Trigonometrische Höhenbestimmung

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2 Trigonometrische Höhenbestimmung
Beim trigonometrischen Nivellement werden die Höhenunterschiede mit Hilfe eines Tachymeters bestimmt (anstelle des Nivelliergerätes beim geometrischen Nivellement). Hierzu werden von einem Punkt A, dessen Höhe bekannt ist, der Zenitwinkel z und die Schrägdistanz d zum Punkt B gemessen. Die Höhe des Punktes ergibt sich aus: HB = HA + Δh + i – t Δh = d · cos z = e · cot z Diese Methode erlaubt eine schnelle Höhenübertragung über größere Entfernungen. Ab einer Zielweite von über 200 Metern ist die Erdkrümmung und die terrestrische Refraktion zu berücksichtigen.

3 Satz des Thales „Konstruiert man ein Dreieck aus den beiden Endpunkten des Durchmessers eines Halbkreises (dem Thaleskreis) und einem weiteren Punkt dieses Kreises, erhält man immer ein rechtwinkliges Dreieck.“ Bedingt durch die besondere Bedeutung des rechten Winkels als Grundfigur in der Geometrie und praktischen Konstruktion findet dieser, dem griechischen Philosophen und Mathematiker Thales von Milet (um 600 v. Chr.) zugeschriebene Lehrsatz, seit jeher Beachtung und Anwendung.

4 Ellipsoidische Höhen und Normalhöhen
Vereinfacht betrachtet, nimmt die Erde die Gestalt eines (Rotations-)Ellipsoids ein. In diesem Modell bezeichnet die Ellipsoidische Höhe HE den metrischen Abstand eines Punktes P zur Ellipsoidoberfläche gemessen entlang der Ellipsoidnormalen. Diese Höhen werden zum Beispiel bei GPS-Messungen ermittelt. Die tatsächliche Niveauoberfläche (eine gedachte durchgängige ruhende Wasserfläche) ist jedoch nicht gleichförmig, da die Massenverteilung innerhalb des Erdkörpers ungleichmäßig ist. Das Quasigeoid ist ein durch Messungen bestimmtes Modell, welches sich dieser Niveaufläche annähert und so genannte Normalhöhen HN (m ü. NHN) liefert. Bei bekannten Quasigeoidundulationen N können ellipsoidische Höhen HE in Normalhöhen HN umgerechnet werden und umgekehrt. HE = HN + N ; N = Quasigeoidundulation

5 Klothoide Die Klothoide (v. griechisch „spinnen“) ist eine spezielle ebene Kurve. Der Krümmungsradius dieser Kurve ist umgekehrt proportional zur Länge des Bogens: r = a2 , a > l wobei r der Krümmungsradius, l die Länge des Bogens und a eine Konstante ist. Die Größe des Parameters a kennzeichnet eine Klothoide eindeutig. Alle Klothoiden sind einander ähnlich. Die Klothoide wird z. B. als Übergangsbogen bei Kurven im Straßenbau eingesetzt. Ihr Krümmungsverlauf nimmt linear zu und dient einer ruckfreien Fahrdynamik. Der Fahrer hat den Vorteil/Komfort, im Kurvenverlauf gleichmäßig am Lenkrad drehen zu können, ohne dabei die Geschwindigkeit ändern zu müssen.

6 Kleinpunktberechnung
Eine klassische Messmethode ist das so genannte Orthogonalverfahren. Hierbei werden neu zu bestimmende (Klein-)Punkte auf eine vorhandene Messungslinie orthogonal (rechtwinklig) aufgemessen, indem der orthogonale Abstand d des Punktes Pi von der Messungslinie (das Lot) und der Abstand S f des Lotfußpunktes vom Anfangspunkt PA gemessen werden. Sind die Koordinaten der Endpunkte der Messungslinie bekannt, können die Koordinaten der Kleinpunkte durch Umrechnung bestimmt werden. Yi = YA + o · sf + a · d Xi = XA + a · sf – o · d mit den Quotienten a und o: o = (YE – YA) S a = (XE – XA)

7 Grundformel eines Nivellements
Als Nivellement wird die Messung von Höhenunterschieden zwischen Punkten bezeichnet. Beim geometrischen Nivellement wird der Höhenunterschied zu einem waagerecht aufgestellten Nivelliergerät an Nivellierlatten abgelesen. Die Ablesung an der Nivellierlatte auf dem bekannten Punkt wird Rückblick genannt, die Ablesung auf dem neuen Punkt heißt Vorblick. Die Ablesungen werden subtrahiert, Rückblick minus Vorblick, um den Höhenunterschied zu erhalten Δhi = ri – vi

8 Cosinussatz Der Cosinussatz stellt eine Beziehung zwischen den drei Seiten eines Dreiecks und einem der drei Winkel des Dreiecks her. c = a2 + b2 – 2ab · cos γ Praktisches Anwendungsbeispiel: Die Strecke zwischen zwei Punkten A und B ist gesucht, kann aber nicht direkt gemessen werden. Die Strecke c kann nun indirekt bestimmt werden, indem von einem seitlich gelegenen Punkt C die Entfernungen zu den Punkten A und B, sowie der Winkel zwischen den beiden Punkten gemessen werden. Durch Anwendung des Cosinussatzes kann die gesuchte Strecke nun rechnerisch ermittelt werden.

9 Höhe und Höhenfußpunkt
Die Höhe und der Höhenfußpunkt sind wichtige Bestimmungsstücke in einem Dreieck. Die Berechnung der Größen ist möglich, wenn die Seiten des Dreiecks ABC bekannt sind oder gemessen werden. Der Flächeninhalt eines Dreiecks errechnet sich aus der Grundseite multipliziert mit der Höhe des Dreiecks geteilt durch 2. p = (b2 + c2 – a2) c h = b2 – p2 A = ½ · c · h

10 Trapez Ein Trapez ist ein spezielles ebenes Viereck mit zwei parallel zueinander liegenden Seiten. Der Abstand der parallelen Seiten a und c ist die Höhe h des Trapezes; sie wird von der Mittellinie m, die die Mittelpunkte der Schenkel b und d miteinander verbindet, halbiert. Das Trapez ist, neben dem Dreieck, eine der geometrischen Grundfiguren die insbesondere bei der Flächenberechnung genutzt wird. Beispielsweise kann eine Fläche, deren Eckpunkte orthogonal auf eine Messungslinie aufgemessen wurden, direkt in Dreiecke und Trapeze zerlegt werden, deren Teilflächen sich dann problemlos berechnen lassen. m = ½(a + c) U = a + b + c + d F = ½(a + c) · h

11 Strahlensatz Erster Strahlensatz: Werden die von einem Punkt ausgehenden Strahlen von Parallelen geschnitten, so bestehen zwischen gleichliegenden Abschnitten der Strahlen gleiche Verhältnisse: A b a b a’ b’ a + a’ b + b’ Zweiter Strahlensatz: Werden die von einem Punkt ausgehenden Strahlen von Parallelen geschnitten, so bilden die Abschnitte auf den Parallelen und die zugehörigen Strahlenabschnitte gleiche Verhältnisse: c a a a + a’ c’ a + a’ c c’ Mit Hilfe des Strahlensatzes lässt sich eine unbekannte Strecke berechnen, wenn drei andere Größen in dem Strahlenpaar bekannt sind, bzw. gemessen werden.

12 Gauß’sche Glockenkurve
Messungen sind, abhängig von äußeren Einflüssen und Gerätefehlern, mit Messungenauigkeiten behaftet. Diese Ungenauigkeiten werden durch die Standardabweichung σ ausgedrückt. In einer Messreihe werden sich die Ergebnisse der Einzelmessungen um einen Erwartungswert μ (= Mittelwert) einfinden. Die von Carl Friedrich Gauß entwickelte Normalverteilungsfunktion beschreibt die Verteilung der Messergebnisse um diesen Mittelwert in Abhängigkeit von der Standardabweichung. Hiernach lässt sich die Aussage machen, dass ca. 68,27 % aller Messwerte maximal um den Betrag σ vom Mittelwert abweichen. 95,45 % aller Messwerte haben eine Abweichung von höchstens 2σ und 99,73 % von höchstens 3σ vom Mittelwert. Hier dargestellt ist die standardisierte Normalverteilung, die den Erwartungswert μ = 0 und die Standardabweichung σ = 1 Besitzt. f(x) = 1 · e–½ · x π

13 Polarpunktberechnung
Sind die Polarkoordinaten (Strecke s und Richtungswinkel t) zwischen zwei Punkten bekannt, so lassen sich die rechtwinkligen Koordinatenunterschiede Δy und Δx berechnen. Die Polarkoordinaten werden in der Regel durch die Messung mit einem Tachymeter bestimmt (Polaraufnahme). Sind die Koordinaten y1 und x1 des Punktes P1 bekannt, ergeben sich die Koordinaten des Punktes Pi zu yi = y1 + Δy = y1 + s · sin t xi = x1 + Δx = x1 + s · cos t Dieses polare Anhängen wird auch als „Erste Geodätische Grundaufgabe“ bezeichnet.