Lineare Gleichungen Beispiel: 7x – 2 = 40 Eine Gleichung muss man sich so vorstellen wie eine Waage. Legt man auf die eine Seite Äpfel, so muss man auf.

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1 Lineare Gleichungen Beispiel: 7x – 2 = 40 Eine Gleichung muss man sich so vorstellen wie eine Waage. Legt man auf die eine Seite Äpfel, so muss man auf die andere Seite gleich viel legen, damit die Wage wieder im Gleichgewicht ist.

2 Lineare Gleichungen Beispiel: 7x – 2 = 40 Nur legt man hier jetzt nicht Sachen drauf, sondern führt Rechenoperationen durch. Man addiert, subtrahiert, multipliziert oder dividiert. Ziel ist es, dass das x am Ende alleine auf einer Seite steht.

3 Lineare Gleichungen Beispiel: 7x – 2 = 40 Als erstes sortiert man die x auf eine Seite und alles andere auf die andere Seite. Damit die 7x auf der linken Seite alleine stehen, muss ich die -2 noch wegbekommen. Ich addiere also mit +2 +2 Damit ich später noch weiß was ich hier gerechnet habe, scheibe ich es mir hinter einen senkrechten Strich

4 Lineare Gleichungen Beispiel: 7x – 2 = 40 Wenn alle x auf einer Seite stehen und alles andere auf der anderen Seite, teilt man durch die Zahl, welche vor dem x steht. +2 7x – 2 +2 = 40 + 2 7x = 42: 7 7x : 7 = 42 : 7 x = 6

5 Lineare Gleichungen (allgemein) 3x – 2(5x – 8) = 9 – 4(3x + 7)Checkliste: Beide Seiten so weit wie möglich vereinfachen. (Denken an bin. Formeln, Klammerregeln, Vorzeichenregeln, Faktorisieren.) X auf eine Seite, Zahlen auf die andere. Durch die Zahl vor dem x teilen. – 16 3x – 10x + 16 = 9 – 12x – 28 – 7x + 16 = – 12x – 19+ 12x – 7x + 12x + 16 = – 12x + 12x – 19 5x + 16 = – 19 5x +16 – 16 = – 19 – 16 : 5 5x = – 35 5x : 5 = – 35 : 5 x = – 7

6 Ausklammern Beispiel: 3 (4a – 2b) – 4a ( 2 – 3b) = Regel: Zwischen den Zahlen und den Klammern steht eigentlich noch ein Malpunkt. Dieser wird jedoch einfach weg gelassen. Als erstes kontrollieren, ob ich in der Klammer irgendwelche Zahlen / Variablen zusammenfassen kann. Ist dies nicht der Fall, muss jede Zahl vor der Klammer, mit jeder Zahl in der Klammer mal genommen werden.

7 Ausklammern Beispiel: 3 (4a – 2b) – 4a ( 2 – 3b) = 3 4a 12a 3 (-2b) Das Minus und die 2b sind miteinander verheiratet. Deswegen muss ich hier mit -2b mal nehmen. – 6b - 4a 2 Das Minus und die 4a sind miteinander verheiratet. Deswegen muss ich hier mit -4a mal nehmen. – 8a

8 Ausklammern Beispiel: 3 (4a – 2b) – 4a ( 2 – 3b) = 12a Minus mal Minus = Plus – 6b - 4a (-3b) – 8a + 12ab a mal b kann ich nicht weiter verrechnen, daher schreibe ich die Variablen einfach in alphabetischer Reihenfolge hintereinander. Eigentlich steht zwischen den beiden Variablen noch ein Malpunkt, dieser wird jedoch wieder weg gelassen. = 4a – 6b + 12ab

9 Hochzahlen Beispiele: Eine Hochzahl gibt an, wie oft eine Zahl oder Klammer mit sich selbst mal genommen wird. Die Hochzahl gilt immer nur für die Zahl / Klammer, an der sie direkt dran steht. 8 2 = 8 8 4 5 = 4 4 4 4 4 (a + b) 2 = (a + b) (a + b)

10 Erster Potenzsatz Beispiel: Statt 4 3 schreibe ich 4 4 4 4 3 4 4 =4 4 4 Statt 4 4 schreibe ich 4 4 4 4 4 4 4 4

11 Erster Potenzsatz Beispiel: 4 3 4 4 =4 4 4 4 4 4 4 Die 4 wird also insgesamt 7 mal mit sich selbst mal genommen. = 4 7 Abkürzung: Immer wenn die Zahl an welcher die Hochzahl dran steht (hier die 4) gleich ist, kann man die Hochzahlen addieren. 4 3 4 4 = 4 3+4 = 4 7 Regel: Potenzen werden multipliziert, indem man die Hochzahlen addiert.

12 Zweiter Potenzsatz Beispiel: Statt dem Geteiltzeichen, schreibe ich einen Bruch. 5 6 : 5 3 = Die Hochzahlen schreibe ich nun aus. Da ich nur Malpunkte im Bruch stehen habe, darf ich kürzen.

13 Zweiter Potenzsatz Beispiel: 5 6 : 5 3 = Abkürzung: Immer wenn die Zahl an welcher die Hochzahl dran steht (hier die 5) gleich ist, kann man die Hochzahlen subtrahieren. 5 6 : 5 3 = 5 6-3 = 5 3 Regel: Potenzen werden dividiert, indem man die Hochzahlen subtrahiert.

14 Wurzel Ich habe ein Quadrat gegeben, von dem ich weiß, dass sein Flächeninhalt 64cm 2 groß ist. 64cm 2 Wie lang ist eine Seite??

15 Wurzel Wir kennen bereits die Flächeninhaltsformel vom Quadrat: A = a 2 Wir wissen außerdem, dass A = 64cm 2 ist. Also: 64cm 2 = a 2 Statt a 2 können wir auch a a schreiben. 64cm 2 = a a Was mit sich selbst mal genommen, gibt 64?? 8 8 = 64, also ist eine Seitenlänge 8cm lang. 64cm 2

16 Wurzel Schneller geht es, wenn man die sogenannte Wurzel zieht. Das Wurzelziehen ist nur eine Umkehrung des Quadrierens Man sucht die Zahl, welche mit sich selbst mal genommen, die gegebene Zahl gibt. 64cm 2 Bsp.:

17 Wurzel Sehr sinnvoll ist es, wenn man die Quadratzahlen bis 121 auswendig lernt: 1 2 = 1 2 2 = 4 3 2 = 9 4 2 = 16 5 2 = 25 6 2 = 36 7 2 = 49 8 2 = 64 9 2 = 81 10 2 = 100 11 2 = 121

18 Vorderseite Rückseite Vorzeichenregeln Plus mal Plus = Plus Minus mal Minus = Plus Minus mal Plus = Minus Plus mal Minus = Minus

19 Vorderseite Rückseite Checkliste Gleichungen Beide Seiten so weit wie möglich vereinfachen. Variablen auf eine Seite, Zahlen auf die andere Durch die Zahl vor der Variable teilen.

20 Vorderseite Rückseite Potenzen werden multipliziert, indem man die Hochzahlen addiert.

21 Vorderseite Rückseite Potenzen werden dividiert, indem man die Hochzahlen subtrahiert.