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Übung zur Vorlesung Theorien Psychometrischer Tests I Ulf Kröhne Norman Rose Session 1/13.

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Präsentation zum Thema: "Übung zur Vorlesung Theorien Psychometrischer Tests I Ulf Kröhne Norman Rose Session 1/13."—  Präsentation transkript:

1 Übung zur Vorlesung Theorien Psychometrischer Tests I Ulf Kröhne Norman Rose Session 1/13

2 Organisatorisches Buch: Messen und Testen jena.de/lehre_literatur.php jena.de/lehre_literatur.php Benutzername: stud_user Passwort: steyer_ss_04 Gruppen: –Dienstag 18:15– 19:45 Uhr –Freitag 10:15 – 11:45 Uhr

3 Aufbau der Übungen Fragen zur Vorlesung Übungs- aufgaben Computer- programm Interaktion

4 Agenda Fragen zur Vorlesung Wiederholung Rechenregeln Pfaddiagramme –in Regressionsgleichungen umwandeln –Varianzen und Kovarianzen ermitteln –Implizierte Varianz-Kovarianzmatrix Aufgaben

5 Fragen zur Vorlesung Mengenlehre, Potenzmenge, …: U, O, Variablen vs. Wert einer Variablen Definition True-Score Variable: i := E(Y i |U ) Definition Residuum: i := Y i i Eigenschaften von Residuum und True-Score Varianzzerlegung: Var(Y i ) = Var( i ) + Var( i ) Reliabilität: Rel(Y i ) = Var( i ) / Var(Y i ) Parametrisierung: i = ij0 + ij1 j ij0, ij1 IR, ij1 >0 Wichtig: Was folgt aus der Definition und was sind zusätzliche Annahmen eines Modells!

6 Wiederholung Rechenregeln.1 Wichtige Definitionen:

7 Wiederholung Rechenregeln.2 Regel für unbedingte Erwartungswerte: (i)E( ) = (ii)E( X + Y ) = E(X ) + E(Y )

8 Wiederholung Rechenregeln.3 Regel für Varianzen: (i) Var (X ) = E(X 2 ) – E(X ) 2 (ii)Var (X ) = 0, if X = (iii)Var ( X ) = 2 Var(X ) (iv)Var ( + X ) = Var (X ) (v)Var ( X + Y ) = 2 Var (X ) + 2 Var (Y ) + 2 Cov(X, Y )

9 Wiederholung Rechenregeln.4 Regel für Kovarianzen: (i) Cov ( X, Y ) = E( X Y ) – E( X ) E( Y ) (ii)Cov ( X, Y ) = 0, if X = (iii) Cov ( X, Y ) = Cov ( X, Y ) (iv)Cov ( + X, + Y ) = Cov ( X, Y ) (v)Cov( 1 X X 2, 1 Y Y 2 ) = 1 1 Cov(X 1, Y 1 ) Cov(X 1, Y 2 ) Cov(X 2, Y 1 ) Cov(X 2, Y 2 ))

10 Wiederholung Rechenregeln.5 Regel für Bedingte Erwartungen (Regressionen): (i)E( X )= (ii)E( Y 1 + Y 2 X ) = E(Y 1 X ) + E(Y 2 X ) (iii)E[E(Y X )] = E(Y ) (iv)E[f (X) X ] = f (X ), if f (X ) is numeric (v)E[E(Y X ) f (X )] = E[Y f (X )] (vi) E[f (X ) Y X ] = f (X ) E(Y X ), if f (X ) is numeric

11 Wiederholung Rechenregeln.6 Eigenschaften des Residuums: (i)E( ) = 0 (ii)Cov[, E(Y X )] = 0 (iii)Var(Y ) = Var[E(Y X )] + Var( ) (iv) E( X ) = 0 (v) E [ f (X )] = 0 (vi) Cov[, f (X )] = 0, if f (X ) numeric

12 Heimstudium ;-( ! M&T, Anhang –Anhang B Mengenlehre –Anhang C Karthesisches Produkt –Box F.1 E( X ), Var( X ), Cov( X, Y ) –Box G.1 E( Y | X) M&T, Kapitel 1 - Beschreibt Ziel und Anliegen der Vorlesung Aktuelle Vorlesung: M&T Kapitel 9

13 Üben Pfaddiagramme Prinzip: 1. Schritt: Pfaddiagramm in Regressions- gleichungen zerlegen 2. Schritt: Varianz der Regressions- gleichung bestimmen 3. Schritt: Kovarianzen der Regressions- gleichungen bestimmen Häufig: Namen der Parameter Programmen zur Analyse (LISREL oder Mplus) einsetzen Als Matrix aufschreiben.

14 Pfaddiagramm Y3Y3 Y2Y2 Y1Y

15 Pfaddiagramm + Y3Y3 Y2Y2 Y1Y i := E(Y i |U ) i := Y i i

16 Y3Y3 Y2Y2 Y1Y Pfaddiagramm ++ i = ij0 + ij1 j i = i0 + i

17 Pfaddiagramm! Y3Y3 Y2Y2 Y1Y

18 Pfaddiagramm! Y 1 = Schritt: Pfaddiagramm in Regressionsgleichungen zerlegen Y 2 = Y 3 =

19 Pfaddiagramm! Var(Y 1 ) = Var( ) = Var( 11 )+Var ( 1 ) = 11 2 Var( )+Var ( 1 ) Var(Y 2 )= … 2. Schritt: Varianz der Regressionsgleichung bestimmen

20 Pfaddiagramm! Cov(Y 1, Y 2 )= Cov( , ) = Cov(, ) + 11 Cov(, 2 ) + 21 Cov( 1, ) + Cov( 1, 2 ) = Var( ) + Cov( 1, 2 ) = Var( ) 3. Schritt: Kovarianzen der Regressionsgleichungen bestimmen

21 Pfaddiagramm! Var( 1 ) 2 Var( ) 2 … Optional: Ersetzen mit Parametern…

22 Pfaddiagramm! Aufschreiben in Matrizenform: Var(Y 1 ) Cov(Y 1, Y 2 ) Cov(Y 1,Y 3 ) Var(Y 2 ) Cov(Y 2,Y 3 ) Var(Y 3 ) Y1Y1 Y2Y2 Y3Y3 Y1Y1 Y2Y2 Y3Y3

23 Pfaddiagramm! Aufschreiben in Matrizenform: 11 2 Var( )+Var ( 1 ) 21 2 Var( )+Var ( 2 ) 31 2 Var( )+Var ( 3 ) Var( ) Var( ) Var( )

24 Üben (a) Y3Y3 Y2Y2 Y1Y =1 21 =1 31 =1

25 Üben (b) Y3Y3 Y2Y2 Y1Y Var(ε 1 ) = Var(ε 2 ) = Var(ε 3 ) 11 =1 21 =1 31 =1

26 Üben (c) Y3Y3 Y2Y2 Y1Y Var(η) = = = 11

27 Üben (d) Y3Y3 Y2Y2 Y1Y = =1

28 Aufgaben 1. Leiten Sie die vom Modell implizierte Varianz- Kovarianzmatrix für ein Modell paralleler Tests mit 4 Indikatoren her. 2. Bilden Sie die Potenzmenge zu A = {p, q, r}. 3. Zeigen Sie, dass Cov( i, j ) = Cov(Y i, j ) gilt. 4. Zeigen Sie, dass Kor(Y i, i ) 2 = Rel(Y i ) gilt.

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