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School of Engineering 1. Signalbeschreibung im Zeitbereich SiSy, Signal, 1-1 Inhaltsverzeichnis 1.1Signalklassen * Kapitel 7.1.1 1.2Symmetrie-Eigenschaften.

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1 School of Engineering 1. Signalbeschreibung im Zeitbereich SiSy, Signal, 1-1 Inhaltsverzeichnis 1.1Signalklassen * Kapitel Symmetrie-Eigenschaften von Signalen * Kapitel Verschiebung und Dehnung eines Zeitsignals * Kapitel Elementarsignale * Kapitel Harmonische Funktionen * Kapitel 3.1.1, und Mittelwerte Anhang A: Darstellung komplexer Zahlen * Kories, Schmidt-Walter, „Taschenbuch der Elektrotechnik“, Verlag Harri Deutsch, 9. Auflage, 2010.

2 School of Engineering 1.1 Signalklassen SiSy, Signal, 1-2 Periodische Signale wiederholen sich abschnittsweise, sind wichtige Hilfssignale für alle t gilt: x(t+T 0 ) = x(t), wobei kleinstes T 0 die Periode ist f 0 = 1/T 0 ist die Wiederhol- bzw. Grund-Frequenz T0T0 t 2T 0 -2T 0 -T 0 Nicht-periodische Signale sind nicht periodisch nach obiger Definition, z.B. t x(t) x(t+nT 0 ) = x(t) für alle t und Integer n τ A x(t) = A·e -t/ τ für t ≥ 0 0sonst A/e

3 School of Engineering 1.1 Signalklassen SiSy, Signal, 1-3 Normierte Signalleistung und Signalenergie Momentanleistung p(t) = u(t)·i(t) = R·i 2 (t) = u 2 (t) / R Normierung auf R = 1Ω und auf 1V (bei einem Spannungssignal) =>x 2 (t) ist dimensionslos (mittlere) normierte Signalleistung Bezeichnung manchmal auch P n (mittlere) normierte Signalenergie Bezeichnung manchmal auch E n (Energie = Leistung · Zeit)

4 School of Engineering 1.1 Signalklassen SiSy, Signal, 1-4 Leistungssignale haben endliche normierte Signalleistung, d.h. 0 < P < ∞ bzw. unendliche normierte Signalenergie E = ∞ zeitlich unbegrenzte Signale ohne abklingende Amplitude periodischen Signale sind Leistungssignale (mittlere normierte) Leistung eines periodischen Signals Effektivwert bzw. RMS-Wert eines periodischen Signals (ist vom Scheitelwert X p und von der Signalform (!) abhängig) Integral über 1 Periode T 0 Root-Mean-Square

5 School of Engineering Zeige dass das Signal x(t) = A·sin(2π·f 0 ·t) die Leistung P = A 2 /2 hat und damit den Effektivwert X rms = A/√2 Benutze trigonometrische Umformung: sin 2 (α) = 0.5 – 0.5·cos(2α) P = … P = = A 2 /2 E = ∞ T0T0 T0T0 F F Beispiel: s(t) = A·sin(2πf 0 t-φ) ist ein Leistungssignal Signalklassen SiSy, Signal, 1-5 Flächen F gleich gross mittlere Leistung

6 School of Engineering 1.1 Signalklassen SiSy, Signal, 1-6 t τ 1 x(t) = e -t/ τ für t ≥ 0 0für t < 0 1/e = 0.37 Beispiel eines Energiesignals: zeige dass x(t) Energie E = τ /2 hat je grösser τ, desto langsamer ist der exponentielle Abfall der Amplitude bzw. desto grösser ist die Signal-Energie E Energiesignale haben endliche normierte Signalenergie, d.h. 0 < E < ∞ bzw. verschwindende normierte Signalleistung P = 0 zeitlich begrenzte Signale (z.B. Einzelpuls) zeitlich unbegrenztes Signal mit abklingender Amplitude d.h. transiente Signale z.B. „Ausschwingvorgänge“ E = … t τ 1 x(t)

