PYTHAGORAS 570 v. Chr. wurde Pythagoras auf der ionischen Insel Samos geboren. Als 20-jähriger ging er in Milet bei Thales und Anaximander in die Lehre, das waren damals echte Profis in der Philosophie und Mathematik. Später lernte er auch bei ägyptischen Priestern und soll sogar bis nach Babylon gereist sein, um seine Neugierde zu stillen. Mit etwa 40 Jahren kehrte er nach Samos zurück. Pythagoras starb um 500 v. Chr. Sein ganzes Lebens lang galt sein Interesse vor allem der Mathematik, und hier hatte er den Ägyptern etwas ganz Besonderes abgeschaut.

Feldvermessung bei den Ägyptern Die Felder Ägyptens wurden jedes Jahr vom Nil überschwemmt und mussten neu ausgemessen werden. Die Leute dort benutzten dazu eine geschlossene Schnur mit 12 Knoten, die dadurch in 12 gleich lange Strecken unterteilt war. So wie diese hier: Rechter Winkel = 90 Grad Wenn sie eine solche Schnur zu einem Dreieck mit den Seitenlängen 3, 4 und 5 spannten, erhielten sie einen rechten Winkel mit 90 Grad, denn es entstand ein rechtwinkliges Dreieck. Ein erstaunlicher Trick, aber er funktioniert immer! Den rechten Winkel brauchten sie für die Feldvermessung.

Überlegungen des Pythagoras 1 Als begeisterter Mathematiker war Pythagoras ein Zahlenfreund und die Zahlen 3, 4 und 5 ließen ihn nicht mehr los. Computerspiele gab es noch nicht, also spielte er mit den Zahlen. In einer schlaflosen Nacht multiplizierte er sie einmal mit sich selbst und spielte dann mit den Ergebnissen weiter. Das sah dann so aus: 3 · 3 = 32 = 9 Neue Zahlen, Quadratzahlen: 4 · 4 = 42 = 16 9, 16 und 25. 5 · 5 = 52 = 25 Vor Aufregung sprang er aus dem Bett.

Überlegungen des Pythagoras 2 Was war passiert? 25 ! Er hatte 9 und 16 addiert, der Grund seiner Aufregung war das Ergebnis: Als Mathematiker prüfte er sofort nach, was er da entdeckt hatte und mit steigernder Aufregung stellte er fest: 9 + 16 = 25 Stimmt. 25 - 9 = 16 Stimmt ! 25 - 16 = 9 Stimmt auch !!!

Überlegungen des Pythagoras 3 Nutzlose Kunst und sinnlose Spielerei? Nicht ganz. Man muss nur etwas weiterdenken. Wenn das Quadrieren und Rechnen mit einfachen Zahlen funktioniert, warum dann nicht auch mit Flächen? Probieren wir es doch einmal aus: Nehmen wir das große Quadrat des Pythagoras, das mit der Seitenlänge 5 cm. 5 cm · 5 cm = 25 cm2 Das Quadrat hat also einen Flächeninhalt von 25 cm2. 25 cm2 Und dieses Quadrat soll genauso groß sein, wie die beiden anderen 9 cm2 und 16 cm2 zusammen?

Überlegungen des Pythagoras 4 Also: ????? Kleines Quadrat + mittelgroßes Quadrat = großes Quadrat + = ? 3cm · 3cm + 4cm · 4cm = 5cm · 5cm 9 cm2 + 16 cm2 = 25 cm2 Lassen wir doch einen kleinen Film ablaufen!

Überlegungen des Pythagoras 5 Nehmen wir uns zuerst das Dreieck der Ägypter her und erinnern uns: Es hat einen rechten Winkel, die Seiten sind 3, 4 und 5 Einheiten lang. So sieht es aus. Hier ist der rechte Winkel. Über dieser Seite wird das kleine Quadrat errichtet. Es hat eine Fläche von 9 cm2. Über einer Seite zeich-nen wir das mittelgroße Quadrat. Nun lassen wir die Teilflächen der oberen Quadrate wie in einer Sanduhr in die untere, große Fläche rieseln. Es hat eine Fläche von 16 cm2.

o a b c 16 9 a = 4 cm b = 3 cm So sieht unsere „Sanduhr“ aus. So sieht unsere „Sanduhr“ aus. Hier sind „Zählwerke“. Noch ein Klick,dann läuft die „Sanduhr“ automatisch los !!!

