Die Poincaré-Vermutung und ihre Geschichte

Präsentation zum Thema: "Die Poincaré-Vermutung und ihre Geschichte"—  Präsentation transkript:

1 Die Poincaré-Vermutung und ihre Geschichte
Thilo Kuessner

2 Beispiele von Flächen Torus Brezel Doppelbrezel Sphäre

3 Karte einer Sphäre Stereographische Projektion : Sphäre ohne Nordpol  Ebene

4 Wie unterscheidet man Flächen?
Euler-Charakteristik Fundamentalgruppe Hyperbolisches Volumen

5 Euler-Charakteristik
E-K+F E= Anzahl der Ecken K= Anzahl der Kanten F= Anzahl der Flächen

6 Eulerscher Polyedersatz I
E=12,K=30,F=20 E-K+F=2 E=8,K=12,F=6 E-K+F=2 E=20,K=30,F=12 E-K+F=2

7 Eulerscher Polyedersatz II
E=60, K=150, F=92 E-K+F=2 Satz (Legendre, 1794): Jede Zerlegung der Sphäre in Polygone erfüllt E-K+F=2.

8 Euler-Charakteristik eines Torus
E=160,K=320,F=160 E-K+F=0

9 Euler-Charakteristik von Flächen
Satz (Lhuillier, 1817): Für jede Zerlegung einer kompakten, orientierbaren Fläche mit g Henkeln gilt: E-K+F = 2-2g.

10 Fundamentalgruppe Geschlossene Kurven

11 Stetige Deformation von Kurven
F ist einfach zusammenhängend < === > Jede geschlossene Kurve läßt sich stetig in einen Punkt deformieren.

12 Einfacher Zusammenhang I
Die Sphäre ist einfach zusammenhängend.

13 Einfacher Zusammenhang II
Der Torus und die Brezel sind nicht einfach zusammenhängend.

14 Einfacher Zusammenhang III
Satz (Poincaré, 1896): Eine kompakte Fläche ist genau dann einfach zusammenhängend, wenn sie homöomorph zur Sphäre ist.

15 Krümmung und Flächeninhalt
Geometrie von Flächen Krümmung und Flächeninhalt

16 Krümmung von Flächen Eine Fläche sei in lokalen Koordinaten als Graph einer Funktion h(u,v) gegeben. Dann ist die Krümmung definiert als:

17 Krümmung Hyperboloid: K=-1 Zylinder: K=0 Sphäre: K=1

18 Krümmung und Winkelsumme
K>0 : Innenwinkelsumme > 180 Grad K<0: Innenwinkelsumme < 180 Grad

19 Modellräume Modell für K=1: Einheitssphäre
Modell für K=0: Euklidische Ebene Modell für K=-1: Hyperbolische Ebene

20 Flächen konstanter Krümmung
Hyperbolische Ebene : K=-1

21 Geometrisierung von Flächen
Satz (Riemann, 1851): Jede kompakte, orientierbare Fläche trägt Metriken konstanter Krümmung: - die Sphäre mit K=1, - der Torus mit K=0, - Flächen höheren Geschlechts mit K=-1.

22 Torus mit K=0

23 Fläche mit drei Henkeln : K = -1

24 Hyperbolischer Flächeninhalt
Auf einer Fläche mit g Henkeln hat jede hyperbolische Metrik den Flächeninhalt -2pi (E-K+F) also -2pi mal die Euler-Charakteristik.

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26 Konstruktion von 3-Mannigfaltigkeiten

27 Poincaré-Vermutung Die Whitehead-Mannigfaltigkeit ist das Komplement des Durchschnitts der ineinander geschachtelten verknoteten Tori. W ist einfach-zusammenhängend und nicht-kompakt, aber nicht homöomorph zum euklidischen Raum.

28 Allgemeine 3-Mannigfaltigkeiten
Zusammenhängende Summe: A#B:= A-D U B-D

29 Zerlegungen von 3-Mannigfaltigkeiten

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31 Ricci-Fluß - Singularitäten
Gebiete mit höherer (positiver) Krümmung bilden während des Ricci-Flußes einen „neckpinch“, d.h. einen immer dünner und länger werdenden Hals.

32 Weeks (2004): „Observational data suggest the observable universe either is flat or has a small curvature that is more likely positive than negative.“ Messungen der Masse-Energie-Dichte: 1.02 x Dichte eines flachen Universums Meßgenauigkeit: x Dichte eines flachen Universums