7 School of Engineering 1.1 Signalklassen SiSy, Signal, 1-7 kausale Signale nehmen nur für t ≥ 0 von Null verschiedene Werte an spielen nur eine Rolle im Zusammenhang mit kausalen Systemen Kausalität Ein kausales System reagiert erst dann mit einem Ausgangssignal, wenn ein Eingangssignal anliegt. Die Stossantwort von kausalen Systemen verschwindet für t<0. Technisch realisierbare Systeme sind kausal ! kausales System Stossanregung t kausale Stossantwort t

8 School of Engineering Komplexe Signale reelle Signale haben reellwertige Amplituden komplexe Signale haben komplexwertige Amplituden d.h. x(t) = x real (t) + j·x imag (t) praktische Signale sind reell, aber manchmal hat die komplexe Darstellung Vorteile Ix(t)I ist die Umhüllende bzw. Enveloppe Beispiel: x(t) = e -t · e j2πf o t wobei t ≥ 0 und f 0 = 1 Hz 1.1 Signalklassen SiSy, Signal, 1-8 Ix(t)I Umhüllende reelles Signal Re{x(t)}

9 School of Engineering 1.1 Signalklassen Deterministische Signale können exakt vorhergesagt und beschrieben werden tragen keine Information, sind aber wichtige Hilfssignale Stochastische Signale bzw. Zufallssignale können nur mit stochastischen Kenngrössen wie z.B. Mittelwert und Varianz der Amplitude, Korrelation usw. beschrieben werden tragen Information oder stellen Rauschen dar Musterverlauf (immer wieder anderer Verlauf) sin(2πf 0 t) SiSy, Signal, 1-9 / V

10 School of Engineering 1.1 Signalklassen t x(t) t t analoge Signale (zeit- und Amplituden- wertkontinuierlich) zeitdiskrete (wertkontinuierliche) Signale digitale Signale (zeit- und wertdiskret, Zahlenreihe) T s = 1/f s -T s Abtastung Quantisierung f s : Abtastrate [Samples/s], Abtastfrequenz [Hz] ADC SiSy, Signal, 1-10 x(nT s ) x[n] T s : Abtastperiode oder -intervall Amplitude quantisiert

11 School of Engineering Ein Bild ist ein 2-dimensionales, digitales Signal 2-dimensionale Funktion f(x,y) der Ortskoordinaten (x,y) z.B. quantisierte Intensität (Helligkeit) in Funktion des Orts 1.1 Signalklassen SiSy, Signal, 1-11 x y N M-1 : 1 Pixel (Bildelement) Matlab-Beispiel % Bild 16x16 Pixel, pixval=0: schwarz, pixval=64 weiss X=[0*ones(8,8) 16*ones(8,8); 32*ones(8,8) 64*ones(8,8)]; image(X) colormap(gray); 8x8 Pixel

12 School of Engineering Ungerade bzw. anti-symmetrische Funktion wenn für alle t gilt: x(-t) = -x(t) Punktsymmetrie zum Ursprung sin(.) ist eine ungerade Funktion Gerade bzw. symmetrische Funktion wenn für alle t gilt: x(-t) = x(t) Spiegelsymmetrie zur vertikalen Achse cos(.) ist eine gerade Funktion t x(t) t 1.2 Symmetrieeigenschaften SiSy, Signal, 1-12 Achtung: die meisten Signale sind weder gerade noch ungerade sind aber theoretisch in geraden und ungeraden Anteil zerlegbar d.h. x(t) = x g (t) + x u (t) 0 0

13 School of Engineering Originalsignal x(t) x(t+1s) Zeitverschiebung um 1s nach links x(t-2s) Zeitverschiebung um 2s nach rechts 2·x(t) Skalierung (Verstärkung) mit 2 Quelle: Dr. S. Wyrsch 1.3 Verschiebung und Dehnung SiSy, Signal, 1-13

