P FADINTEGRAL E Victoria Zinyuk Seminar zur theoretischen Quantenmechanik
I NHALTSÜBERSICHT Lagrange Formalismus Überleitung zur Quantenmechanik Idee des Pfadintegrals Berechnung des Pfadintegrals Bsp.: Harmonischer Oszillator Vorteile der Pfadintegralformulierung 2
L AGRANGE F ORMALISMUS Man betrachte generalisierte Koordinaten Wirkung: Euler Lagrange Gleichung : in welche die Zwangsbedingungen eingearbeitet sind Lagrangefunktion: Aus dem Prinzip der minimalen Wirkung wird mittels Variationsrechnung die Euler-Lagrange-Glg hergeleitet 3
B EZUG ZUR Q UANTENMECHANIK Klassische Mechanik: Wirkung extrem ein ausgezeichneter Weg QM: Alle möglichen Wege tragen zur Gesamtamplitude bei Jeder Weg trägt gleiche Amplitude bei, aber bei unterschiedlicher Phase Die Phase ist durch die klassische Wirkung S in Einheiten von ħ gegeben 4
D IE I DEE DES P FADINTEGRALS Übergangsamplitude von y nach x : Integral über alle möglichen Wege (Pfade) mit noch zu bestimmendes Funktional noch zu bestimmender Integrationsmaß 5
B ESTIMMUNG : F UNKTIONAL & I NTEGRATIONSMAß Übergangsamplitude: Freies Teilchen Übergangsamplitude: Teilchen im beliebigen nur ortsabhängigem Potential Näherung für kleine Zeiten Erweiterung auf beliebige Zeiten 6
F REIES T EILCHEN 7
T EILCHEN I M BELIEBIGEN NUR VOM O RT ABHÄNGIGEN P OTENTIAL Näherung für kleine t = ε 8
E RWEITERUNG AUF BELIEBIGE Z EITEN Die Zeit im unendlich viele infinitesimale Zeitabschnitte unterteilt, analog dem Riemannintegral. 9
R ÜCKSCHLUSS AUF DIE KLASSISCHE W IRKUNG 10
D AS P FADINTEGRAL 11
B SP.: H ARMONISCHER O SZILLATOR 12
N ACHTRAG ZUR F UNKTIONALABLEITUNG : 13
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V OR - UND N ACHTEILE DER P FADINTEGRALFORMULIERUNG 17
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