamte Nachfrage (FDD) MTR = x FDD, t FDD = 74.9, R 2 = DW-Statistik: d = < 1.69 = d L für n = 136, k = 2 Importfunktion mit Trend (T) MTR = x FDD – x 10 9 T t FDD = 45.8, t T = -21.0, R 2 = DW-Statistik: d = < 1.68 = d L für n = 136, k = 3 Importfunktion mit verzögerten Importen als Regressor MTR = x FDD MTR -1 t FDD = 2.89, t MTR(-1) = 50.1, R 2 = (DW-Statistik: d = < 1.68 = d L für n = 135, k = 3)

20 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (12) 20 Durbin-Watson-Test, Forts. DW-Test gibt keinen Hinweis auf Ursachen für ein Verwerfen der Nullhypothese und darauf, wie das Modell zu modifizieren ist Test auf Autokorrelation erster Ordnung; bei Quartalsdaten kann Test auf Autokorrelation vierter Ordnung geeigneter sein Ursache für Verwerfen der Nullhypothese können verschiedene Arten von Missspezifikation sein Beschränkte Zahl von kritischen Schranken (k, n, ) und Unentscheidbarkeitsbereich machen DW-Test unhandlich

21 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (12) 21 Breusch-Godfrey-Test Modell: Y t = x t + u t mit AR(m)-Prozess für u t : u t = φ 1 u t-1 + …+ φ m u t-m + ε t mit weißem Rauschen ε t Der BG-Test testet H 0 : φ i = 0, i = 1, …, m gegen das Nichtzutreffen von H 0 (mindestens ein φ i ist von Null verschieden) Teststatistik: LM(A) = n R e 2 mit dem Bestimmtheitsmaß R e 2 aus der Hilfsregression der Residuen e t auf die k Regressoren des Modells und die verzögerten Residuen e t-1, …, e t-m Der BG-Test ist ein Lagrange-Multiplier-Test; LM(A) folgt unter H 0 asymptotisch der Chi-Quadrat-Verteilung mit m Freiheitsgraden

22 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (12) 22 Box-Pierce-Test Wie beim Breusch-Godfrey-Test werden Autokorrelationen bis zur Ordnung m einbezogen: Teststatistik: Es wird keine Struktur der Abhängigkeit der Störgrößen als Alternative vorgegeben (m ist nicht die Ordnung des AR- Prozesses wie beim BG-Test); Unter H 0 folgt Q m asymptotisch der Chi-Quadrat-Verteilung mit m Freiheitsgraden Ähnlich der Ljung-Box-Test

23 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (12) 23 Importfunktion, Forts. Regression der Importe (MTR) auf Gesamte Nachfrage (FDD) MTR = x FDD, t FDD = 74.9, R 2 = DW-Statistik: d = < 1.69 = d L für n = 136, k = 2 BG-Test: LM(A) = BP-Test: Q 12 = Nullhypothese kann nicht gehalten werden; alle drei Tests zeigen das

24 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (12) 24 Inferenz bei Autokorrelation Wenn Ursache von Autokorrelation (Missspezifikation) nicht beseitigt werden kann: Verwenden der korrekten Varianzen für Var{b} Transformation des Modells, so dass die Störgrößen unkorreliert sind

25 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (12) 25 HAC-Schätzer für Var{b} Var{b} = 2 (X'X) -1 X' X (X'X) -1 Ersetzen von durch geeigneten Schätzer Newey-West: Ersetzen von S x = 2 (X' X)/n = ( t s ts x t x s )/n durch mit w j = j/(p+1); p, im Englischen truncation lag genannt, ist geeignet zu wählen Der Schätzer n (X'X) -1 Ŝ x (X'X) -1 für Var{b} wird heteroskedasticity and autocorrelation consistent oder HAC-Schätzer genannt; er berücksichtigt auch Heteroskedastizität

26 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (12) 26 Importfunktion, Forts. Regression der Importe (MTR) auf Gesamte Nachfrage (FDD) MTR = x FDD, t FDD = 74.9, R 2 = OLS-Schätzer und Standardfehler: Coeff se(Coeff) OLSHAC Interzept2.27 x x x 10 9 FDD

27 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (12) 27 Variablen-Transformation Annahme: Störgrößen folgen einem AR(1)-Prozess Bestimmen von L so, dass LL =

28 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (12) 28 Variablen-Transformation, Forts. Anwenden der Transformation (Multiplizieren mit L) liefert die Gleichungen Die transformierten Variablen y t * = y t – φy t-1 nennt man auch Quasi- Differenzen der Regressoren; dabei ist φ durch einen Schätzer zu ersetzen, zB als OLS-Schätzer der Regression e t = φe t-1 + v t

29 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (12) 29 Cochrane-Orcutt-Schätzer In folgenden Schritten: 1.Schätzen von φ, Berechnen der Quasi-Differenzen 2.Bestimmen der OLS-Schätzer für und e 2 aus Der Prais-Winsten-Schätzer berücksichtigt zusätzlich die Beobachtung für t=1 Diese Schätzer sind GLS-Schätzer, bzw. FGLS-Schätzer, wenn φ geschätzt wird (was normalerweise der fall sein wird)

30 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (12) 30 Regression in Differenzen Bei hoher positiver Korrelation der Regressoren wird es eine geeignete Vorgangsweise sein, für φ den Wert Eins zu verwenden Faustregel: Das Setzen von φ = 1 ist dann geeignet, wenn die DW- Statistik kleiner ist als R 2 Setzen von φ = 1 bedeutet, dass das Modell durch eines in Differenzen ersetzt wird Achtung! Das Modell in Differenzen hat kein Interzept!

31 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (12) 31 Importfunktion, Forts. Regression der Importe (MTR) auf Gesamte Nachfrage (FDD) MTR = x FDD, t FDD = 74.9, R 2 = DW-Statistik: Regression in Differenzen MTR = FDD, t FDD = 16.19, R 2 = DW-Statistik: 1.59; liegt knapp im Verwerfungsbereich Regression in Differenzen mit Interzept MTR = x FDD, t FDD = 14.47, R 2 = DW-Statistik: 1.79 In Niveauwerten enthält das Modell einen Trend

32 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (12) 32 Importfunktion, Forts. Regression der Importe (MTR) auf Gesamte Nachfrage (FDD) und Trend (T) MTR = x FDD – 0.03 x 10 9 T t FDD = 45.81, t T = 21.04, R 2 = DW-Statistik: Regression in Quasi-Differenzen MTR* = FDD*, t FDD* = 28.22, R 2 = DW-Statistik: 1.23; liegt im Verwerfungsbereich Regression in Quasi-Differenzen MTR* = FDD*, t FDD* = 25.07, R 2 = DW-Statistik: 1.96; liegt im Annahmebereich


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