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Kapitel 14 Trends und Unit-root- Tests. Hackl, Einführung in die Ökonometrie (14) 2 Trends Trend: Der Erwartungswert eines Prozesses Y t nimmt mit Fortschreiten.

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1 Kapitel 14 Trends und Unit-root- Tests

2 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (14) 2 Trends Trend: Der Erwartungswert eines Prozesses Y t nimmt mit Fortschreiten der Zeit zu (oder ab) Deterministischer Trend: ist eine Funktion f(t) der Zeit, die den Erwartungswert von Y beschreibt: Y t = f(t) + u t mit Weißem Rauschen u t Beispiel: das Modell Y t = + t + u t für Y nennt man linearer Trend; ein steigender Trend entspricht > 0 Stochastischer Trend: Das Modell Y t = + Y t-1 + u t oder Y t = Y t Y t-1 = + u t mit Weißem Rauschen u t beschreibt ein irreguläres oder zufälliges Fluktuieren der Differenzen Y t um den Erwartungswert ; Y t folgt einem random walk mit Trend

3 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (14) 3 Konsumfunktion Privater Konsum, AWM-Datenbasis; Niveauwerte (PCR) und erste Differenzen (PCR_D)

4 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (14) 4 Trends: Random walk und AR- Prozess

5 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (14) 5 Random walk mit Drift Das Modell Y t = + Y t-1 + u t kann geschrieben werden als Y t = Y 0 + t + it u i : Drift Komponenten des Prozesses: Deterministischer Wachstumspfad Y 0 + t Kumulierte Störgrößen it u i Eigenschaften: Erwartungswert Y 0 + t ist nicht konstant! Var{Y t } = t wird beliebig groß! Corr{Y t,Y t-k } = (1-k/t) Nicht-stationär

6 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (14) 6 Random walk mit Trend, Forts. Aus Corr{Y t,Y t-k } = (1-k/t) folgt: Für fixes k sind Y t und Y t-k umso stärker korreliert, je größer t Mit wachsendem k geht Korrelation gegen Null, aber umso langsamer, je größer t (long memory property) Vergleich von random walk mit AR(1)-Prozess Y t = + Y t-1 + u t Bei AR(1)-Prozess fallen die Gewicht von u t-i mit i Bei nahe bei Eins ist ähnlicher Verlauf des AR(1)- Prozesses zu erwarten wie bei random walk

7 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (14) 7 Nicht-Stationarität: Konsequenzen AR(1)-Prozess Y t = Y t-1 + u t mit Weißem Rauschen u OLS-Schätzer für : Für | | < 1: konsistent Asymptotisch normalverteilt Für = 1: wird unterschätzt Schätzer nicht normalverteilt spurious regression Problem bei 2 nicht-stat. Proz.

8 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (14) 8 Spurious Regression Y t sei ein random walk ohne Drift (wahres Modell): Y t =Y t-1 + u t mit Weißem Rauschen u Y t ist ein nicht-stationärer Prozess; stochastischer Trend Varianz von Y t ist Vielfaches von t wird modelliert als (misspezifiziertes) Modell: Y t = + t + v t Deterministischer Trend Konstante Fehlervarianz Was kann für den OLS-Schätzer für erwartet werden?

9 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (14) 9 Spurious Regression, Forts. Modellierung eines stochastischen Trends Y t =Y t-1 + u t durch einen deterministischen Trend Y t = + t + v t Verteilungen der t- und F-Statistiken sind nicht die t- und F-Verteilung; kritische Schranken sind wesentlich größer! Nullhypothese wird im t-Test zu oft verworfen! Bestimmtheitsmaß liegt bei etwa 0.45 (n=100), obwohl Y t ein random walk ohne Trend! Regression von Y t auf einen anderen, unabhängigen random walk X t : Testverteilungen sind nicht t und F. R 2 ist zu groß ! [Granger & Newbold (1974)]

10 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (14) 10 Modelle für Variable mit Trend Liegt ein deterministischer Trend Y t = + t + u t vor wird Y t im Niveau modelliert Y t = + t + u t Modellieren in 1.Differenzen Y t = + v t hat auto- korrelierte Störgrößen v t zur Folge (Schätzer sind unverzerrt, konsistent, HAC-Korrektur, asymptotisch normal verteilt) Liegt ein RW vor Y t =Y t-1 + u t fehlerhafter Entscheidungen, Varianz wird unterschätzt wird Y t in der 1.Differenz modelliert Y t = + u t u t ist nicht autokorreliert, und hat konstante Varianz

11 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (14) 11 Modelle für Variable mit Trend Der unit-root-Test hilft beim Entscheiden, welche Spezifikation korrekt ist. Stationärer Prozess Random walk (stoch. Trend) Deterministischer Trend