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 16 9 o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a b o o c a = 4 cm b = 3 cm a2 = 16 cm2 b2 = 9 cm2

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 15 9 o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a b o c o a = 4 cm b = 3 cm a2 = 16 cm2 b2 = 9 cm2

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 14 9 o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a b o c o o a = 4 cm b = 3 cm 2 a2 = 16 cm2 b2 = 9 cm2

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 13 9 o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a b o c o o o a = 4 cm b = 3 cm 3 a2 = 16 cm2 b2 = 9 cm2

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 12 9 o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a b o c o o o o a = 4 cm b = 3 cm 4 a2 = 16 cm2 b2 = 9 cm2

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 11 9 o o o o o o o o o o o o o o o o o o o a b o c o o o o a = 4 cm b = 3 cm o 5 a2 = 16 cm2 b2 = 9 cm2

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 10 9 o o o o o o o o o o o o o o o o o o a b o c o o o o a = 4 cm b = 3 cm o o 6 a2 = 16 cm2 b2 = 9 cm2

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 9 9 o o o o o o o o o o o o o o o o o a b o c o o o o a = 4 cm b = 3 cm o o o 7 a2 = 16 cm2 b2 = 9 cm2

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 8 9 o o o o o o o o o o o o o o o o a b o c o o o o a = 4 cm b = 3 cm o o o o 8 a2 = 16 cm2 b2 = 9 cm2

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 7 9 o o o o o o o o o o o o o o o a b o c o o o o a = 4 cm b = 3 cm o o o o 9 a2 = 16 cm2 b2 = 9 cm2 o

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 6 9 o o o o o o o o o o o o o o a b o c o o o o a = 4 cm b = 3 cm o o o o 10 a2 = 16 cm2 b2 = 9 cm2 o o

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 5 9 o o o o o o o o o o o o o a b o c o o o o o a = 4 cm b = 3 cm o o o o 11 a2 = 16 cm2 b2 = 9 cm2 o o

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 4 9 o o o o o o o o o o o o a b o c o o o o o o a = 4 cm b = 3 cm o o o o 12 a2 = 16 cm2 b2 = 9 cm2 o o

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 3 9 o o o o o o o o o o o a b o c o o o o o o a = 4 cm b = 3 cm o o o o o 13 a2 = 16 cm2 b2 = 9 cm2 o o

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 2 9 o o o o o o o o o o a b o c o o o o o o a = 4 cm b = 3 cm o o o o o o 14 a2 = 16 cm2 b2 = 9 cm2 o o

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 1 9 o o o o o o o o o a b o c o o o o o o a = 4 cm b = 3 cm o o o o o o 15 a2 = 16 cm2 b2 = 9 cm2 o o o

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o --- 9 o o o o o o o o a b o c o o o o o o o a = 4 cm b = 3 cm o o o o o o 16 a2 = 16 cm2 b2 = 9 cm2 o o o

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o --- 9 Achtung !!! o o o Ein Quadrat ist jetzt leer. o o o o Nun geht es mit dem anderen weiter! o a b o c o o o o o o o a = 4 cm b = 3 cm o o o o o o 16 a2 = 16 cm2 b2 = 9 cm2 o o o

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o --- 8 o o o o o o o o a b c o o o o o o o o a = 4 cm b = 3 cm o o o o o o 17 a2 = 16 cm2 b2 = 9 cm2 o o o

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o --- 7 o o o o o o o a b c o o o o o o o o a = 4 cm b = 3 cm o o o o o o o 18 a2 = 16 cm2 b2 = 9 cm2 o o o

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o --- 6 o o o o o o a b c o o o o o o o o a = 4 cm b = 3 cm o o o o o o o o 19 a2 = 16 cm2 b2 = 9 cm2 o o o

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o --- 5 o o o o o a b c o o o o o o o o a = 4 cm b = 3 cm o o o o o o o o 20 a2 = 16 cm2 b2 = 9 cm2 o o o o

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o --- 4 o o o o a b c o o o o o o o o o a = 4 cm b = 3 cm o o o o o o o o 21 a2 = 16 cm2 b2 = 9 cm2 o o o o

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o --- 3 o o o a b c o o o o o o o o o o a = 4 cm b = 3 cm o o o o o o o o 22 a2 = 16 cm2 b2 = 9 cm2 o o o o

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o --- 2 o o a b c o o o o o o o o o o a = 4 cm b = 3 cm o o o o o o o o o 23 a2 = 16 cm2 b2 = 9 cm2 o o o o

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o --- 1 o a b c o o o o o o o o o o a = 4 cm b = 3 cm o o o o o o o o o o 24 a2 = 16 cm2 b2 = 9 cm2 o o o o

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o --- --- Es stimmt tatsächlich. Die Flächen der kleineren Quadrate passen genau in das große Quadrat. a b c o o o o o o o o o o a = 4 cm b = 3 cm o o o o o o o o o o 25 a2 = 16 cm2 b2 = 9 cm2 o o o o o

a2 b2 c2 a2 + b2 = c2 c2 - b2 = a2 c2 - a2 = b2 ... Das heißt: a b c In Worten: In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Quadrate über den Katheten inhaltsgleich dem Quadrat über der Hypothenuse. c2 - b2 = a2 c2 - a2 = b2 also auch ... und ...

Überlegung des Pythagoras 6 Wenn man durch Quadrieren den Flächeninhalt eines Quadrates berechnen kann, dann kann man durch Wurzelziehen aus dem Flächeninhalt die Länge einer Seite errechnen. Quadrieren: 3 · 3 = 9 Wurzelzeichen: 9 = 3 Wurzelziehen: Sprich: Wurzel aus 9 ist 3.

Voraussetzungen für die Anwendung Was brauchen wir? Merke: Ein rechtwinkliges Dreieck. Die Hypotenuse ist die längste Seite, sie liegt dem rechten Winkel gegenüber. Die kürzeren Katheten sind Schenkel des rechten Winkels. Dies benennen wir so: 90° Hypotenuse Kathete Kathete

Rechnerische Anwendung Aufgabe: Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind 5 cm und 12 cm lang. Wie lang ist die Hypotenuse? 1. Schritt: Skizze zeichnen Kathete Hypotenuse rechter Winkel Kathete

Rechnerische Anwendung Aufgabe: Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind 5 cm und 12 cm lang. Wie lang ist die Hypotenuse? 2. Schritt: Maße angeben Kathete Hypotenuse c = ??? cm a = 5 cm Kathete b = 12 cm

Rechnerische Anwendung Aufgabe: Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind 5 cm und 12 cm lang. Wie lang ist die Hypotenuse? 3. Schritt: In Formel einsetzen a2 + b2 = c2 52 + 122 = c2 Kathete Hypotenuse c = ??? cm a = 5 cm Kathete b = 12 cm

Rechnerische Anwendung Aufgabe: Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind 5 cm und 12 cm lang. Wie lang ist die Hypotenuse? 4. Schritt: Ausrechnen a2 + b2 = c2 52 + 122 = c2 Kathete Hypotenuse c = ??? cm 5·5 + 12·12 = c2 a = 5 cm 25 + 144 = c2 169 = c2 Kathete b = 12 cm

Rechnerische Anwendung Aufgabe: Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind 5 cm und 12 cm lang. Wie lang ist die Hypotenuse? 5. Schritt: Wurzelziehen a2 + b2 = c2 52 + 122 = c2 Kathete Hypotenuse c = ??? cm 5·5 + 12·12 = c2 a = 5 cm 25 + 144 = c2 169 = c2 Kathete b = 12 cm 13 = c

Rechnerische Anwendung Aufgabe: Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind 5 cm und 12 cm lang. Wie lang ist die Hypotenuse? 6. Schritt: Ergebnis feststellen a2 + b2 = c2 52 + 122 = c2 Kathete Hypotenuse c = ??? cm 5·5 + 12·12 = c2 a = 5 cm 25 + 144 = c2 169 = c2 Kathete b = 12 cm 13 = c Antwort: Die Hypotenuse ist 13 cm lang. Das war´s. Es folgen die Lernziele.