14 School of Engineering Originalsignal x(t) x(-t) (Zeit-) Spiegelungx(2t) (Zeit-) Stauchung mit Faktor 2 x(t/3) (Zeit-) Dehnung mit Faktor 3 x(-(t-2s)) (Zeit-) Spiegelung und nachher (Zeit-) Verschiebung um 2s nach rechts 1.3 Verschiebung und Dehnung SiSy, Signal, 1-14

15 School of Engineering 1.4 Elementarsignale SiSy, Signal, 1-15 Für die Systembeschreibung wird die Reaktion auf Testsignale ermittelt. Sprungfunktion, Schritt- oder Heaviside-Funktion (engl. unit step) u(t) wird oft als „Einschaltfunktion“ verwendet Matlab: heaviside() u(t) = 1für t > 0 1/2 für t = 0 0für t < 0 t x(t) = u(t-t 0 ) 1 t t0t0 1 u(t) R C x(t)y(t) 1V t=t 0 y(t) System

16 School of Engineering 1.4 Elementarsignale SiSy, Signal, 1-16 Beispiel Rechteck-Puls der Breite τ Zusammenhang mit Sprungfunktion t 1 r τ (t) = rect(t/ τ ) τ /2- τ /2 r τ (t) = 1für ItI < τ /2 0sonst r τ (t) = u(t+ τ /2) - u(t- τ /2) t 1 u(t+ τ /2) τ /2 - τ /2 -u(t- τ /2) t 1 rect(t) 1/2 - 1/2 rect(t) = 1für ItI < 1 /2 0sonst Rechteck-Funktion Matlab rectpuls()

17 School of Engineering 1.4 Elementarsignale SiSy, Signal, 1-17 Dreieck-Puls Matlab tripuls() t 1 Λ(t) 1 Gauss-Impuls Matlab gauspuls() t 1 Γ(t) Fläche = 1

18 School of Engineering Dirac-Stoss, Dirac-Impuls, Dirac-Deltafunktion δ(t) ist keine Funktion, sondern eine Distribution Näherung als sehr kurzer Rechteck-Impuls mit sehr hoher Amplitude Darstellung als Pfeil, allenfalls mit „Gewicht“ t 1 2·r 1/2 (t) 1/2-1/2 2 r 1 (t) t 1 Fläche = 1 δ(t) = lim n·r 1/n (t) n→∞ 1.4 Elementarsignale SiSy, Signal, 1-18 δ(t) = 0 für t ≠ 0 der Wert für t=0 ist nicht definiert, aber

19 School of Engineering Der Dirac-Impuls ist die zentrale Testfunktion für Systeme! Impulsantwort h(t) beschreibt ein LTI-System vollständig, siehe später Eigenschaften des Dirac-Impulses Sieb- bzw. Ausblendeigenschaft Abtastung Ableitung der Einheitsschrittfunktion t δ(t-t 0 ) x(t) LTI- System x(t) = δ(t) t y(t) = h(t) t LTI: linear, time-invariant x(t)·δ(t-t 0 ) = x(t 0 )·δ(t-t 0 ) δ(t) = du(t) / dt 1.4 Elementarsignale SiSy, Signal, 1-19 Stossantwort

20 School of Engineering 1.4 Elementarsignale SiSy, Signal, 1-20 Signum-Funktion Matlab: sign() Betragsfunktion Ix(t)I = x(t) / sgn(x(t)) Matlab: abs() sgn(t) = 1für t > 0 0 für t = 0 -1für t < 0 t 1 sgn(t) Beispiel: Ix(t)I = Icos(2π·f 0 ·t)I wobei f 0 = 1 kHz keine Elementarsignale, aber wichtige Hilfsfunktionen

