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Stochastische Prozesse I
Seminarvortrag von Elias Kellner Zeitreihen Modellierung Analyse Beispiel: Kalmanfilter
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1. Zeitreihen Zeitreihe: zeitabhängige Folge von Datenpunkten
i.d.R. nicht stochastisch unabhängig
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Handschriftanalyse, Zeitreihe der vertikalen Geschwindigkeit
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Zeitreihe (Daten) Trendkomponenten Saisonale Komponenten Modellbildung Vorhersage (Simulation) Tiefere Einsichten
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Wir brauchen: Geeignete Werkzeuge zur Datenenanalyse Fitfunktionen zur Trendbereinigung Spektralanalyse Korrelationsanalyse mathematische Beschreibung zur Modellbildung
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Stochastischer Prozess „Rauschen“
Betrachte zeitdiskrete Prozesse, um Rauschen zu simulieren 2 Klassen dynamischer Systeme -nichtvergeßliche (klassische) -vergeßliche (stochastische) (chaotische)
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Stationarität Prozess ( Verteilungen bekannt) Realisation
Eine Zeitreihe heißt stark stationär, wenn die Verteilung von nicht vom Index abhängt. Eine Zeitreihe heißt schwach stationär, wenn 1. 2. Autokovarianz
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Für ergodische Systeme gilt: „Scharmittel = Zeitmittel“
Ergodizität Ergodisch in klass. Mechanik: System kommt erlaubten Systemzuständen beliebig nahe Jeder Prozess induziert eine Dichte im Phasenraum. Mittelwerte müssen bezüglich dieser Dichte gebildet werden Für ergodische Systeme gilt: „Scharmittel = Zeitmittel“
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Simulation des Rauschens:
Summe von vielen stochastischen Einflüssen Zentraler GWS Rauschen gaußverteilt Weißes Rauschen (WN): Folge von unabhängigen Realisationen einer gaußverteilten Zufallsvariablen
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Modellierung durch AR-Prozesse
Betrachte „vergesslichen“ Prozess Nehme an, xt sei linear durch die N vorherigen Datenpunkte bestimmt (Autoregession) Addiere zu jeden xt eine kleine Störung (Zufallsvariable, z.B. weisses Rauschen) AR(N) – Prozess:
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Differenzengleichungen.
Differenzengleichung = „diskretisierte“ Differentialgleichung Ansatz macht Sinn, da Natur i.a. durch Differentialgleichungen beschrieben wird. lineare DGL n‘ter Ordnung Rückführung von DGL n‘ter Ordnung auf System von DGL 1‘ter Ordnung z.B harmonischer Oszillator:
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Analog läßt sich jeder univariate AR(N)-Prozess auf
einen n-variaten AR(1) Prozess reduzieren.
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Eigenschaften eines AR(1) Prozesses
zentriert stationär ergodisch a<1 Varianz:
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a=1 Random Walk (Brownian Motion)
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AR(N) – Prozess: MA(N) – Prozess: (gleitendes Mittel) ARMA(p,q)
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Spektralanaylse Gegeben sei eine Zeitreihe. Welche Frequenzen sind enthalten? Fouriertrafo (ohne Normierung) Unterscheide wie immer FT einer Realisation und eines Prozesses FT ist komplexe Größe
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Aliasing Vor dem sampeln muss gefiltert werden!!
Zeitreihe = gesampelter, kontinuierlicher Prozess! Sample z.B. einen Sinus mit Samplingfrequenz f Vor dem sampeln muss gefiltert werden!!
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Spektrum Definiere Spektrum
ACF einer Zeitreihe entspricht einer Faltung der Reihe mit sich selbst Faltung im Ortsraum enspricht Multiplikation im Frequenzraum. Multiplikation mit sich selbst ist | |2 Definition über ACF mathematisch korrekt, aber über FT leichter zu schätzen!
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Schätzung des Spektrums: 2 Probleme
1. Spektrum als Erwartungswert definiert. Meist aber nur eine Zeitreihe vorhanden! Suche Schätzer für Spektrum z.B Periodogramm: Problem: Periodogramm „zappelt“ mit Chi2 - Verteilung Var(Per) ist unabhängig von N nicht konsistent
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2. Problem: Endliche Zeitreihe = unendliche Reihe mit Fenster multipliziert
Im Frequenzraum zusätzlich Faltung mit dem Sinc des Fensters! leaking Power von Peaks in Täler Periodogramm ist sogar verzerrter Schätzer Lösung: „Tapering“: kein eckiges Rechteckfenster, sondern Dreick- oder Gaussfenster optimalstes Fenster : Hamming
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Frequenzweise mitteln
Schätzung des Spektrums durch Zerschneiden der Zeitreihe, Tapern Und Mittelwertbildung der einzelnen Periodogramme Methode nach Welch Zeitreihe Zerschneiden Tapern |FFT|2 Frequenzweise mitteln
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Wichtige Filterklasse: linear und zeitinvariant (LTI-Filter)
Filter allgemein: X(t) Filter y(t) Wichtige Filterklasse: linear und zeitinvariant (LTI-Filter) Filtersystem ist durch seine Impulsantwort bestimmt (FIR, IIR ) MA – Prozess ohne Rauschen = FIR Filter ARMA – Prozess ohne Rauschen = IIR Filter X-Pass-Filter, Bildbearbeitung…
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Das Kálmán-Filter Systemgleichung Beobachtungsgleichung
Gegeben Sei dynamisches System, z.B. ein multivariater AR(1) Prozess Systemgleichung Beobachtungsgleichung Wir haben nur Zugriff auf yt ! Gesucht: Filter, das uns die wahren Werte xt schätzt y(t) Filter x(t)
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Beobachtungsgleichung
Systemgleichung Beobachtungsgleichung Einfache Schätzung: Rückrechnen auf xt durch B-1 Große Fehler wegen Beobachtungsrauschen Man kann ausnutzen, dass man die Dynamik A des Systems kennt 1. Prädiktionsschritt: Beobachte y(t), berechne daraus Fehler y(t|t-1) - y(t) 2. Korrektur
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Bsp: Kalman Filter, AR-1 Prozess a=0.89, Beobachtug stark verrauscht
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Zusammenfassung AR-Prozesse Spektrum
Spektrum schätzen: Schneiden - Tapern – Periodogramme mitteln
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