Polygone und Polyeder.

Präsentation zum Thema: "Polygone und Polyeder."—  Präsentation transkript:

1 Polygone und Polyeder

2 Reguläre Polygone Oktagon Quadrat Dreieck Hexagon Pentagon

3 120º 30º 30º 30º

4

5 108º 72º 54º 54º 54º

6 36º 36º 36º 108º 36º 72º 72º

7 36º 36º 36º 1 1 108º y 1 x 36º 36º 72º 36º

8 A 1 1 B E y F 1 x C D Dreieck ADF ist ähnlich Dreieck BCF. Also Aber

9 A 1 1 B E y F 1 x C D

10 Der Goldene Schnitt 1 x 1-x

11 Konstruktion von 2 1

12 Pentagon: Konstruiere das Goldene Dreieck Konstruiere das Pentagon

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15 Welche regulären Polygone können mit Zirkel und Lineal konstruiert
werden? The reguläre Septagon (Heptagon) kann nicht mit Zirkel un Lineal konstruiert werden!

16 Platonische Körper Reguläre Polyeder, welche konvex
sind und kongruente reguläre Polygone als Seitenflächen haben, und an jedem Eckpunkt treffen gleich viele Flächen zusammen. Es gibt genau fünf: Tetraeder, Cubus = Hexaeder, Oktaeder, Ikosaeder und Dodekaeder 20 12

17 Beispiel Oktaeder Boot konvex nicht konvex

18 “of a Fractal Nature” Photography by Gayla Chandler

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24 Warum fünf Platonische Körper?
Schritt 1: Peripheriewinkel der Seitenflächen Jede Seitenfläche ist ein reguläres Polygon Partition des Polygons in n Dreiecke Summe aller Winkel: Summe aller Winkel im Zentrum: Summe der Peripheriewinkel: Ein Peripheriewinkel:

25 Warum fünf Platonische Körper?
Peripheriewinkel: Dreieck: Quadrat: Pentagon: Hexagon: Septagon:

26 Warum fünf Platonische Körper?
Schritt 2: An einem Eckpunkt muss die Summe der Peripherie- winkel kleiner als sein:

27 Warum fünf Platonische Körper?
Schritt 3: In einem Eckpunkt treffen mindestens 3 Seitenflächen zusammen. Also müssen die Peripheriewinkel kleiner als sein: Dreiecke:

28 Warum fünf Platonische Körper?
Schritt 3: In einem Eckpunkt treffen mindestens 3 Seitenflächen zusammen. Also müssen die Peripheriewinkel kleiner als sein: Quadrat:

29 Warum fünf Platonische Körper?
Schritt 3: In einem Eckpunkt treffen mindestens 3 Seitenflächen zusammen. Also müssen die Peripheriewinkel kleiner als sein: Pentagon:

30 Flächen, Kanten, Ecken, … Tetraeder Flächen Kanten 4 6 3 Ecken
pro Fläche Flächen an einer Ecke 4 6 3

31 Flächen, Kanten, Ecken, … Hexaeder Flächen Kanten 6 12 8 4 3 Ecken
pro Fläche an einer Ecke 6 12 8 4 3

32 Flächen, Kanten, Ecken, … Oktaeder Flächen Kanten 8 12 6 3 4 Ecken
pro Fläche Flächen an einer Ecke 8 12 6 3 4

33 Flächen, Kanten, Ecken, … Ikosaeder Flächen Kanten 20 30 12 3 5 Ecken
pro Fläche Flächen an einer Ecke 20 30 12 3 5

34 Flächen, Kanten, Ecken, … Dodekaeder Flächen Kanten 12 30 20 5 3 Ecken
pro Fläche an einer Ecke 12 30 20 5 3

35 4 6 3 12 8 20 30 5 Flächen Kanten Ecken Flächen an einer Ecke
pro Fläche Flächen an einer Ecke 4 6 3 12 8 20 30 5

36 Euler-Zahl 4 6 3 12 8 20 30 5 Flächen Kanten Ecken
pro Fläche Flächen an einer Kante 4 6 3 12 8 20 30 5

37 Duale Polyeder 4 6 3 12 8 20 30 5 Flächen Kanten Ecken an einer Ecke
pro Fläche an einer Ecke 4 6 3 12 8 20 30 5

38 Duale Polyeder Jede Fläche wird mit einer Ecke identifiziert:

39 Duale Polyeder Jede Fläche wird mit einer Ecke identifiziert:

40 Netze von Körpern

41 Netze von Körpern

42 Netze von Körpern

43 Netze von Körpern

44 Netze von Körpern

45 Netze von Körpern

46 Ein Netz aber verschiedene Körper:

47 Ein Körper aber verschiedene Netze:

48 Ein Körper aber verschiedene Netze:
Platonischer Körper Zahl der Netze Cubus 11 Dodekaeder 43380 Ikosaeder Oktaeder Tetraeder 2

49 Welcher Körper ist das?

50 Welcher Körper ist das?

51 Welcher Körper ist das?