Fachliche Vertiefung SET Strömungstechnik und Akustik Berechnung einer Navier-Stokes Aufgabe WS 2010/2011 Sandra Lohmann 475003

Hagen-Poiseuille-Strömung Schade-Kunz „Strömungslehre“ LE 8.4, Beispiel 1 Laminare Rohrströmung Ursache: Druckgradient 𝜕𝑝 𝜕𝑧 <0 Stationäre Strömung 𝜕𝑎 𝜕𝑡 =0 Symmetrie 𝑐 𝑟 =0, 𝑐 𝜑 =0, 𝒄 𝒛 = 𝒄 𝒛 (𝒓) 𝜕𝑝 𝜕𝑟 =0, 𝜕𝑝 𝜕𝜑 =0, 𝝏𝒑 𝝏𝒛 =𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕. Vernachlässigung der Volumenkräfte 𝑓 𝑟 =0, 𝑓 𝜑 =0, 𝑓 𝑧 =0 Sandra Lohmann Fachliche Vertiefung SET - Strömungstechnik und Akustik

Kontinuitäts- und Navier-Stokes-Gleichung in Zylinderkoordinaten 𝜕𝑎 𝜕𝑡 =0 𝑐 𝑟 =0, 𝑐 𝜑 =0 𝜕𝑝 𝜕𝑟 =0, 𝜕𝑝 𝜕𝜑 =0 𝑓 𝑟 =0 𝑓 𝜑 =0 𝑓 𝑧 =0 Sandra Lohmann Fachliche Vertiefung SET - Strömungstechnik und Akustik

Kontinuitäts- und Navier-Stokes-Gleichung in Zylinderkoordinaten 0 0 𝜕𝑎 𝜕𝑡 =0 𝑐 𝑟 =0, 𝑐 𝜑 =0 𝜕𝑝 𝜕𝑟 =0, 𝜕𝑝 𝜕𝜑 =0 𝑓 𝑟 =0 𝑓 𝜑 =0 𝑓 𝑧 =0 Sandra Lohmann Fachliche Vertiefung SET - Strömungstechnik und Akustik

Lösung der Navier-Stokes-Gleichung 𝝏 𝒄 𝒛 𝝏𝒛 =𝟎, 𝒄 𝒛 𝝏 𝒄 𝒛 𝝏𝒛 =− 𝟏 𝝆 𝒅𝒑 𝒅𝒛 +𝝂 𝝏 𝟐 𝒄 𝒛 𝝏 𝒓 𝟐 + 𝟏 𝒓 𝝏 𝒄 𝒛 𝝏𝒓 1 𝜌 𝑑𝑝 𝑑𝑧 =ν 𝑑 2 𝑐 𝑧 𝑑 𝑟 2 + 1 𝑟 𝑑 𝑐 𝑧 𝑑𝑟  𝑑𝑝 𝑑𝑧 =η 𝑑 2 𝑐 𝑧 𝑑 𝑟 2 + 1 𝑟 𝑑 𝑐 𝑧 𝑑𝑟 mit 𝑑 2 𝑐 𝑧 𝑑 𝑟 2 + 1 𝑟 𝑑 𝑐 𝑧 𝑑𝑟 = 1 𝑟 𝑑 𝑑𝑟 𝑟 𝑑 𝑐 𝑧 𝑑𝑟 ! Produktregel rückwärts ! 𝑑𝑝 𝑑𝑧 =η 1 𝑟 𝑑 𝑑𝑟 𝑟 𝑑 𝑐 𝑧 𝑑𝑟  𝑟 𝑑𝑝 𝑑𝑧 =η 𝑑 𝑑𝑟 𝑟 𝑑 𝑐 𝑧 𝑑𝑟 𝑟 𝑑𝑝 𝑑𝑧 𝑑𝑟= η 𝑑 𝑑𝑟 𝑟 𝑑 𝑐 𝑧 𝑑𝑟 𝑑𝑟  𝑑𝑝 𝑑𝑧 𝑟 𝑑𝑟=η 𝑑 𝑑𝑟 𝑟 𝑑 𝑐 𝑧 𝑑𝑟 𝑑𝑟  𝒅𝒑 𝒅𝒛 𝒓 𝟐 𝟐 =𝜼𝒓 𝒅 𝒄 𝒛 𝒅𝒓 +𝑨 für 𝑟=0 0=η 0+𝐴  𝐴=0  𝑑𝑝 𝑑𝑧 𝑟 2 2 =η𝑟 𝑑 𝑐 𝑧 𝑑𝑟  𝒅𝒑 𝒅𝒛 𝒓 𝟐 =𝜼 𝒅 𝒄 𝒛 𝒅𝒓 Sandra Lohmann Fachliche Vertiefung SET - Strömungstechnik und Akustik

Berechnung der Reibungskraft 𝑅 𝑀 auf die Rohrwand mit der Länge L und dem Radius R aus dem Spannungsvektor: 𝜏 𝑟𝑧 =η 𝜕 𝑐 𝑧 𝜕𝑟 + 𝜕 𝑐 𝑟 𝜕𝑧 , hier 𝜏 𝑟𝑧 =η 𝑑 𝑐 𝑧 𝑑𝑟 mit 𝑑𝑝 𝑑𝑧 𝑟 2 =𝜂 𝑑 𝑐 𝑧 𝑑𝑟 und 𝑟=𝑅  𝜏 𝑟𝑧 = 𝑑𝑝 𝑑𝑧 𝑅 2 𝐹= 𝜏 𝑟𝑧 𝑑𝐴= 𝑑𝑝 𝑑𝑧 𝑅 2 𝑑𝐴= 𝑑𝑝 𝑑𝑧 𝑅 2 1 𝑑𝐴 auf das Fluid ausgeübte Kraft mit 𝐴=𝜋2𝑅𝐿  𝑭= 𝒅𝒑 𝒅𝒛 𝑹 𝟐 𝝅𝟐𝑹𝑳=𝝅 𝑹 𝟐 𝑳 𝒅𝒑 𝒅𝒛 , 𝐹<0, 𝑑𝑎 𝑑𝑝 𝑑𝑧 <0 𝑅 𝑀 =−𝐹=−𝜋 𝑅 2 𝐿 𝑑𝑝 𝑑𝑧 , 𝑅 𝑀 >0 mit 𝑑𝑝 𝑑𝑧 =− Δ𝑝 L Druckabfall über die Länge L  𝑹 𝑴 =𝝅 𝑹 𝟐 𝑳 𝚫𝒑 𝑳 =𝝅 𝑹 𝟐 ∆𝒑 Sandra Lohmann Fachliche Vertiefung SET - Strömungstechnik und Akustik

Fachliche Vertiefung SET - Strömungstechnik und Akustik Kräfte im Rohr Reibungskraft auf das Fluid 𝑭=𝝅 𝑹 𝟐 𝑳 𝒅𝒑 𝒅𝒛 𝝉 𝒓𝒛 =𝜼 𝒅 𝒄 𝒛 𝒅𝒓 Reibungskraft auf die Rohrwand 𝑹 𝑴 =𝝅 𝑹 𝟐 ∆𝒑 Sandra Lohmann Fachliche Vertiefung SET - Strömungstechnik und Akustik

Fachliche Vertiefung SET - Strömungstechnik und Akustik Quellen Schade, Heinz und Kunz, Ewald. 2007. Strömungslehre. Berlin : de Gruyter, 2007. Sandra Lohmann Fachliche Vertiefung SET - Strömungstechnik und Akustik