2 Polykristalline Werkstoffe Zufällige Orientierung der Kristallite (typisch für „isotrope“ Pulver) Vorzugsorientierung der Kristallite (typisch für.

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3 2 Polykristalline Werkstoffe Zufällige Orientierung der Kristallite (typisch für „isotrope“ Pulver) Vorzugsorientierung der Kristallite (typisch für plättchenförmige Teilchen) Vorzugsorientierung der Kristallite (typisch für Nadeln)

4 3 Vorzugsorientierung der Kristallite Textur a) Fasertextur (Zugversuche) b) Walztextur c) Geneigte Fasertextur (PVD dünne Schichten) (a) (b) (c)

5 4 Walztextur Normalrichtung Walzrichtung (hkl) [uvw]

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7 Texturen und Vorzugsorientierung Vorzugsorientierung -Abweichung von zufälligen Orientierungsverteilung der Kristallite (oftmals gegeben durch die Morphologie der Kristallite) -Vorzugsorientierungen können parallel oder senkrecht („in-plane“) zur Probennormalen auftreten -im Beugungsbild weichen die Intensitäten von denen eines zufällig orientierten Pulvers ab -kann in der Gleichung der kinematischen Intensität mit berücksichtigt werden (solange die Vorzugsorientierung nicht zu stark ist) Textur: beschreibt die Anordnung der Kristallite eines Gefüges relativ zu einem festen, äußeren Probenkoordinatensystem (meist so gewählt, dass dieses mit der Belastung zusammenfällt) Wie kann diese beschrieben werden?

8 Texturen und Vorzugsorientierung Vorzugsorientierung -beeinflußte Peaks haben Beugungsvektor des Laue Spots d* hkl parallel (Plättchen) oder senkrecht (Nadeln) zum reziproken Gittervektor der bevorzugten Orientierung d* T hkl -Einfluss auf Intensität anderer Reflexe schwächer -winkelabhängiger Einfluss auf die Intensität  ist der Winkel zwischen Beugungsvektor und den Netzebenennormalen mit der bevorzugten Orientierung

9 Texturen und Vorzugsorientierung Harris – Texturindex -Harris-Texturindex beschreibt eine Anzahl an Kristalliten mit Netzebenen (Poldichte) deren Normale (hkl) parallel zum Beugungsvektor liegt funktioniert nur bei schwachen Texturen, da bei starken Polfiguren die Poldichten inkorrekt gemittelt werden T = 1: keine Vorzugsorientierung

10 Texturen und Vorzugsorientierung Vorzugsorientierung – Intensitätsfaktoren -verschiedene Ansätze zur Beschreibung der Intensitätsänderung -elliptisch -March-Dollase N … symmetrieäquivalente reziproken Gitterpunkte  … Stärke der Textur T ∟ … Nadeln T || … Plättchen T hkl ist proportional zur Anzahl an Kristalliten mit hkl-Ebenen parallel zur Probenoberfläche

11 Texturen und Vorzugsorientierung Vorzugsorientierung – Intensitätsfaktoren -beide Gleichungen erzeugen fast das gleiche quantitative Ergebnis für schwache Texturstärken -starke Texturen können mit diesen Funktionen nicht beschrieben werden -Nadeln und Plättchen sind Grenzwerte für die Betrachtung von T hkl -es kann nötig sein mehrere Texturkomponenten durch mehrere T hkl zu beschreiben k 0 … texturloser Anteil

12 Texturen und Vorzugsorientierung Vorzugsorientierung – Intensitätsfaktoren -Beschreibung durch sphärische, harmonische Funktionen -die Probenorientierung ist in Bragg-Brentano-Anordnung fix (Faktor entfällt) -nur gerade Ordnungen (Inversionzentrum der Beugung) -Anzahl der Koeffizienten C und Faktoren k(hkl) variiert mit Ordnung L und Symmetrie -geringer Symmetrie: viele k(hkl), geringe Ordnung L -hohe Symmetrie: wenig k(hkl), hohe Ordnung L nötig L … max. Ordnung der Harmonischen hkl … Bragg-Maximum xyz … Probenorientierung C … harmonische Koeffizienten k(hkl), k(xyz) … harmonische Faktoren Stärke der Textur J = 1: keine Vorzugsorientierung

13 Texturen und Vorzugsorientierung Vorzugsorientierung – Intensitätsfaktoren -Bsp.: sphärisch harmonische -ebenfalls versuch der Beschreibung der Häufigkeit mit dem eine bestimmte Orientierung von Kristalliten angetroffen wird -ist die derzeit beste/umfassendste Beschreibung -viele Koeffizienten, können Parameterkorrelationen verursachen – Konsistenzcheck der Ergebnisse -Wieviele Koeffizienten sind (physikalisch sinnvoll) wirklich nötig? orthorhombisch [Cmc2 1 ] hkl = 100 2. und 4. Ordnung C 0 2, C 2 2, C 0 4, C 2 4, C 4 4