21 School of Engineering 1.5 Harmonische Funktionen SiSy, Signal, 1-21 spielen eine zentrale Rolle in der Fourier-Spektralanalyse sind Eigen- oder Resonanzfrequenz von linearen Systemen Lösungen der Schwingungsgleichung Beispiel Feder-Pendel ungedämpft (http://de.wikipedia.org/wiki/Harmonischer_Oszillator)http://de.wikipedia.org/wiki/Harmonischer_Oszillator m Feder- konstante k Ruhelage Kraft F = Masse m mal Beschleunigung d 2 x(t)/dt 2 F = m · d 2 x(t)/dt 2 = - k · x(t) m · d 2 x(t)/dt 2 + k · x(t) = 0 Schwingungsgleichung: d 2 x(t)/dt 2 + (ω 0 ) 2 · x(t) = 0 wobei (ω 0 ) 2 = k/m Eine mögliche Lösung: x(t) = A·sin(ω 0 ·t+φ 0 ) x(t) und 2. Ableitung sind bis auf einen Faktor identisch Demo: !

22 School of Engineering 1.5 Harmonische Funktionen SiSy, Signal, 1-22 Sinus- und Kosinus-Funktionen AAmplitude auch Scheitelwert oder Peak-Wert X p genannt ω 0 Kreisfrequenz in [rad/s], ω 0 = 2π·f 0 wobei f 0 die Frequenz in Hz = 1/s bezeichnet und T 0 = 1/f 0 = 2π / ω 0 die Periodendauer ist φ 0 (Null-) Phase Zeit-Verschiebung / -Offset Δt 0 = -φ 0 / ω 0 x(t) = A·sin(ω 0 t+φ 0 ) x ^ T0T0 A Δt0Δt0 Momentanwert A·sin(φ 0 )

23 School of Engineering Exponentialfunktion mit imaginärem Exponenten: x(t) = e jω o t auch eine Lösung der (ungedämpften) Schwingungsgleichung x(t) = e jω 0 t = cos(ω 0 ·t) + j·sin(ω 0 ·t) Umhüllende (Enveloppe) Ix(t)I = Harmonische Funktionen SiSy, Signal, 1-23

24 School of Engineering Exponentialfunktion mit komplexen Exponenten x(t) = A·e st Lösung der (gedämpften) Schwingungsgleichung d 2 x(t)/dt 2 + 2·ξ·ω 0 · dx(t)/dt + (ω 0 ) 2 · x(t) = 0 wobei ξ: Dämpfungskonstante, ω 0 : Schwingkreisfrequenz Amplitude A = IAI·e jφ 0, “Frequenz” s = σ + jω 0 Realteil von s bestimmt die Form der Signal-Enveloppe Ix(t)I = IAI·e σt Imaginärteil von s, d.h. ω 0 = 2π·f 0, bestimmt die Frequenz x(t) = IAI·e σt · e jω 0 t+φ 0 = IAI·e σt · [cos(ω 0 t+φ 0 ) + j·sin(ω 0 t+φ 0 )] σ<0 gedämpfte Schwingung σ=0 harmonische Schwingung σ>0 angefachte Schwingung 1.5 Harmonische Funktionen SiSy, Signal, 1-24

25 School of Engineering Quelle: Dr. S. Wyrsch Beispiel komplexe Schwingung (seltene Darstellung) 1.5 Harmonische Funktionen SiSy, Signal, 1-25

26 School of Engineering Quelle: Dr. S. Wyrsch Beispiel komplexe Schwingung (häufige Darstellung) 1.5 Harmonische Funktionen SiSy, Signal, 1-26

27 School of Engineering sinc-Funktion ist eigentlich keine harmonische Funktion wichtige Funktion in der Fourier-Analyse Matlab: sinc() 1/(π·f 0 ·t) T 0 = 1/f 0 Nullstellen bei Vielfachen von T Harmonische Funktionen SiSy, Signal, 1-27

