11. Matrizen. 11. Matrizen Eine mn-Matrix ist ein Raster aus mn Koeffizienten, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind. = (aij)1  i  m, 1.

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2 11. Matrizen

3 Eine mn-Matrix ist ein Raster aus mn Koeffizienten, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind.
= (aij)1  i  m, 1  j  n

4 Eine mn-Matrix ist ein Raster aus mn Koeffizienten, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind.
= (aij)

5 11.1 Addition und Multiplikation von Matrizen
A = (aij) und B = (bij) seien zwei mn-Matrizen. A + B = C mit cij = aij + bij A - B = C mit cij = aij – bij elementweise Man kann nur solche Matrizen addieren und subtrahieren, die gleiche Zeilenzahl m und gleiche Spaltenzahl n besitzen. Matrixaddition ist assoziativ und kommutativ. = +

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8 ( ) ( ) A B

9 B = C A Da der zweite Index des ersten Faktors ebenso wie der erste Index des zweiten Faktors bis n läuft, kann man nur solche Matrizen A und B miteinander multiplizieren, für die gilt: A = mn-Matrix, B = np-Matrix Das Ergebnis ist eine mp-Matrix.

10 a b c d e f 1a + 2c + 3e

11 a b c d e f 1a + 2c + 3e , 1b + 2d + 3f

12 a b c d e f 1a + 2c + 3e , 1b + 2d + 3f 4a + 5c + 6e

13 ( ) a b c d e f 1a + 2c + 3e , 1b + 2d + 3f 4a + 5c + 6e
( ) 1a + 2c + 3e , 1b + 2d + 3f 4a + 5c + 6e , 4b + 5d + 6f

14 a b c d e f 1a+2c+3e 1b+2d+3f 4a+5c+6e 4b+5d+6f

15 = Der zweite Index des ersten Faktors und der erste Index des zweiten Faktors laufen bis n. mn-Matrix  np-Matrix = mp-Matrix

16 = Der zweite Index des ersten Faktors und der erste Index des zweiten Faktors laufen bis n. mn-Matrix  np-Matrix = mp-Matrix Die Operation  ist nicht kommutativ; im Allgemeinen ist selbst für quadratische Matrizen, also solche mit m = n, die sich überhaupt nur in beiden Fällen als Faktoren eignen A  B ≠ B  A

17 = Der zweite Index des ersten Faktors und der erste Index des zweiten Faktors laufen bis n. mn-Matrix  np-Matrix = mp-Matrix Die Operation  ist nicht kommutativ; im Allgemeinen ist selbst für quadratische Matrizen, also solche mit m = n, die sich überhaupt nur in beiden Fällen als Faktoren eignen A  B ≠ B  A

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55 Berechnung der Inversen A-1 von A.
(En (...(E3  (E2  (E1  A))))) = I (En  ...  E3  E2  E1)  A = I (En  ...  E3  E2  E1  I)  A = I = A  A Werden also die Elementarmatrizen in derselben Reihen-folge auf die Einheitsmatrix angewandt, so entsteht daraus die zu A inverse Matrix A-1 = En  ...  E3  E2  E1  I

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