14 Texturen und Vorzugsorientierung Bestimmen der Poldichte im reziproken Raum: Polfiguren -Polfigur: -Darstellung eines ausgewählten Satzes an Netzebenennormalen in einer stereographischen Projektion, welche bzgl. eines Probenkoordinatensystems aufgetragen werden -Projektion der bevorzugten Orientierung -Auswahl einer Kristallrichtung (niedrigindizierte Ebene) -Darstellung in Polarkoordinaten (Azimut und Inklination): die 3-Parameter- Orientierungsbeschreibung (Euler-Winkel) wird auf 2 Winkel projiziert -Darstellung der oberen Hälfte der Projektion

15 Texturen und Vorzugsorientierung orthographische Projektion Bestimmen der Poldichte im reziproken Raum: Polfiguren -Pol -ist der Durchstoßpunkte der Normalen einer bestimmten kristallographischen Netzebene durch die Oberfläche einer Kugel mit Einheitsradius in der Polfigur sind Orientierungsverteilungen vieler Kristallite um bestimmte Pole dargestellt

16 Texturen und Vorzugsorientierung Bestimmen der Poldichte im reziproken Raum: Polfiguren -stereographische Projektion -Projektion der Kugeloberfläche mit den Durchstoßpunkten auf eine Ebene -Problem: wie aus der Kartographie bekannt: -winkeltreu (Schmid) oder flächentreu (Wulff)

17 Texturen und Vorzugsorientierung Bestimmen der Poldichte im reziproken Raum: Polfiguren stereographisch: winkeltreu flächentreu

18 Texturen und Vorzugsorientierung Bestimmen der Poldichte im reziproken Raum: Polfiguren -Standard (001)-Projektion Schnittpunkte der Ebenen(flächen) mit der Einheitskugel

19 Texturen und Vorzugsorientierung {110} {100} {111} Standard (001)-Projektion

20 Texturen und Vorzugsorientierung Messen von Polfiguren -4-Kreis-Diffraktometer -Einstellen des Bragg-Winkels (Auswahl der Netzebene) -Verkippen der Probe bzgl. der Fokussierebene (  ) -definiert Abstand zum Zentrum der stereographischen Projektion (  < 80°) -Drehung um die Probennormale (  )

21 20 Die Eulerwiege

22 21 Untersuchung der Vorzugsorientierung  = 0, 2-scan (symmetrische Beugungsgeometrie) … Vorzugsorientierung senkrecht zur Probenoberfläche, Fasertextur. 2 konst., -scan (Messung an einer Beugungslinie) … Grad der Vorzugsorientierung (aus der Breite der Gaußschen Verteilung), Neigung der Textur … Der Winkelbereich ist beschränkt, für kleine Beugungswinkel nicht geeignet. 2-scans bei verschiedenen  Winkeln (Messung an einer Beugungslinie) … Grad der Vorzugsorientierung (aus der Breite der Gaußschen Verteilung), Neigung der Textur … Der Winkelbereich ist durch die maximale Kippung der Probe definiert. 2-scan, -scan (q-scan, reciprocal space mapping) … Untersuchung der Textur und der Eigenspannung erster Art.

23 Texturen und Vorzugsorientierung Messen von Polfiguren

24 23 Untersuchung der Vorzugsorientierung „  -scanning” Preferred orientation {110} Mathematische Beschreibung der Textur

25 Texturen und Vorzugsorientierung Messen von Polfiguren - Messstrategien

26 Texturen und Vorzugsorientierung Messen von Polfiguren Intensitätskorrektur Peaküberlagerung

27 Texturen und Vorzugsorientierung Messen von Polfiguren -je niedriger die Symmetrie, desto mehr Polfiguren für unabhängige hkl müssen gemessen werden -niedrigindizierte Netzebenen (kleine 2  ) haben meist hohe Intensitäten und liegen meist auf Symmetrieachsen des Kristalls -bei Messung einer einzigen Polfigur erhält man keine Information über die Richtungen in der Ebene Achtung: -Untergrund der Polfigur abziehen -Strahl ist defokussiert bei  -Verkippung -nach Möglichkeit Normalisierung der Daten (MRD: multiples of random density) -Genauigkeit: ~ 2°, Synchrotron: ~ 0.1°

28 Texturen und Vorzugsorientierung Quantifizierung von Polfiguren -3 Parameter beschreiben die Orientierung eines Kristalls relativ zur Umgebung (Matrix, Einbettung, Probe,…) -meist werden sogenannte Euler-Winkel genutzt (3 Rotationswinkel) -XRD misst nicht alle 3 Winkel (Orientierungsverteilung muss gerechnet werden) -XRD: Orientierung über einen ausreichend großen Bereich (vgl. EBSD) -Polfigur meint hier: Variation der begeugten Intensität in Abhängigkeit von der Probenrichtung Häufigkeit des Auftretens einer bestimmten Kristallrichtung bzgl. des Probenkoordinatensystems

29 28 Euler Angles, Animated e 1 =X sample =RD e 2 =Y sample =TD e 3 =Z sample =ND e’ 1 e’ 2   e” 2 e” 3 e’ 3 = =e” 1 y crystal =e”’ 2  x crystal =e”’ 1 z crystal =e”’ 3 = [010] [100] [001] Euler-Winkel  Orientierungmatrix

