Sekante - Tangente P(x0/f(x0) Q(x0+Δx/f(x0+ Δx)) Sekante Tangente.

Präsentation zum Thema: "Sekante - Tangente P(x0/f(x0) Q(x0+Δx/f(x0+ Δx)) Sekante Tangente."—  Präsentation transkript:

1 Sekante - Tangente P(x0/f(x0) Q(x0+Δx/f(x0+ Δx)) Sekante Tangente

2 Q Q wandert gegen P Sekante wird zur Tangente Δy P Δx Δx Δx

3 Q Steigungsdreieck Δy P Δx

4 Steigungsdreieck Q Δy P Δx

5 Steigungsdreieck Q Δx Δy P

6 Δx Δy P Tangentensteigung Δx geht gegen Null!!! ???

7 P(x0/f(x0)) Q(x0+Δx/ f(x0+ Δx)) Sekante Tangente f(x0+ Δx) f(x0) Δx x0

8 P(x0/f(x0)) Q(x0+Δx/ f(x0+ Δx)) Sekante Tangente f(x0+ Δx) f(x0) Δx x0

9 Einführung der Differentialrechnung von G.W. Leibniz
Trick: Δx ist nicht gleich Null Δx geht gegen Null!!! So wird vermieden, dass der Nenner des Bruches Δy/Δx Null wird. Berechnung der Tangentensteigung G.W. Leibniz

10 Einführung der Differentialrechnung von Isaac Newton
Entwickelt die Differentialrechnung ausgehend vom Problem der Momentangeschwindigkeit Gleichförmige Bewegung: v = s/t = konstant Ungleichförmige Bewegung: Durchschnittliche Geschwindigkeit I. Newton „Differenzenquotient“

11 Anstieg der Tangente = Momentangeschwindigkeit
Zeit t Weg s Δt Δs Anstieg der Sekante: Durchschnittsgeschwindigkeit Anstieg der Tangente= Momentangeschwindigkeit:

12 Definition der Momentangeschwindigkeit
Die Funktion f: R→R, s=f(t) beschreibt die Abhängigkeit des Weges von der Zeit t. Der folgende Grenzwert ergibt die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t0:

13 Zeit t Weg s Δt Δs f(t0+Δt) f(t0) t0 t0+Δt 0← Δt

14 Kurvendiskussion Spezielle Punkte der Kurve sind Nullstellen: y = 0
Schnittpunkte mit der x-Achse Extremstellen: Lokale Maxima und Minima Wendepunkte

15 Lokales Maximum y‘=0 y‘‘<0 Monoton steigend Monoton fallend
Tangentensteigung positiv negativ Tangentensteigung Null y‘‘<0 Tangentensteigung nimmt ab

16 Lokales Minimum y‘=0 y‘‘>0 Tangentensteigung Null Tangentensteigung
Negativ Monoton fallend Positiv Monoton steigend Tangentensteigung nimmt zu y‘=0 y‘‘>0

17 Wendepunkt y‘‘=0 y‘‘<0 y‘‘>0 Rechtskurve Linkskurve
Tangentensteigung nimmt ab nimmt zu y‘‘<0 y‘‘>0 Rechtskurve Linkskurve y‘‘=0 Positive Krümmung Negative Krümmung Wendepunkt Weil sich im Bereich von W die Krümmung (y‘‘) ändert, ist y‘‘‘≠ 0