Entscheidung bei Infomationsdefizit: Simultane optimale Alternativensuche und Nutzenpräzisierung o.Univ. Prof. Dkfm. Dr. Wolfgang Janko, WU

Grundmodell der Entscheidungstheorie HandlungsalternativenUmweltzustände z1z1 z2z2 …zmzm Konsequenzen a1a1 x 11 x 12 …x 1m a2a2 x 21 x 22 …x 2m …………… anan x n1 x n2 …x nm Umweltzustände z1z1 z2z2 …zmzm Handlungsalternativen a1a1 u(x 11 )u(x 12 )…u(x 1n ) a2a2 u(x 21 )u(x 22 )…u(x 2n ) amam u(x m1 )u(x m2 )…u(x mn ) Nutzenmatrix

Informationssystem: Umweltzustände Nachrichten y1y1 y2y2 …ykyk Wahrscheinlichkeiten z1z1 w(y 1 z 1 )w(y 2 z 1 )…w(y k z 1 ) z2z2 w(y 1 z 2 )w(y 2 z 2 )…w(y k z 2 ) zmzm w(y 1 z m )w(y 2 z m )…w(y k z m )

Bayessches Theorem: Auch mit Dichten und subjektiven Wahrscheinlichkeiten zu rechnen!

Informationsbeschaffung a.Einstufig b.mehrstufig (sequentielle Beschaffungsmodelle)

Alternativensuchmodelle +viele andere Modelle bzw. ordinaler Nutzenbzw. Geldnutzen

Optimale Politik bei einfacher Alternativensuche und bekannter Verteilung des (Geld-)Nutzens F(u) mit Dichte f(u): Ermittlung von v* = erwarteter Wert bei optimaler Fortsetzung der Suche Stoppen wenn u v*! Ermittlung: Wir erhalten v* als Nullstelle: T F (v)-c =0 Bsp.: Für N(0,1) gilt: T F (v)=f(v)-v(1-F(v)) Für Gvtlg in [0,1] gilt: T F (v)=(v²+1)/2-v und v* = 1-(2c s ) (c s < ½) T F (v) s

Konjugierte Familie: a priori Verteilung = a posteriori Verteilung, Beispiele : ParameterKonjugierte Familie Bernoulli-VerteilungBeta-Verteilung Normalverteilung Gamma-Verteilung Normal Poisson-VerteilungGamma-Verteilung Negative BinomialverteilungBeta-Verteilung GleichverteilungPareto-Verteilung MultinomialverteilungDirichlet-Verteilung mehrdimensionale Normalverteilung Wishart-Verteilung ua

Sequentielle Alternativensuche mit Datenpräzisierung Bekannt: 3-dimensionale Verteilung der ZV X = (x 1, x 2, x 3 ) Entscheider kann: X 1 mit Suchkosten c 1 beobachten, X 2 mit Testkosten c 2 beobachten. Er kann in jedem Fall akzeptieren oder mit der Suche fortfahren. Den wahren Wert X 3 kennt er erst nach Akzeptanz! Wir nehmen an X ist multivariat normalverteilt mit den Parametern und der Korrelationsmatrix M.

Der Such- und Testprozess Verwerfen X 1 Suchen (X)X 2 Testen (Y) c1c1 c2c2 Akzeptieren X 3 (V)

Optimale Politik Es muss zunächst untersucht werden für die 3-dimensionale ZV (X,Y,V), ob Testen überhaupt sinnvoll ist. Man ermittelt den Wert v 0 und ermittelt T(v 0, v 0 ) (Fall a) bzw. > (Fall b) v 0. Gilt Fall a) so wird überhaupt nicht getestet und der Erwartungswert der Politik ist v* ( = v 0 ). v 0 wird rückgerechnet auf x 0. In Fall a) gilt bei einem Wert x von X: Ist x < x 0 wird abgelehnt, ist x 0 x so wird angenommen. Im Fall b) kommt es zur Festlegung von Werten x*, y* und v* einer optimalen Politik beim Testen: Vorgangsweise nach Aufsuchen einer Alternative mit Wert x von X : 1.Gilt x<x* so wird diese abgelehnt und aufs Neue gesucht, gilt y* x wird gestoppt (akzeptiert) 1.Gilt x* x < y*, so wird getestet; der Test ergibt den Wert y von Y, wir untersuchen a.gilt y < v* weitersuchen b. v* y stoppen und akzeptieren.

y * -x * = konstant

Hohe Testkosten c 2 weniger Einfluss als hohe Suchkosten c 1 Erwarteter Ertrag v * bleibt gleich bei unverändertem Rest Testbereich verschiebt sich exakt um Mittelwertverschiebung

Kein Einfluss bei sonst gleichen Werten V * steigt mit 3 gleichmäßig parallel

1 kein Einfluss auf Ertrag, Testbereich wächst mit steigenden 1 2 hat keinen Einfluss auf Testbereich und v x.

Mit abnehmendem 3 wird nicht mehr getestet! Mit zunehmendem 3 erweitert sich der Testbereich; v*steigt mit 3. Testbereich wird kleiner mit wachsendem 13 bis kein Test mehr; Wert der Politik steigt (Testkosten relativ klein)

Größe der Testkosten zu v * bestimmend für Testbereich; c 2 groß führt zum reinen Suchen. v * wächst mit 13 ; Testintervall wird mit zunehmendem 13 kleiner.

Ergebnis nicht verständlich! Wozu testen wenn Korr(1,3) immer größer wird ? Nicht plausibel für f > 0 f=

Nicht plausibel, da für große 12 ein Testen nicht sinnvoll erscheint.

MacQueen (1964) zeigt ua, daß eine Interpretation dieser Lösung als 2facher Test möglich ist und 1)aus einer großen Anzahl von Möglichkeiten genau N app. optimal unter Einhaltung eines Testbudgets von C gewählt werden können und 2) die optimale Ausschöpfung eines beschränkten Budgets B für wiederholte derartige Sequentialtests ohne Beschränkung von deren Anzahl zur Maximierung der Summe der Werte approx. möglich ist. DeGroot, M.,Optimal Statistical Decisions, McGraw-Hill Company,N.Y., 1970 Ferschl, F., Nutzen- und Entscheidungstheorie, Köln-Opladen, Westdeutscher Verlag,1975 MacQueen, J.B.,Optimal Policies for a Class of Search and Evaluation Problems, Management Science, Vol. 10, No.4,pp. 746 ff Man kann zeigen: Diese Probleme lassen sich vermeiden, wenn und erfüllt wird !!