Modellierung und Schätzung von Variogrammen Vortrag im Rahmen des Seminars Extrapolationsmethoden für zufällige Felder, Universität Ulm Matthias Bühlmaier

Inhalt Motivation Grundlagen Isotrope Modelle Anisotropie Mathematische Eigenschaften Schätzer

1. Motivation Maß für den Unterschied zweier Werte:

Variogramm einer Stichprobe (Sample Variogram): Regionales Variogramm:

2. Grundlagen (,F,P) Wahrscheinlichkeitsraum. Zufälliges Feld: Z(·) intrinsisch stationär : (i) (ii) γ wird dann Variogramm genannt. Z(·) stationär zweiter Ordnung : (i) (ii) C wird dann Covariogramm genannt.

Correlogramm: Eigenschaften: 1) Z(·) stationär zweiter Ordnung  Z(·) intrinsisch stationär 2) (h)= (-h), (h)0, (0)=0 3) C(h)=C(-h), |C(h) |C(0)=Var(Z(s)) 4) Z(·) stat. 2. Ordnung  (h)=C(0)-C(h) 5) Z(·) intr. stat.,  beschränkt   Covariogramm C: (h)=C(0)-C(h) 6) 7)  ist eine bedingt negativ semidefinite Funktion 8) C ist eine positiv semidefinite Funktion

3. Isotrope Modelle Zu 7): Zu 8): isotrop : 3.1 Spärisches Modell Spärisches Covariogramm (r=|h|, a>0):

Für n=1,2,3 erhalten wir in der normalisierten Form das Dreiecks-, Kreis- und Spärische Modell: 3.2 Exponential-Modell (a>0):

4. Anisotropie 3.3 Gaussches Modell 3.4 Modell Siehe „fraktionale Brownsche Bewegung“ im Anhang. 4. Anisotropie anisotrop : (f isotrop) 4.1 Range und Sill

4.2 Geometrische Anisotropie Variogramm geometrisch anisotrop :  isotropesVariogramm , mm pos. def. Matrix Q mit Vorgehensweise: Hauptachesentransformation und anschließende Reskalierung. Erhalten dann für eine Matrix A. Bsp. (m=2): Hier ist A eine Drehungs- und Streckungsmatrix von der Form

4.3 Zonale Anisotropie: Def.: Das Variogramm hat ein kleineres Sill in einer bestimmten Richtung oder in mehreren Richtungen. Vorgehensweise (hier im ): Zerlegung von γ in , wobei isotrop und geometrisch anisotrop. 4.4 Andere Anisotropien:

5. Mathematische Eigenschaften 5.1 Stetigkeit Z(·) stetig im zweiten Mittel : Verhalten des Variogramms im Ursprung und Stetigkeitseigenschaften von Z(·): (i) γ stetig im Ursprung  Z(·) stetig im 2. Mittel (ii) für bzw. existiert nicht  Z(·) ist nicht stetig im zweiten Mittel und verhält sich hochgradig irregulär. Dieses Verhalten im Ursprung wird Nugget Effekt genannt.

(iii) (außer γ(0)=0 natürlich)  unkorreliert (insbes. auch dann, wenn klein). Z(·) wird dann oft als weißes Rauschen bezeichnet. Im Folgenden sei das Variogramm bis auf den Ursprung stetig. Dann gilt: Z(·) stetig im zweiten Mittel mit Variogramm γ  5.2 Definitheit G(h) in bedingt positiv definit :

C positiv definit  C ist ein Covariogramm γ bedingt negativ semidefinit  γ ist ein Variogramm Stabilitätseigenschaften: (i) Covariogramm ,  ist ein Covariogramm. (ii) C(h;t) Covariogramm tAR, μ pos. Maß auf A,  ist ein Covariogramm (iii) Covariogramme  Covariogramm

5.3 Spektrale Darstellung μ endliches Borel-Maß auf . Dann heißt Fourier-Transformierte von μ : Dann gilt: gleichmäßig stetig und positiv definit. Umgekehrt gilt (Satz von Bochner): stetig, pos. definit   endl. Borel-Maß μ mit f Daraus folgt: Für stetige gilt: C ist Variogramm  und F pos., beschränktes, symmetrisches Maß:

γ stetig und γ(0)=0. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent: (i) γ ist ein Variogramm (ii) ist ein Covariogramm  t>0 (iii) , wobei Q(h) eine pos. definite quadrat. Form , χ pos. Symmetrisches Maß mit keinem Atom im Ursprung, und 6. Schätzer In diesem Abschnitt setzen wir voraus, daß Z(·) intrinsisch stationär ist.

6.1 Schätzer von Matheron Glättung des Schätzers, falls Daten unregelmäßig verteilt: wobei T(h(l)) eine Toleranzregion in um h(l), l=1,...,k, und ave{·} ein gewichteter Durchschnitt über die Elemente in {·}. Dieser Schätzer ist erwartungstreu und konsistent, jedoch nicht robust.

6.2 Schätzer von Cressie-Hawkins B(h) ist eine Funktion, die den Bias korrigiert. Asymptotisch ist B(h)=0,457. Diese Schätzer sind robust, aber nicht erwartungstreu. Simulation  i.d.R. ist als Schätzer vor vorzuziehen

Anhang Fraktionale Brownsche Bewegung und Power-Modell

Def.: Ein Zufallsvektor ist n-dimensional normalverteilt mit Parametern , falls für gilt: Dann ist die symmetrische, positiv semidefinite Kovarianzmatrix, und X hat die Dichte Bezeichnung:

Def.: Sei X(·) ein stochastischer Prozeß. X(·) wird Gauß-Prozess genannt, falls jeder Zufallsvektor normalverteilt ist. Def.: ist eine Brownsche Bewegung, falls X(·) ein Gauß-Prozeß ist mit folgenden Eigenschaften: EX(t)=0 und Bem.: X(·) Brownsche Bewegung  Var(X(t))=t

Satz: Für jede symmetrische positiv definite Funktion existiert ein Gauß-Prozeß X(·) auf einem W-Raum (Ω, F, P) mit EX(t)=0 und Def.: Ein stochastischer Prozeß heißt fraktionale Brownsche Bewegung, falls X(·) ein Gauß-Prozeß ist mit EX(t)=0 und

Def.: X(t), heißt fraktionale Brownsche Bewegung (in ), falls X(·) ein Gauß-Feld ist mit EX(t)=0 und Dann ist und f.s., da EX(0)=0 und Var(X(0))=0

Zuwächse von X(·) sind im allgemeinen nicht unabhängig wie bei der Brownschen Bewegung, sondern nur stationär: haben für je endlich viele und die gleiche mehrdimensionale Verteilung. und Die Stationarität der Zuwächse rechtfertigt die Definition des Variogramms γ als