Synchronisation schwach gekoppelter Oszillatoren Seminar: Physik in der Biologie Synchronisation schwach gekoppelter Oszillatoren Teil 1: Theoretische Grundlagen Raphael Engesser

Ein Oszillator ist ein dynamisches System mit einem beschränkten periodischen Attraktor In der Biologie: Oszillatoren von grundlegender Bedeutung: Herzschlag Neuronen Parkinson Lotka – Volterra Glühwürmchen …

Biologie: immer Dissipation und Fluktuation vorhanden => Es müssen aktive System sein (zB van der Pol) Hamiltonsche Systeme: klingen ab oder laufen aus dem Ruder

Grenzzyklen Amplitude unempfindlich gg Störungen

Von Interessere: nicht die Ursache einer Oszillation sondern Wechselwirkungen (Kopplungen) zwischen einzelnen Oszillatoren Mögliche Effekte: Schwebungen Chaos Synchronisation …

frequency entrainment phase locking Synchronisation Anpassung der Frequenzen von periodisch schwingenden, selbständigen Systemen (Oszillatoren) aufgrund einer schwachen Wechselwirkung frequency entrainment phase locking

gleichphasig gegenphasig Konstante Phasendifferenz keine Synchronistation

Beispiel: Millennium Bridge in London

Synchronisation in der Biologie Herz Neuronen Glühwürmchen Tausendfüssler Grillen …

Entdeckung durch Christian Huygens (1629 – 1695)

Arten von Kopplungen: a) Unidirektionale Kopplung Bsp: getriebener linearer Oszillator Jahreszyklus der Bäume b) Bidirektionale Kopplung Bsp: Gekoppeltes Pendel (siehe AP I)

Kopplung von linearen Oszillatoren: Beispiel: Gekoppelte Federpendel (lineare Näherung) Allg. Lösung: Überlagerung der Normalschwingungen Фgleich und Фgegen X1(t) = Фgleich + Фgegen X2(t) = Фgleich - Фgegen

Schwebungen Maxima versetzt keine Synchronisation

Kopplung von nichtlinearen Oszillatoren Beispiel: Van-der-Pol Oszillator periodisches Störsignal unidirektionale Kopplung Störsignal

Van-der-Pol ohne Störsignal mit μ = 3

Synchronisation eines periodisch getriebenen van-der-Pols ε = 0, d.h. ohne Kopplung ε = 0.24

Das ganze bisschen mathematischer: Ein Oszillator ist ein dynamisches System Mit einem beschränktem periodischem Attraktor Periode T>0: kleinstes T für das gilt

Phasenbeschreibung Beschreibung eines Oszillators durch nur eine Variable definiere Transformation Θ bildet Lösungen x(t) € R auf Ф(t) € S1 ab Entspricht Parametrisierung des Grenzzyklus

Eigenschaften von Φ(t): Koordinate entlang des Grenzzyklus steigt monoton an bei einem Umlauf um den Grenzzyklus um 2π gleichförmige Bewegung gemäß:

Phasenbeschreibung sinnvoll da: Störungen wirken sich nur auf Phase aus Grenzzyklus: Amplitude ist stabil System nur eindimensional

Betrachte zwei miteinander gekoppelte Oszillatoren: Frage: Wie sieht Phasenbeschreibung aus?

Wegen Störungen muss man die Phase auch auf einer Umgebung des Attraktors definieren Ungestörter Oszillator auf Umgebung des Attraktors Kettenregel

mit Kopplung definiere 2π-periodische Funktionen h1,2

Dynamische System: lässt sich überführen in:

betrachte Störung auf dem Grenzzyklus:

(2) – (1) ergibt Phasendifferenz ΔФ = Ф2 - Ф1 man erhält neue Koordinate ΔФ:

Fixpunkte ΔФ´ = 0: Annahme: identischen Oszillatoren und WW ΔФ = 0 und ΔФ = π sind dann Fixpunkte.

Stabilitätsanalyse: System: ΔФ´=εH(ΔФ) Fixpunkt ΔФ* Stabil wenn H´(ΔФ*) < 0

Beispiel für H(Δφ) und H12(Δφ ) bzw. H21(Δφ) Fixpunkt bei ΔФ = 0 stabil - gleichphasig ΔФ = π instabil - antiphasig

Adler Gleichung Zur Veranschaulichung: wähle für H(ΔФ) = sin(ΔФ)

Adlergleichung – Lösungen für verschiedene ε

„Washboard“ - Potential Gleichung für Phasendifferenz Rechte Seite als Potential: V(ΔФ) ergibt sich mit H(ΔФ) = sin(ΔФ) als:

Untersuchung der Potentialgleichung: ΔФ ΔФ

Fall 1: Änderung der Frequenzen

Fall 2: Änderung der Kopplungsstärke ε

Arnold Tongues kleine Kopplungsstärken reichen schon

Weiterführendes: unterschiedliche Oszillatoren mehr als zwei: Ketten, Gitter, …. höhere Ordnung von Synchronisation Phasendifferenz muss nur beschränkt sein stochastische Effekte

Kommunikation von Systemen Ordnung bringen in Systeme Verringerung der Komplexitität Wenn Eigenfrequenzen ungefähr stimmen, reicht schon Bringt Stabilität in die Systeme

Noch Fragen????