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1 STATISIK LV Nr.: 1375 SS 2005 15. März 2005. 2 Konfidenzintervall Ausgehend von dem Ergebnis einer Stichprobe wird ein Intervall angegeben, in dem der.

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1 1 STATISIK LV Nr.: 1375 SS März 2005

2 2 Konfidenzintervall Ausgehend von dem Ergebnis einer Stichprobe wird ein Intervall angegeben, in dem der zu schätzende Parameter der Grundgesamtheit mit einer bestimmten vorgegebenen Wahrscheinlichkeit (1-α) liegt.

3 3 Konfidenzintervall Bsp. Arithmetisches Mittel (ist bei N-Vt. Grundgesamtheit bzw. bei genügend großem Stichprobenumfang N-Vt.). Der wahre Parameter µ liegt mit der Wahrscheinlichkeit (1-α) im Intervall

4 4 Konfidenzintervall

5 5 Bsp. Körpergröße: –Mittelwert = 65,7 –Standardabweichung = 12,5 –N = 38 –2-seitiges KI zum Niveau α=0,05 Wahrscheinlichkeit, dass der wahre Parameter im KI liegt ist 0,95. Quantile: z=1,96 KI[61,7 µ 69,7]

6 6 Statistische Tests Fragen: –Besteht ein Zusammenhang zw. dem Geschlecht und dem Rauchverhalten? –Ist der Ausschussanteil kleiner als 5%? –Ist die mittlere Länge eines Werkstücks, das von zwei verschiedenen Maschinen hergestellt wird, gleich? –Soll ein neues Medikament zugelassen werden? –Stammen Daten aus einer N-Vt Grundgesamtheit? –…

7 7 Statistische Tests Deskriptive Analyse der Daten –Lage- und Streuungsmassen –Kontingenztafeln –Korrelationsmaße –Verteilungsdiagramme –… Statistischer Test, um eine theoretisch abgesicherte Entscheidung zu treffen.

8 8 Deskriptive Analyse: Box-Plot Box-Plot: grafische Darstellung einer Beobachtungsreihe (Verteilung und Struktur)

9 9 Deskriptive Analyse: Box-Plot Box-Plot –Box: beinhaltet 50% der Daten (Grenzen: 1. und 3. Quartil), Darstellung des Medians. –Whiskers: maximal 1,5-mal die Länge der Box. –Ausreißer: Werte außerhalb der Whiskers. Ausreißer Krasse Ausreißer

10 10 Deskriptive Analyse: Box-Plot Box-Plot für Vergleich von 2 Messreihen:

11 11 Statistische Tests Einführung: Testen von Hypothesen (Annahmen, Behauptungen) Statistischer Test: Verfahren, mit dessen Hilfe sich bestimmte Hypothesen auf ihre Richtigkeit hin überprüfen lassen. Statistische Testverfahren basieren auf Stichprobentheorie

12 12 Statistische Tests Einführung: Ziel: Richtigkeit von Aussagen über die Verteilung einer Zufallsvariablen überprüfen. Entscheidungsgrundlage: Ergebnis eines zufälligen Vorgangs. Daher: Entscheidungen nicht immer richtig Aber: Beim Vorliegen einiger der möglichen Verteilungen ist die Wahrscheinlichkeit falsch zu entscheiden beschränkt.

13 13 Statistische Tests: Hypothesen Hypothesen: Annahmen, Behauptungen, Aussagen über unbekannte Grundgesamtheit 2 Arten von Hypothesen: –Parameterhypothesen, Überprüfung durch Parametertests –Verteilungshypothesen, Überprüfung durch Verteilungstests

14 14 Statistische Tests: Hypothesen Formulierung von Hypothesen: Nullhypothese H 0 (Ausgangshypothese) Alternativhypothese H 1 (Gegenhypothese)

15 15 Statistische Tests: Hypothesen Bsp. Anteile: –H 0 : Ausschussanteil = 10% –H 1 : Ausschussanteil > 10% Mittelwerte: –H 0 : Mittlere Länge eines Werkstücks = 5cm –H 1 : Mittlere Länge eines Werkstücks 5cm Gruppenvergleich: –H 0 : Gruppe 1 und Gruppe 2 sind gleich –H 1 : Gruppe 1 und Gruppe 2 sind ungleich

16 16 Statistische Tests Entscheidung für H 0 oder H 1 basiert auf einer Stichprobe x 1,…,x n Wahrscheinlichkeitsaussage ob H 0 zutrifft oder nicht. Frage: H 0 ablehnen (verwerfen) oder H 0 nicht ablehnen?

