Klassenstufe 10 -Einführung des Ableitungsbegriffs Julia Klein.

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1 Klassenstufe 10 -Einführung des Ableitungsbegriffs Julia Klein

2 Aufbau Einordnung in den Lehrplan Lernvoraussetzungen Mathematische Sachverhalte Verschiedene Zugänge Gruppenarbeit Eigener Vorschlag

3 Einordnung in den Lehrplan 1) Allgemeine Sinusfunktion 2) Stereometrie 3) Folgen 4) Eigenschaften stetiger Funktionen 5) Einführung in die Differenzialrechung

4 Einordnung in den Lehrplan 1) Allgemeine Sinusfunktion 2) Stereometrie 3) Folgen 4) Eigenschaften stetiger Funktionen 5) Einführung in die Differenzialrechung

5 Einführung in die Differentialrechnung - Verbindliche Inhalte Globale Änderungsrate Lokale Änderungsrate Ableitung von Funktionen Anwendungen

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7 Lernvoraussetzungen Steigung von Geraden Umrechung von Steigung in Steigungswinkel Bestimmung von Geradengleichungen Funktionen

8 Mathematische Sachverhalte Differentialquotient bzw. Ableitung  Definition:  Symbolik: f`(x o ),

9 Mathematischer Sachverhalt Existiert der Grenzwert, so heißt dieser Grenzwert Ableitung oder Differentialquotient von f an der Stelle x 0. Er gibt die Steigung des Graphen von f an der Stelle x 0, also die Steigung des Graphen von f im Punkt P 0 (x 0 |f(x 0 )) an.

10 Verschiedene Zugänge Der Zugang zum Ableitungsbegriff ist durch 4 Sichtweisen geprägt: geometrisch, numerisch, algebraisch und anwendungsorientiert

11 Verschiedene Zugänge 1) Lokale Änderungsrate 2) Das Tangentenproblem 3) Lokale Approximation

12 1) Lokale Änderungsrate Beispiele  Lokale Steigung eines Weges  Momentangeschwindigkeit einer Bewegung  Momentane Zuwachs- bzw. Abnahmerate

13 1) Lokale Änderungsrate Beispiele  Lokale Steigung eines Weges  Momentangeschwindigkeit einer Bewegung  Momentane Zuwachs- bzw. Abnahmerate

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15 1) Lokale Änderungsrate Zugang über einen Bewegungsvorgang, der in einem Weg-Zeit Diagramm gegeben ist Interpretation des Bewegungsablaufes (Geschwindigkeit) Geschwindigkeit in gegebenen Zeitintervallen (Durchschnittsgeschwindigkeit (globale Änderungsrate)) Frage nach der Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t 0. Verkleinerung der Zeitintervalle [t 0, t] mit t=t 0 +h; t  t 0 bzw. h  0  Für t  t 0 ergibt sich die Momentangeschwindigkeit

16 1) Lokale Änderungsrate Definition Wenn für eine von x abhängige Größe f die globale bzw. mittlere Änderungsrate für x  x 0 gegen den Wert m(x 0 ) strebt, so heißt m(x 0 ) die lokale bzw. momentane Änderungsrate von f an der Stelle x 0.

17 1) Lokale Änderungsrate Ein weiteres Beispiel Begründe, warum ist die Änderungsrate des Kreisflächeninhalts der Umfang? Stelle dir vor, der Kreis wird von der Mitte aus aufgeblasen.

18 1) Lokale Änderungsrate Lösung

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20 2) Das Tangentenproblem Vorgehensweisen: 1. Definition der Steigung einer Kurve in einem Punkt über die Tangente 2. Die Tangente als Grenzlage von Sekanten 3. Berechnung der Tangentensteigung als Grenzwert  Differenzenquotient

21 2) Das Tangentenproblem 1. Definition der Steigung einer Kurve in einem Punkt über die Tangente Die Steigung einer Kurve in einem Punkt wird definiert durch die Steigung der Tangente in diesem Punkt.  Das allgemeine Steigungsproblem der Kurve wird auf die Steigung einer Geraden reduziert

22 2) Das Tangentenproblem Problem: Wechsel von einer geometrischen zu einer analytischen Auffassung

23 Das Tangentenproblem

24 2) Das Tangentenproblem Geometrisch: Die Tangente ist eine Gerade, die mit der Kurve genau einen Punkt gemeinsam hat und diese nicht durchdringt Analytisch: Die Tangente ist der Punkt, der sich der Kurve lokal um den Berührpunkt anschmiegt

25 2) Das Tangentenproblem 2. Die Tangente als Grenzlage von Sekanten

26 2) Das Tangentenproblem 3. Berechnung der Tangentensteigung als Grenzwert des Differenzenquotienten:

27 2) Das Tangentenproblem - Vorteile Konkret graphische Anschauung des Problems (ikonisch) Direkte Anbindung des Tangentenbegriffs an den Grenzwertbegriff

28 2) Das Tangentenproblem - Nachteile Wechsel vom geometrischen Tangentenbegriff zu einer analytischen Auffassung

29 3) Lineare Approximation

30 Wenn h gegen Null geht, geht auch die absolute Abweichung gegen Null (gilt für jede Gerade)

31 3) Lineare Approximation Berechnung der absoluten Abweichung:

32 3) Lineare Approximation Nur wenn g die Tangente an die Kurve darstellt, dann geht auch der relative Fehler gegen Null.

33 Gruppenarbeit Plant eine Stunde zur Einführung des Ableitungsbegriffs! Gruppe 1: Lokale Änderungsrate Gruppe 2: Tangentenproblem Gruppe 3: Lokale Linearisierung

34 Eigener Vorschlag Zugang: Tangentenproblem Bearbeitung eines Arbeitsblattes  Hinführung zum Differenzenquotient  Hinführung zum Ableitungsbegriff bzw. zur Tangentensteigung

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36 Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit