Grundbegriffe der Schulgeometrie Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik Grundbegriffe der Schulgeometrie SS 2008 Teil 2 (M. Hartmann)

Welche Techniken kreativer Begriffsbildung gibt es? Fachmathematischer Aspekt Welche Techniken kreativer Begriffsbildung gibt es? Begriffsbildung durch Kombinieren (Bsp. Kreatives Ordnen) Reduzieren (Bsp. Diagonaleneigenschaft des Rechtecks reduzieren zu „Halbieren sich gegenseitig“) Variieren (Bsp. Pythagoräisches Viereck) Analogisieren

Was ist Analogie? Was ist Analogisieren? „…, analoge Dinge stimmen in gewissen Beziehungen zwischen ihren entsprechenden Teilen miteinander überein.“ (Polya 1967) Was ist Analogisieren? Ein Vorgehen, welches sich bereits einmal bewährt hat, wird auf eine analoge Situation übertragen. Zuerst muss der Analogiebegriff geklärt werden Analogie ist nicht irgendeine vagen Ähnlichkeit, Polya präzisiert etwa

Wie analogisiert man? Schritt: Man schafft sich ein neues irgendwie ähnliches System zu einem, welches sich bereits als fruchtbar erwiesen hat. Viereck Kugeldreieck Dreieck Dreiecksprisma Dreieckspyramide Zuerst muss der Analogiebegriff geklärt werden Analogie ist nicht irgendeine vagen Ähnlichkeit, Polya präzisiert etwa Schritt: Man sucht in diesem System gezielt nach irgendwie ähnlichen Beziehungen

Kurzer historischer Überblick Heuristik Archimedes, Pappos Descartes, Leibniz Mathematikunterricht (Polya 1949) Zentrales Lernziel (Winter 1972) Kreative Begriffsbildung (Weth 2000) Variation (Schupp 2002) Analogisieren im Schulbuch (Zimmermann 2003) Von Ebene zum Raum Dreieck-Tetraeder (Fritsch 1984, Neubrand 1985, Bubeck 2003) Pythagoras am Tetraeder (Bubeck 1992) Phänomenfindung (Loska/Hartmann 2005) MU Themenheft Analogisieren (Heinrich 2006) Computereinsatz (Schumann)

Satz von Pappos (Verallgemeinern durch Analogisieren) beliebiges Parallelogramm C beliebiges Parallelogramm B A A + B durch Vektor SC festgelegtes Parallelogramm

Pythagoras in Vierecken a² + c² = b² + d² a b c d a² - c² = d² - b² a b c d Er versucht z.B. den Begriff des pythagoreischen Dreiecks auf das Viereck zu übertragen, indem er etwa fordert, dass die Summe bzw die Differenz der Gegenkantenquadrate übereinstimmen Interessanterweise stehen diese algebraischen Forderungen in Beziehung zu bestimmten geometrischen Eigenschaften wie etwa, dass die Diagonalen aufeinander senkrecht stehen oder, dass Ecken auf einem ganz bestimmten Kreis liegen.

Die Vielfältigkeit der räumlichen Analogien des Satzes von Pythagoras

Räumliche Analoga des rechtwinkligen Dreiecks Pythagoras im Raum /Analoga des rechtwinkligen Dreiecks Räumliche Analoga des rechtwinkligen Dreiecks Zunächst einmal benötigen wir eine räumliche Analogie des rechtwinkligen Dreiecks. Dazu kann man z.B. das rechtwinklige Dreieck interpretieren als einen Abschnitt des Rechtecks

Räumliche Analoga des rechtwinkligen Dreiecks Pythagoras im Raum /Analoga des rechtwinkligen Dreiecks Räumliche Analoga des rechtwinkligen Dreiecks Diese Interpretation kann nun leicht auf den Raum übertragen werden. Es bietet sich nun an entsprechend aus einem Quader z.B. ein Dreiecksprisma abzuschneiden. Man könnte auch eine Raumecke abschneiden und würde dann ein Tetraeder erhalten. Es gibt aber noch weitere Möglichkeiten Tetraeder aus dem Quader zu schneiden. Z.B. könnte die Spitze über einem anderen Eckpunkt des Grunddreiecks liegen oder auch außerhalb davon.

Räumliche Analoga des rechtwinkligen Dreiecks Pythagoras im Raum /Analoga des rechtwinkligen Dreiecks Räumliche Analoga des rechtwinkligen Dreiecks Existieren in diesen Körpern auch irgendwelche zum Satz des Pythagoras analoge Beziehungen? Dreiecksprisma Faulhaber-Tetraeder Wir haben damit vier Analoga zum rechtwinkligen Dreieck erhalten, die ich im folgenden als Dreiecksprisma und nach ihren Entdeckern Faulhaber bzw. Bubecktetraeder und als schiefes Tetraeder bezeichnen will Die spannende Frage ist nun: Existieren in diesen Analoga zum rechtwinkligen Dreieck auch irgendwie zum Satz des Pythagoras analoge Beziehungen? Bubeck-Tetraeder Schiefes Tetraeder

Dreiecksprisma Pythagoras im Raum / Dreiecksprisma Die Antwort ist ganz klar jaBeim Dreiecksprisma erkennt man relativ leicht, dass für die Flächen A und B, die im rechten Winkel aufeinander stehen vollkommen analog zum Satz des Pythagoras gilt, dass die Summe ihrer Quadrate gleich dem Quadrat der -ich nenn es mal- Hypotenusenfläche ist

Faulhaber-Tetraeder Pythagoras im Raum / Faulhaber-Tetraeder Beim Faulhabertetraeder gilt für die Flächen A,B,C, die die rechtwinklige Raumecke bilden ebenfalls, dass deren Quadrate aufsummiert dem Quadrat der gegenüberligenden „Hypotenusenfläche“ entspricht.

Faulhaber-Tetraeder Johannes Faulhaber (1622) Pythagoras im Raum / Faulhaber-Tetraeder Faulhaber-Tetraeder Dies wurde bereits 1622 vom Ulmer Mathematiker Johannes Faulhaber in seiner Miracula Arithmetica publiziert Johannes Faulhaber (1622)

Bubeck-Tetraeder (1992) Pythagoras im Raum / Bubeck-Tetraeder Bubeck konnte zeigen, dass in seinem Tetraeder für die Flächenpaare A,B bzw C, D die Quadratdifferenzen übereinstimmen

Schiefes Tetraeder Pythagoras im Raum / Schiefes Tetraeder Und auch im letzten noch ausstehenden Analogon, dem schiefen Tetraeder findet sich eine pythagoreische Beziehung. Es gilt nämlich für die Grundfläche und die Überhangfläche, dass deren Qaudratsumme gleich der Quadratsumme der beiden anderen Seitenflächen ist

Schiefes Tetraeder (Beweis) Pythagoras im Raum / Schiefes Tetraeder Schiefes Tetraeder (Beweis) Dreiecksprisma C² = A² + C‘² D² = A² + D‘² Faulhaber I. C² + D² = 2A² + C‘² + D‘² II. A² + B² = 2A² + C‘² + D‘² B² = A² + C‘² + D‘²

Schiefes Tetraeder (Beweis) Pythagoras im Raum / Schiefes Tetraeder Schiefes Tetraeder (Beweis) Dreiecksprisma C² = A² + C‘² D² = A² + D‘² Faulhaber I. C² + D² = 2A² + C‘² + D‘² II. A² + B² = 2A² + C‘² + D‘² B² = A² + C‘² + D‘²

Auf Kantenlängen bezogene Analogien Pythagoras im Raum / Kanten Auf Kantenlängen bezogene Analogien a‘ ² a + b = b‘ c c‘ a‘ a c c‘ ² + = b b‘ c c‘ ² - = a² + c² = b² + d² a b c d a² - c² = d² - b² c a ² a‘ - = b b‘ c‘ a‘ a b b‘ - = + ² Neben den pythagoreischen Beziehungen der Flächen gibt es außerdem noch jede Menge pythagoreischer Beziehungen der Kanten. Besonders hübsch -gerade auch wenn man die pythagoreischen Vierecke von Weth im Hinterkopf hat- erscheint es, dass im Faulhabertetraeder die Summen der Gegekantenquadrate und im Schiefen Tetraeder die Differenzen der Gegenkantenquadrate jeweils den gleichen Wert haben.