30 Texturen und Vorzugsorientierung Interpretation von Polfiguren -Euler-Winkel gelten in einem orthonormalsystem in Kristallkoordinaten -für cub, tet, orth i. Allg. entlang der Basisvektoren definiert (für alle anderen Systeme mehrere Möglichkeiten) -Orientierung g eines Kristallits -Rotationsmatrix zwischen Probenkoordinaten und Kristallkoordinaten RD TD ND [uvw] (hkl)

31 Texturen und Vorzugsorientierung Interpretation von Polfiguren zur Bestimmung der Euler- Winkel aus Polfiguren sind mindestens 2 gemessene Polfiguren nötig, da 3 Winkel durch Projektion auf 2 reduziert werden

32 Texturen und Vorzugsorientierung Interpretation von Polfiguren zur Bestimmung der Euler- Winkel aus Polfiguren sind mindestens 2 gemessene Polfiguren nötig, da 3 Winkel durch Projektion auf 2 reduziert werden

33 Texturen und Vorzugsorientierung Interpretation von Polfiguren -jede „Familie“ von Kristallen wird in verschiedenen Orten in der Polfigur gefunden  Varianten

34 Texturen und Vorzugsorientierung Interpretation von Polfiguren

35 Texturen und Vorzugsorientierung Interpretation von Polfiguren 110 100 111

36 Texturen und Vorzugsorientierung Interpretation von Polfiguren

37 Texturen und Vorzugsorientierung Interpretation von Polfiguren Fasertextur kubische Symmetrie

38 Texturen und Vorzugsorientierung Interpretation von Polfiguren orthorhombische Symmetrie monokline Symmetrie

39 Texturen und Vorzugsorientierung Interpretation von Polfiguren -zur gemessenen Netzebene entsprechendes (hkl)-Stereogramm rechnen -Zentrum des Stereogramms auf ND in Polfigur -Rotation des Stereogramms bis gemessene Maxima mit bestimmten Polen im Stereogramm übereinstimmen -Textur ist jetzt (hkl) || ND und [uvw]|| RD

40 39 Winkel zwischen den Netzebenen In kubischen Systemen In orthogonalen Systemen In hexagonalen Systemen (hkl) 1 (hkl) 2

41 40 Winkel zwischen Netzebenen im kubischen Kristallsystem

42 41 Winkel zwischen Netzebenen im kubischen Kristallsystem h 1 k 1 1 = 110 h 2 k 2 2 = 110  12 Kombinationen h 2 k 2 2 = 110 101 011 Winkel = 0° 60° 60° h 2 k 2 2 = -110 -101 0-11 Winkel = 90° 60° 60° h 2 k 2 2 = 1-10 10-1 01-1 Winkel = 90° 60° 60° h 2 k 2 2 = -1-10 -10-1 0-1-1 Winkel = 0° 60° 60°

43 42 Fasertextur – Transmissionsgeometrie (Debye-Ringe)

44 43 Fasertextur im Aluminium (kfz) (111) Winkel zwischen (111) und 111: 0°, 70.53° 200: 54.74° 220: 35.26°, 90° 311: 29.50°, 58.52°, 79.98° 222: 0°, 70.53°

45 44 Untersuchung der Vorzugsorientierung „reciprocal space mapping” Umrechnung in die q-Einheiten

46 45 Darstellung der Vorzugsorientierung „reciprocal space mapping” Measured using CuK  radiation A highly textured gold layer

47 Texturen und Vorzugsorientierung Inverse Polfiguren -Gedankenexperiment: man stelle sich auf die Kristallachsen und beobachte wo die Probenachsen in Relation zu diesen liegen

48 Texturen und Vorzugsorientierung Orientierungsdichteverteilungsfunktion (ODF) -vollständige mathematische Beschreibung der Textur eines einphasigen polykristallinen Materials -gibt den Volumenanteil dV(g) der Kristallite des Probenvolumens V an, welche innerhalb eine Orientierungsintervalls  g eine bestimmte Orientierung g bzgl. eines kartesischen Koordinatensystems haben -keine Aussage zu Ort, Größe, Morphologie der Kristalle -regellose Verteilung der Kristallite: f(g) = const. -ODF muss für alle gleichwertigen Orientierungen gleich sein -Eulerwinkel bewerkstelligen den Bezug zwischen Proben- und Kristallkoordinatensystem -Nutzung des Eulerraumes mit  1, ,  2 als Basisvektoren (Orientierungsbeschreibung) -additive Überlagerung der Orientierungen verschiedener Kristallite ergeben sich Punktwolken im Euler-Raum  Textur = Lage und Dichte der Punktwolke

49 Texturen und Vorzugsorientierung Orientierungsdichteverteilungsfunktion (ODF) -3D-Darstellung i. Allg. kompliziert zu repräsentieren, daher Schnittdarstellung: äquidistant entlang  2 parallel zur  1 -  -Fläche -Iso-Linien-Darstellung -ODF erfordert mehrere linear unabhängige Polfiguren -eine Polfigur entspricht einer 2D-Projektion der 3D-ODF

50 Texturen und Vorzugsorientierung Orientierungsdichteverteilungsfunktion (ODF)