Gliederung Vertrauensintervalle Arten von Hypothesen Idee des Signifikanztests Fehler der 1. und 2. Art Signifikanzentscheidungen

Vertrauensintervalle Ein Schätzwert stimmt (trotz optimaler Schätzung) nur selten mit dem wahren Wert überein. Vertrauensintervalle beschreiben bei zufallsabhängigen Messungen den Bereich, in dem der wahre Wert mit einer vorgegebenen oder hinreichend hohen Wahrscheinlichkeit liegt. Üblich sind 95% oder 99% (95%ige oder 99%ige Vertrauensintervalle)

Konfidenzintervall des Populationsmittelwertes

Der Prozess der empirischen Forschung Fragen Wissenstand sichten Planung, Durchführung einer Untersuchung Auswerten Antworten

Arten von Hypothesen Zusammenhangshypothese Unterschiedshypothese Nullhypothese (H0) Alternativhypothese (H1) Gerichtete Hypothese (einseitige Hypothese) Ungerichtete Hypothese (zweiseitige Hypothese) Spezifische Hypothese Unspezifische Hypothese

Zusammenhangshypothese Unterschiedshypothese Arten von Hypothesen Zusammenhangshypothese Unterschiedshypothese H0 H1 einseitig =gerichtet zweiseitig =ungerichtet spezifisch unspezifisch

Arten von Hypothesen Zusammenhangshypothese Beispiel: Es gibt einen Zusammenhang zwischen dem Konsum von Alkohol und dem Reaktionsverhalten im Straßenverkehr.

Arten von Hypothesen Unterschiedshypothese Beispiel: Es gibt einen Unterschied zwischen dem Intelligenzquotienten von Männern und Frauen.

Arten von Hypothesen Nullhypothese (H0) Bei Zusammenhangshypothesen: Es gibt keinen Zusammenhang zwischen... Bei Unterschiedshypothesen: Es gibt keinen Unterschied zwischen...

Arten von Hypothesen Alternativhypothese (H1) Bei Zusammenhangshypothesen: Es gibt einen Zusammenhang zwischen... Bei Unterschiedshypothesen: Es gibt einen Unterschied zwischen...

Gerichtete Hypothesen Auch einseitige Hypothesen genannt Gibt die genaue Richtung der Zusammenhangs- bzw. Unterschiedshypothese an Beispiel: Alkoholkonsum verschlechtert die Reaktionszeit im Straßenverkehr bzw. Frauen haben durchschnittlich einen höheren IQ als Männer

Arten von Hypothesen Ungerichtete Hypothesen Auch zweiseitige Hypothesen genannt Lassen Unterschiede bzw. Hypothesen in zweierlei Richtungen zu Beispiel: Alkoholkonsum verändert die Reaktionszeit im Straßenverkehr (die Reaktionszeit könnte sich verschlechtern oder aber auch verbessern) bzw. Der IQ von Frauen unterscheidet sich von dem der Männer (auch hier sind zwei Richtungen möglich: Der IQ ist höher oder niedriger als der der Männer)

Idee des Signifikanztests Ziel: Wir wollen wissen, ob Unterschiede oder Zusammenhänge in der Stichprobe auch für die Population gelten. Problem: Wir können nie ganz sicher sein, dass sich Unterschiede oder Zusammenhänge in der Stichprobe nur zufällig ergeben haben. Lösung: Wir versuchen zu bestimmen, wie wahrscheinlich das gefundene Ergebnis (oder ein noch extremeres) durch Zufall zustande kommen kann. Wenn dies unwahrscheinlicher als eine vorher festgelegte „Schranke“ ist, sprechen wir von einem signifikanten Ergebnis.

Kernfrage der Signifikanzprüfung Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist mit dem gefundenen Ergebnis oder einem noch extremeren zu rechnen, wenn man davon ausgeht, dass die Nullhypothese (H0) zutrifft?

Signifikanzentscheidungen Die Bestimmung der „Wahrscheinlichkeit zufälligen Zustandekommens“ geschieht durch die Berechnung von Prüfgrößen.  Kennwerte für Zusammenhänge bzw. Unterschiede, die man aus der Kennwertverteilung kennt.

Beispiel - Aufgabe Messung des Angstniveaus von Angstpatienten auf eine Intervallskala von 0 bis 10. Mittelwert der unbehandelten Angstpatienten µ0 = 6 Streuung  = 1 Sei: µ1 = wahre Wert in der Population von behandelten Patienten Hypothese: H0: µ0=µ1 (Schranke = 5%) = 5.772 von 100 therapierten Patienten

Beispiel – Graphische Darstellung µ = 6 z = 2.88 z = -2.88

Fehler 1. und 2. Art Vier verschiedene Möglichkeiten: H1 trifft in der Stichprobe und der Population zu H1 trifft in der Stichprobe zu, in der Population bleibt allerdings die H0 bestehen. H0 trifft in der Stichprobe und der Population zu H0 trifft in der Stichprobe zu, in der Population allerdings ist die H1 anzunehmen

Schema statistischer Entscheidungen und möglicher Fehler In der Population gilt: H0 H1  Fehler 2. Art Fehler 1. Art Entscheidung aufgrund der Stichprobe

Fehler 1. und 2. Art Ergänzung: Fehler 1. Art nennt man auch α-Fehler (α-Fehler wird durch das Signifikanzniveau von vornherein festgelegt) Fehler 2. Art nennt man auch β-Fehler

β-Fehler Der β-Fehler hängt von der Größe der wahren Unterschiede ab. Dieser wird beeinflusst durch: Die Größe der Unterschiede oder Zusammenhänge in der Population (bei großen Unterschieden ist β klein, bei kleinen Unterschieden ist β groß). Die Größe der Streuung des Merkmals (eine große Merkmalsstreuung bedeutet einen großen Standardfehler der Prüfgröße und damit einen höheren β-Fehler. Die Größe der Stichprobe (mit zunehmender Stichprobengröße wird β kleiner, weil auch der Standardfehler mit wachsendem Stichprobenumfang kleiner wird.) Höhe des Signifikanzniveaus: Je kleiner α, desto größer β.

Einseitiges Testen -Fehler Verwerfungsbereich = Annahmebereich = Beibehaltung der H0 -Fehler Verwerfungsbereich = Annahme der H1