Zerlegungsbeweise des pythagoreischen Lehrsatzes mittels des Analogisierens entdecken Das Erlebnis der Fruchtbarkeit derartigen Analogisieren sollte unbedingt auch Schülern erschlossen werden. Derartiges im Unterricht zu tun, wird Lehrern aber erheblich leichter fallen, wenn dies unmittelbar an Standardstoffen geschehen kann. Hier sind wir zwar beim Pythagoras als Standardstoff gestartet, aber mit den räumlichen Analogien doch außerhalb desselben gelandet. Deshalb im folgenden ein Beispiel welches stest innerhalb des Standardstoffbereichs bleibt. Ich möchte zeigen, wie man mittels ..

Beispiel: Zerlegungsbeweise zum Satz des Pythagoras Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken Beispiel: Zerlegungsbeweise zum Satz des Pythagoras Für mich waren früher die Zerlegungsbeweise in ihrer Fülle eher erschreckend. Ich habe mich immer gefragt, wie findet man solche Beweise?

Wie findet man solche Zerlegungen? Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken Wie findet man solche Zerlegungen? Nun wie findet man solche Beweise Natürlich durch Analogisieren, genauer, indem man von einem Sonderfall, wie z.B. einer Zerlegung des rechtwinklig gleichschenkligen Dreiecks ausgeht und diesen auf den Allgemeinfall überträgt

Analyse des Analogisierungsprozesses Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l Analyse des Analogisierungsprozesses Sonderfall Analogisierung Allgemeinfall Verbalisieren: Festlegung auf eine Beschreibungsmöglichkeit 1. Schnittführung Zerlegung der Katheten- quadrate Analoge Teilstücke 2. Abbildung der Teile Wollen von Sonderfall ausgehen und diesen geschickt übertragen auf den Allgemeinfall Puzzlen auf das Hypotenusen- quadrat unvollständige Lösung endgültige Lösung Probieren

Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l 2. Beispiel

Analogisierungsmöglichkeiten der Schnittführung Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l Analogisierungsmöglichkeiten der Schnittführung 1. Diagonale 2. Diagonale

Analogisierungsmöglichkeiten der Schnittführung Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l Analogisierungsmöglichkeiten der Schnittführung d d C c C c Parallele zu c durch C Verlängerung von Seite d

Analogisierungsmöglichkeiten der Schnittführung Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l Analogisierungsmöglichkeiten der Schnittführung d D d D C c C c Parallele zu c durch C Parallele zu d durch D

Analogisierungsmöglichkeiten der Schnittführung Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l Analogisierungsmöglichkeiten der Schnittführung d d M c M c Parallele zu c durch M Parallele zu d durch M

Analogisierungsmöglichkeiten der Schnittführung Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l Analogisierungsmöglichkeiten der Schnittführung D D c d E d C E C c B B Parallele zu c durch C und E Parallele zu d durch B und D

Analogisierung der Teileabbildung Zerlegungsbeweise durch Analogisieren entdecken l Analogisierung der Teileabbildung Perigal DGS

Analogisieren im Bereich der Inhaltslehre

Beispiel 1: Vom Flächeninhalts- zum Volumenbegriff Begriffliche Grundidee: Auslegen Abzählverfahren liefert Formel für Sonderfall Rückführung auf Sonderfall durch Umbau Triangulation Analogisieren Analogisieren Analogisieren Analogisieren

Beispiel 2: Die vielfältigen Analogisierungs-möglichkeiten der Tortenstückmethode

Anwendung auf Kreissektorinhalt ½ b Rechteck ? r j/360 • AKreis

Anwendung auf Kreisring = Um