Die quadratische Ergänzung - Wiederholung der 1. binomischen Formel Quadriert man eine Summe, zum Beispiel a + 3 , dann hat das Ergebnis immer die gleiche Form, daher der Begriff binomische „Formel“. Geometrische Darstellung Formale Darstellung a 3 A = a² 3a a² a a A = ( a + 3 )² A = ( a + 3 ) ( a + 3 ) A = a² + 3a + 3a + 3² 3a 3² 3 3 A = a² + 2∙3a + 3² ( a + 3 )² = a² + 6a + 9 a 3 Man nennt diesen Teil der binomischen Formel das „Doppelte Produkt“
Die quadratische Ergänzung bei der 1. binomischen Formel Kennt man die Form, kann man leicht fehlende Teile der Formel ergänzen. Wir kennen, das „Doppelte Produkt“ 14a. Dann kennen, wir auch das einfache Produkt 7a. So können wir auch das fehlende Quadrat ergänzen, also die quadratische Ergänzung durchführen. a ? A = ( a + )² 7 a² A = ( a + ) ( a + ) a 7a a 7 7 A = a² + a + a + ² 7 A = a² + 2∙ a + ² 7 7 49 7a ? ? ( a + )² = a² + 14a + 49 a ?
Die quadratische Ergänzung bei der 1. binomischen Formel Jetzt nochmal ohne geometrische Darstellung: x² + 18x ist ein Teil der 1. binomischen Formel. Das erste Quadrat ist x², das zweite „Quadrat“ fehlt, es soll ergänzt werden. x² + 18x + = ( x + )² 81 9 x² + 5x + = ( x + )² 6,25 2,5 Ist 18x das „Doppelte Produkt“ dann gilt: 2 9x = 18x, also ist 9x das „Einfache Produkt“ und die quadratische Ergänzung ist 9². Ist 5x das „Doppelte Produkt“ dann gilt: 2 2,5x = 5x, also ist 2,5x das „Einfache Produkt“ und die Quadratische Ergänzung ist 2,5².