28 School of Engineering 1.6 Mittelwertbegriffe SiSy, Signal, 1-28 Linearer Mittelwert (Gleichanteil) bzw. "DC-Wert" eines Signals eines periodischen Signals Quadratischer Mittelwert (mittlere normierte Leistung P n ) eines Leistungs-Signals eines periodischen Signals Integral über 1 Periode T 0 = X

29 School of Engineering 1.6 Mittelwertbegriffe SiSy, Signal, 1-29 Beispiele DC-SignalDC-WertLeistung x(t) = AX 0 = A X 2 = A 2 Sinus-Signal x(t) = A·sin(2π·f 0 ·t+φ)X 0 = 0X 2 = A 2 /2 Sinus-Betrag-Signal x(t) = A·Isin(2π·f 0 ·t)IX 0 = (2/π)·AX 2 = A 2 /2 X 0 = ·A

30 School of Engineering 1.6 Mittelwertbegriffe SiSy, Signal, 1-30 Effektivwert engl. Begriff "Root-Mean-Square-Value" beschreibt die Berechnung periodisches Signal = √P = X RMS Beispiele Sinus-Signal x(t) = A·sin(2π·f 0 ·t+φ)X eff = X rms = A/√2 Periodisches RechtecksignalX eff = X rms = A

31 School of Engineering 1.6 Mittelwertbegriffe SiSy, Signal, 1-31 Varianz mittlere quadratische Abweichung vom Mittel- bzw. DC-Wert periodisches Signal Standardabweichung σ = √Var(x) Nützliche Identität Matlab mean(), var(), std()

32 School of Engineering z = a + j∙bz* = a - j∙b konjugiert komplexe Zahl Kartesische Darstellung a = Re{z} = (z + z*) / 2 Real- und Imaginär-Teil von z b = Im{z} = (z - z*) / 2j Anhang A: Darstellung komplexer Zahlen SiSy, Signal, 1-32 z = r·e jφ Polardarstellung r j·r a φ j·b z = r·e jφ = a+j·b Betrag r = IzI = √ a 2 +b 2 b = r·sin( φ ) r a = r·cos( φ ) Phase φ = arctan (b/a)

33 School of Engineering z = e jφ Polardarstellung, wenn r = 1 1 j a φ j·b z = e jφ = a+j·b z = a + j·b wobei a = cos( φ ) und b = sin(φ) Anhang A: Darstellung komplexer Zahlen SiSy, Signal, 1-33 cos(φ) = (e jφ + e -jφ ) / 2 sin(φ) = (e jφ - e -jφ ) / 2j Euler-Formeln e jφ = cos(φ) + j·sin(φ) Beweis: Re{z} = (z + z*) / 2 wobei z = e jφ Beweis: Im{z} = (z - z*) / 2j wobei z = e jφ

34 School of Engineering Anhang A: Darstellung komplexer Zahlen SiSy, Signal, 1-34 z·z* = r·e jφ · r·e -jφ = r 2 = IzI 2 Produkt von komplexen Zahlen in Polarform z 1 ·z 2 = r 1 ·e jφ 1 · r 2 ·e jφ 2 = r·e jφ r = r 1 ·r 2 φ = φ 1 + φ 2 z 1 /z 2 = r 1 ·e jφ 1 / (r 2 ·e jφ 2 ) = r·e jφ r = r 1 / r 2 φ = φ 1 - φ 2 Beispiel z 1 = 1+j = √2·e jπ/4 z1z1 z = z 1 ·z 2 = √2·e jπ/4 · √2·e -jπ/4 = 2 z 2 = 1-j = √2·e -jπ/4 z2z2 z = z 1 /z 2 = √2·e jπ/4 / (√2·e -jπ/4 ) = e jπ/2 z = z 1 ·z 2 = (1+j)·(1-j) = 1 2 -j 2 = 2 z= z 1 /z 2 = (1+j) 2 / [(1-j)(1+j)] = (1+j) 2 /2 = 2j/2 = j


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