17 17 Statistische Tests Mögliche Fehlentscheidungen: Fehler 1. Art (α-Fehler): obwohl H 0 korrekt ist wird H 0 abgelehnt Fehler 2. Art (β-Fehler): obwohl H 0 falsch ist wird H 0 nicht abgelehnt.

18 18 Statistische Tests Fehlentscheidungen Trifft zu Entscheidung H0H0 H1H1 H0H0 Richtige Entscheidung Fehler 2. Art (β -Fehler) H1H1 Fehler 1. Art (α-Fehler) Richtige Entscheidung

19 19 Statistische Tests Problem bei Fehlentscheidungen: Falsche Entscheidung Man weiß nicht, ob man in einer konkreten Situation einen Fehler macht, sondern nur welcher Art dieser ist.

20 20 Statistische Tests Signifikanzniveau eines Tests α: –Die Wahrscheinlichkeit eine Fehler 1. Art zu machen ist höchstens α, daher Test zum Niveau α - egal mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Fehler 2. Art begangen wird.

21 21 Statistische Tests Trifft H 0 zu und entscheidet man sich für H 1, dann ist die Wahrscheinlichkeit dabei einen Fehler zu machen α (α bekannt, wird festgelegt). Trifft H 1 zu und entscheidet man sich für H 0, dann ist die Wahrscheinlichkeit dabei eine Fehler zu machen = β (β unbekannt).

22 22 Statistische Tests

23 23 Statistische Tests D.h. durch Festlegen des α-Niveaus ist nur die Entscheidung für H 1 abgesichert. Bei Entscheidung für H 1 : –H 1 ist richtig, –H 1 ist falsch, ich mache einen Fehler mit Wahrscheinlichkeit α. Daher: Formuliere H 0 so, dass sie abgelehnt werden soll. bzw. in H 0 soll diejenige Annahme festgelegt werden, der die größere Bedeutung zukommt.

24 24 Statistische Tests Bsp. Medikamententest H 0 : Medikament ist nicht wirksam gegen H 1 : Medikament wirkt. –Fehler 1. Art: das Medikament wirkt nicht, man glaubt aber dass es wirkt –Fehler 2. Art: das Medikament wirkt, man glaubt aber dass es unwirksam ist. Wähle α=0,01 (sehr klein), da Risiko ein nichtwirksames Medikament als wirksam einzustufen sehr groß ist.

25 25 Statistische Tests Arten von Hypothesen: Einseitige Hypothesen –H 0 : θ θ 0 gegen H 1 : θ > θ 0 –H 0 : θ θ 0 gegen H 1 : θ < θ 0 Zweiseitige Hypothesen –H 0 : θ = θ 0 gegen H 1 : θ θ 0 Verteilungshypothesen: –H 0 : bestimmten Vt. gegen H 1 : nicht diese Vt.

26 26 Statistische Tests Arten von Testproblemen: –Einseitige Testprobleme Tests für einseitige Hypothesen –Zweiseitige Testprobleme Tests für zweiseitige Hypothesen –Anpassungstests Test für Verteilungshypothesen

27 27 Statistische Tests Gütefunktion oder Macht g(θ): Wahrscheinlichkeit sich für H 1 zu entscheiden, falls θ der wahre Parameter ist. Test zum Niveau α: –g(θ) α für alle θ H 0 –g(θ) α für alle θ H 1 –Ist θ H 1, ist 1-g(θ) Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art. –Funktion 1-g(θ) heißt Operationscharakteristik (OC)

28 28 Statistische Tests

29 29 Statistische Tests

30 30 Statistische Tests Trennschärfe eines Tests: –Steilheit der OC Kurve 1-g(θ) –Es gilt: Je größer die Stichprobe umso besser die Trennschärfe.

31 31 Statistische Tests


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