Mittelwert und Standardabweichung

Verteilung, Histogramm Mittelwert Standardabweichung Inhalt Verteilung, Histogramm Mittelwert Standardabweichung der Messwerte des Mittelwerts Gauß- und Normalverteilung

Verteilung und Histogramm Trägt man die Anzahl der in einem Intervall einer ihrer Eigenschaften gefundenen Werte gegen die Intervalle der Eigenschaften auf, dann erhält man eine „Verteilung“ der Werte bezüglich der Eigenschaft bzw. ein „Histogramm“ Altersverteilung bei der Primärimplantation von Hüftendoprothesen (Datenquelle: Norwegisches Endoprothesenregister)

Mittelwert und Standardabweichung einer Verteilung Jede Verteilung ist durch ihren Mittelwert und ihre Standardabweichung charakterisiert   Alter Anzahl Alter* (Alter-Mittelwert)^2 *Anzahl 55 19 1045 4447,7 65 26 1690 730,3 75 38 2850 839,4 85 17 1445 3673,5 Summen 100 7030 9691,0 Mittelwert 70,3 Standard-abweichung 9,9

Berechnung von Mittelwert und Standardabweichung Mittelwert zu N Messwerten xn Varianz der N Messwerte xn Standardabweichung der N Messwerte xn

Standardabweichung der Messwerte Standardabweichung der N Messwerte xn Die Standardabweichung σ ist ein Maß für die Wahrscheinlichkeit, bei einer weiteren Messung einen Messwert im Intervall ±σ um den Mittelwert μ zu erhalten

Standardabweichung des Mittelwerts Standardabweichung der N Messwerte xn Standardabweichung des Mittelwerts zu N Messwerten xn Folge: Um die Standardabweichung des Mittelwerts auf die Hälfte zu reduzieren, ist die vierfache Anzahl von Beobachtungen erforderlich

Die Gauß-Verteilung Man nimmt mit Gauß an: Gaußkurve mit μ = 3, σ = 1 Man nimmt mit Gauß an: jede Messung zeigt zufällige Abweichungen von einem – unbekannten- idealen, wahren Wert Die Anzahl der Messwerte mit zunehmendem Abstand vom idealen Wert nimmt gemäß der Gauß-Verteilung ab

Standard-abweichung σ Die Gaußverteilung In der Grafik: μ = 0, σ = 1 Standard-abweichung σ Mittelwert µ Die Theorie beruht auf der Annahme, die Verteilung der Messwerte folge einer Gauß-Verteilung

Von der Gaußverteilung zur Wahrscheinlichkeit Mittelwert der Messungen μ = 0, Standard-abweichung σ = 1 Die Gaußverteilung φ(x) zeigt die Wahrscheinlichkeitsdichte. φ(x0)·Δx ist die Wahrscheinlichkeit, bei mehrfacher Wiederholung der gleichen Messung einen Messwert x im Intervall zwischen x0 - Δx/2 und x0 + Δx/2 zu erhalten

Wahrscheinlichkeit eines Messwerts Mittelwert der Messungen μ = 0, Standard-abweichung σ = 1 φ(x0) = 0,13 Intervall Δx = 0,5 Diese Fläche zeigt die Wahrscheinlichkeit… Messwert x0 = 1,5 Die Wahrscheinlichkeit, einen Messwert zwischen 1,25 und 1,75 zu erhalten, beträgt 0,065 -Bei 1000 „identischen“ Messungen werden 65 Messwerte zwischen 1,5 und 2 erwartet-

Normierte Gaußverteilung und ihr Integral, die „Normalverteilung“ Φ(x0) = 0,93 Mittelwert der Messungen μ = 0, Standard-abweichung σ = 1 Φ(x0) ist die Wahrscheinlichkeit, x<x0 zu erhalten Messwert x0 = 1,5 Die Normalverteilung Φ(x) ist das Integral über die normierte Gaußverteilung φ(x). Φ(1,5) zeigt die Wahrscheinlichkeit, bei mehrfacher Wiederholung der gleichen Messung einen Messwert x kleiner als 1,5 zu erhalten

Wahrscheinlichkeiten, Messwerte x mit (µ - σ) < x < (µ + σ) zu erhalten Φ(1) = 0,84 68% für N = 1 Φ(-1) = 0,16 Φ(1) - Φ(-1) = 0,68 68 % der Messwerte werden innerhalb der einfachen Standardabweichung erwartet

95 % innerhalb der zweifachen, 99,7% der dreifachen Standardabweichung Wahrscheinlichkeiten, Messwerte x mit (µ - N·σ) < x < (µ + N·σ) zu erhalten 68% für N = 1 95% für N = 2 99,7% für N = 3 68 % der Messwerte werden innerhalb der einfachen Standardabweichung erwartet 95 % innerhalb der zweifachen, 99,7% der dreifachen Standardabweichung

Intervallbreite um den Mittelwert µ Wahrscheinlichkeiten, Messwerte innerhalb eines Intervalls von ±1, ±2, ±3 Standardabweichungen um den Mittelwert zu erhalten Intervallbreite um den Mittelwert µ Wahrscheinlichkeit einen Messwert innerhalb dieses Intervalls zu erhalten ±1 σ 68% ±2 σ 95% ±3 σ 99,7% Beispiel: Bei 1000-facher Wiederholung der gleichen Messung sind 997 Messwerte innerhalb eines Intervalls der Breite von ± drei Standard-Abweichungen um den Mittelwert zu erwarten, nur 3 mit einem größeren Abstand

Zusammenfassung Die Messung eines Wertes x werde mehrfach wiederholt Der Mittelwert µ ist ein Quotient, Zähler Summe über alle Messwerte x, Nenner Anzahl der Messwerte Die Standardabweichung σ ist ein Quotient, Zähler: Wurzel aus der Summe über alle Quadrate der Differenzen zwischen den Messwerten x und dem Mittelwert µ, Nenner: Wurzel aus der Anzahl der Messwerte, -1 Legt man ein Intervall der Breite ± N·σ um den Mittelwert µ, dann erwartet man bei mehrfacher Wiederholung der Messung für N=1 68 % N=2 95 % N=3 99,7 % der Messwerte innerhalb, den Rest außerhalb des Intervalls

finis Quelle: http://www.diss.fu-berlin.de/diss/servlets/MCRFileNodeServlet/FUDISS_derivate_000000002900/1_Kapitel_1.pdf