12 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (14) 12 Eliminieren von Trends Eliminieren eines Trends kann Stationarität herbeiführen. Trend-stationärer Prozess: der Prozess kann durch Subtrahieren eines deterministischen Trends in einen stationären Prozess übergeführt werden. Differenz-stationärer Prozess oder integrierter Prozess: stationärer Prozess kann durch das Bilden von Differenzen abgeleitet werden. Ein stochastischer Prozess Y heißt integriert von der Ordnung Eins, wenn die ersten Differenzen einen stationären Prozess ergeben: Y ~ I(1) integriert von der Ordnung d, wenn die d-fachen Differenzen einen stationären Prozess ergeben: Y ~ I(d)

13 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (14) 13 Eliminieren von Trends, Beispiele Random walk Y t = + Y t-1 + u t mit Weißem Rauschen u: Y t = Y t Y t-1 = + u t ist ein stationärer Prozess; ein random walk ist ein differenzen-stationärer oder integrierter Prozess der Ordnung eins Linearer Trend Y t = + t + u t besteht aus einem linearen Trend und Weißem Rauschen; Subtrahieren der Trendkomponente ( + t) liefert einen stationären Prozess; Y t ist ein trend-stationärer Prozess

14 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (14) 14 Integrierte stochastische Prozesse Random walk Y t = + Y t-1 + u t mit Weißem Rauschen u ist integriert von der Ordnung eins Viele ökonomische Zeitreihen zeigen stochastische Trends; aus der AWM-Datendasis: ARIMA(p,d,q)-Prozess: d-te Differenzen folgen einem ARIMA(p,q)-Prozess Variabled YERBrutto-Inlandsprodukt, real1 PCRPrivater Konsum, real1-2 PYRVerf. Einkommen der HH, real1-2 PCDKonsumdeflator2

15 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (14) 15 Unit-root-Test AR(1)-Prozess Y t = Y t-1 + u t mit Weißem Rauschen u OLS-Schätzer für Verteilung von (sprich Tau) | | < 1: näherungsweise t(n-1) = 1: Perzentile nach Dickey & Fuller DF-Test zum Testen von H 0 : = 1 gegen H 1 : < 1 = 1: das charakter. Polynom hat die Wurzel eins

16 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (14) 16 Dickey & Fuller Perzentile Monte Carlo geschätzt nach Fuller (1976) np = 0.01p = 0.05p = N(0,1)

17 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (14) 17 DF-Test: Alternative Darstellung AR(1)-Prozess: Y t = Y t-1 + u t (auf beiden Seiten -Y t-1 ) oder Y t = ( -1)Y t-1 + u t = Y t-1 + u t DF-Test testet H 0 : -1) = 0 gegen H 1 : -1 < 0 bzw. H 0 : = 0 gegen H 1 : < 0 bzw. H 0 : = 1 gegen H 1 : < 1 Teststatistik: = d/se(d) mit d = und se(d) = se( )

18 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (14) 18 DF-Test: Das Verfahren Zwei Schritte: 1. Regression von Y t auf Y t-1. Schätzen mit OLS. Y t = Y t-1 + u t OLS-Schätzer d für 2. Test von H 0 : = 0 gegen H 1 : < 0 Teststatistik (t-Test): = d/se(d) Kritische Werte aus der Tabelle G3

19 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (14) 19 DF-Test: Erweiterungen DF-Test für Modell mit Interzept: Y t = + Y t-1 + u t DF-Test für Modell mit Interzept und Trend: Y t = + t + Y t-1 + u t DF-Test testet H 0 : = 0 gegen H 1 : < 0 Teststatistik: = d/se(d) (Modell mit Interzept) = d/se(d) (Modell mit Interzept u Trend) Kritische Werte aus Tabelle G3. Verteilungen sind unterschiedlich.

20 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (14) 20 ADF-Test: Augmented DF-Test Erweitertes Modell entsprechend einem AR(p)-Prozess Y t = Y t Y t-1 … p Y t-p + u t Test von H 0 : = 0 gegen H 1 : < 0 Zwei Schritte: 1. Regression von Y t auf Y t-1 und Y t-1, …, Y t-p : OLS-Schätzer d für 2. Test von H 0 : = 0 gegen H 1 : < 0 Teststatistik = d/se(d) Kritische Werte aus Tabelle G.2 Wahl von p automatisch mit AIC oder SBC. Erweiterungen analog zum DF-Test

21 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (14) 21 Weitere Verfahren Phillips-Perron-Test Alternatives Verfahren zum ADL-Test Teststatistik d/se(d) mit HAC-korrigiertem se(d) Verfahren von Perron Mehrstufiges Verfahren für Y t = + t + Y t-1 + u t Schränkt das Modell mehr und mehr ein Siehe Abschnitt


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