Lineare Algebra 11. Matrizen Eine m  n-Matrix ist ein Raster aus m  n Koeffizienten, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind. = (a ij )

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2 Lineare Algebra

3 11. Matrizen

4 Eine m  n-Matrix ist ein Raster aus m  n Koeffizienten, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind. = (a ij )

5 Addition von Matrizen A = (a ij ) und B = (b ij ) seien zwei m  n-Matrizen. elementweise A + B = C mitc ij = a ij + b ij A - B = C mitc ij = a ij – b ij Man kann nur solche Matrizen addieren und subtrahieren, die gleiche Zeilenzahl m und gleiche Spaltenzahl n besitzen. Matrixaddition ist assoziativ und kommutativ. = +

6 Addition von Matrizen A = (a ij ) und B = (b ij ) seien zwei m  n-Matrizen. elementweise A + B = C mitc ij = a ij + b ij A - B = C mitc ij = a ij – b ij Man kann nur solche Matrizen addieren und subtrahieren, die gleiche Zeilenzahl m und gleiche Spaltenzahl n besitzen. Matrixaddition ist assoziativ und kommutativ. = -

7 Man kann nur solche Matrizen A und B miteinander multiplizieren, für die gilt: A = m  n-Matrix, B = n  p-Matrix = Das Ergebnis ist eine m  p-Matrix. A B C Multiplikation von Matrizen

8 1 2 3 4 5 6 a b c d e f 1a + 2c + 3e

9 a b c d e f 1a + 2c + 3e, 1b + 2d + 3f

10 a b c d e f 1a + 2c + 3e, 1b + 2d + 3f 4a + 5c + 6e

11 a b c d e f 1a + 2c + 3e, 1b + 2d + 3f 4a + 5c + 6e, 4b + 5d + 6f ( )

12 Der zweite Index des ersten Faktors und der erste Index des zweiten Faktors laufen bis n. m  n-Matrix  n  p-Matrix = m  p-Matrix =

13 Der zweite Index des ersten Faktors und der erste Index des zweiten Faktors laufen bis n. m  n-Matrix  n  p-Matrix = m  p-Matrix = Die Operation  ist nicht kommutativ; im Allgemeinen ist selbst für quadratische Matrizen, also solche mit m = n, die sich überhaupt nur in beiden Fällen als Faktoren eignen A  B ≠ B  A

14 Der zweite Index des ersten Faktors und der erste Index des zweiten Faktors laufen bis n. m  n-Matrix  n  p-Matrix = m  p-Matrix = Die Operation  ist nicht kommutativ; im Allgemeinen ist selbst für quadratische Matrizen, also solche mit m = n, die sich überhaupt nur in beiden Fällen als Faktoren eignen A  B ≠ B  A

15 1 2 3 4 5 6 a b c d e f 1a+2c+3e1b+2d+3f 4a+5c+6e4b+5d+6f

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24 a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2...........................(S) a m1 x 1 + a m2 x 2 +... + a mn x n = b m

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