Grundbegriffe der Schulgeometrie Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik Grundbegriffe der Schulgeometrie SS 2008 Teil 3 (M. Hartmann)

Analogisieren im Bereich der Inhaltslehre Analogisieren in der Inhaltslehre Analogisieren im Bereich der Inhaltslehre

Beispiel 1: Vom Flächeninhalts- zum Volumenbegriff Analogisieren in der Inhaltslehre: 1. Beispiel vom Flächen- zum Volumenbegriff Beispiel 1: Vom Flächeninhalts- zum Volumenbegriff Begriffliche Grundidee: Auslegen Abzählverfahren liefert Formel für Sonderfall Rückführung auf Sonderfall durch Umbau Triangulation Analogisieren Analogisieren Analogisieren Analogisieren

Analogisieren in der Inhaltslehre: 2. Beispiel Tortenstückmethode Beispiel 2: Die vielfältigen Analogisierungs-möglichkeiten der Tortenstückmethode ½ U r

Anwendung auf Kreissektorinhalt Analogisieren in der Inhaltslehre: 2. Beispiel Tortenstückmethode Anwendung auf Kreissektorinhalt ½ b Rechteck ? r j/360 • AKreis

Anwendung auf Kreisring Analogisieren in der Inhaltslehre: 2. Beispiel Tortenstückmethode Anwendung auf Kreisring U1 U2 ½ U2 + ½ U1 = Um

Analogisieren in der Inhaltslehre: 2. Beispiel Tortenstückmethode Anwendung auf Röhre

Analogisieren in der Inhaltslehre: 2. Beispiel Tortenstückmethode Anwendung auf Röhre UMittel d h UMittel d h VRöhre = U Mittel ∙ d∙h

Analogisieren in der Inhaltslehre: 2. Beispiel Tortenstückmethode Anwendung auf Torus Mittlerer Umfang U Querschnittsfläche A

Analogisieren in der Inhaltslehre: 2. Beispiel Tortenstückmethode Anwendung auf Torus

Analogisieren in der Inhaltslehre: 2. Beispiel Tortenstückmethode Anwendung auf Torus UMittel Querschnittsfläche A A UMittel VTorus = A ∙ U Mittel

Tortenstückmethode etwas anders Analogisieren in der Inhaltslehre: 2. Beispiel Tortenstückmethode Tortenstückmethode etwas anders Inhalt = ½ Umfang • r

Tortenstückmethode etwas anders Analogisieren in der Inhaltslehre: 2. Beispiel Tortenstückmethode Tortenstückmethode etwas anders Inhalt = ½ Umfang • r

Analogisieren in der Inhaltslehre: 2. Beispiel Tortenstückmethode Anwendung auf Kugel Beziehung zwischen Oberfläche und Kugel Beziehung zwischen Oberfläche und Kugel

Beispiel 3: Formelbildung für Kreis und Kugel Analogisieren in der Inhaltslehre: 3. Beispiel Kreisfläche durch Vergleich Beispiel 3: Formelbildung für Kreis und Kugel Grobabschätzungen führen auf Formeln vom Typ: Inhalt = x • Vergleichsinhalt Kreisumfang = 3,14 • d B A Kugeloberfläche = 4 • AKreis 2d < UKreis < 4d Analogisieren Analogisieren Kreisfläche = 3,14 • r² 1•AKreis < OHalbkugel < 3•AKreis Wie ließe sich das Vorgehen Analogisieren? Man läuft man auf dem Kreis, dann startet man bei A Kugelvolumen = 4 • VKegel Analogisieren 2r² < AKreis < 4r² 1•VKegel < VHalbkugel < 3•VKegel

= 3,14 • d = 4 • AKreis = 3,14 • r² = 4 • VKegel Analogisieren in der Inhaltslehre: 3. Beispiel Kreisfläche durch Vergleich Gute ikonische Repräsentation für den Unterricht Kreisumfang = 3,14 • d = 4 • AKreis Kugeloberfläche Analogisieren Analogisieren Kreisfläche = 3,14 • r² Wie ließe sich das Vorgehen Analogisieren? Man läuft man auf dem Kreis, dann startet man bei A Kugelvolumen = 4 • VKegel Analogisieren

Bedeutung für den Unterricht Analogisieren Bedeutung für den Unterricht Die Schüler können an Standardinhalten unmittelbar die Schlagkraft einer heuristischen Methode erfahren Die hohe Vielfalt der Entdeckungsmöglichkeiten machen das kreative Moment der Mathematik erfahrbar Präzises verbales Beschreiben wird geübt Nachhaltigkeit des Lernens wird verbessert Alte Inhalte werden wiederholt, neue Inhalte besser vernetzt

Welche Kreationen sind mathematisch wertvoll? Fachmathematischer Aspekt Welche Kreationen sind mathematisch wertvoll? Prinzipiell können jederzeit beliebige (neue) mathematische Begriffe gebildet werden Entscheidend für das „Überleben“ eines Begriffs ist aber dessen mathematische Beziehungshaltigkeit! Bsp.: Ein Viereck mit drei gleichlangen Seiten heißt „Dreiseitgleich“. Solange man keine anderen Eigenschaften des Begriffs findet, die in Beziehung zueinander stehen, ist das Dreiseitgleich mathematisch langweilig und damit zum Aussterben verurteilt... Bsp.: Ein Viereck, dessen Gegenseiten summengleich sind, heißt „Gegenseitensummerich“. Beim „Gegenseitensummerich“ findet man eine zusätzliche interessante Eigenschaft: Dieses Viereck besitzt stets einen Inkreis Der „Gegenseitensummerich“ wird also weiterleben (Wenn er dies auch entsprechend seiner Inkreiseigenschaft normalerweise unter dem Decknamen Tangentenviereck tut)