Boolesche Zufallsfunktionen

Präsentation zum Thema: "Boolesche Zufallsfunktionen"—  Präsentation transkript:

1 Boolesche Zufallsfunktionen
Florian Voß Seminar „Simulation und Bildanalyse in Java II“ Universität Ulm, Abteilungen SAI & Stochastik

2 Inhalt : Motivation Boolesche Zufallsmengen
Boolesche Zufallsfunktionen Spezialfälle Boolean Islands Rocky Deeps Literatur

3 1. Motivation Modellierung und Simulation von
Materialstrukturen durch Boolesche Zufallsmengen AAC-Schaum Aluminium-Schaum

4 1. Motivation Modellierung und Simulation von Oberflächen
durch Boolesche Zufallsfunktionen Bruchoberfläche von Glasfaser Bild von Elektronenmikroskop (Bsp. Boolean Islands) UO2-Pulver (Bsp. Rocky Deeps)

5 2. Zufällige Mengen Boolesche Zufallsmengen: Seien
{xi,iI} ein Poisson-Punktprozess von Keimen in Rd Ai unabhängige Kopien eines zufälligen Primärkorns A0, d.h. unabhängige identischverteilte zufällige Mengen in Rd Dann ist A=iI(xi + Ai) eine Boolesche Zufallsmenge (Boolesches Modell).

6 2. Zufällige Mengen Eine Realisierung eines Poisson-Prozesses von Keimen in R2 Eine Realisierung einer Booleschen Zufallsmenge in R2

7 2. Zufällige Mengen Eine Realisierung einer Booleschen Zufallsmenge in R3. Das Komplement kann z. B. einen Schaum modellieren.

8 3. Boolesche Zufallsfunktionen
Erweiterung der Booleschen Zufallsmenge um eine Dimension

9 3. Boolesche Zufallsfunktionen
Eine Realisierung von Boolean Islands Eine Realisierung von Rocky Deeps

10 3. Boolesche Zufallsfunktionen
Definition : Seien µn das Lebesgue-Maß auf Rn  ein -endliches Maß auf R I ein Poisson-Punktprozess in RnR mit Intensitätsmaß µn(dy)(dt), y  Rn, t  R. Somit ist die Intensität des Poisson-Prozesses „konstant“ in horizontalen t-Schnitten, daraus folgt horizontale Stationarität.

11 3. Boolesche Zufallsfunktionen
Sei {*(x, t) | *( . , t): Rn  R} eine Familie von unabhängigen oben halbstetigen Zufallsfunktionen mit Parameter t, sodass Xu:={x : *(x, t)  u}, -<u<+, f.s. kompakt sind.

12 3. Boolesche Zufallsfunktionen
Die Boolesche Zufallsfunktion  mit dem primären Korn *( . ,t) und Intensität (dt) ist dann wie folgt definiert : (x):=sup{*(y,t)(x,t) | (y,t)  I} Dabei werden Die Bezeichnung *(x,t) für Umbra und Funktion verwendet. *(y,t)(x,t) verstanden als Umbra von *(x,t) verschoben um (y,t) *(x, t) primäres Korn (zentriert im Ursprung) genannt.

13 3. Boolesche Zufallsfunktionen
Kapazitäts-Funktional : Sei B  Rn R eine kompakte Menge. Die Wahrscheinlichkeiten Q(B):=P(Bc), dass B die Umbra von  nicht schneidet, charakterisieren die Boolesche Funktion .

14 3. Boolesche Zufallsfunktionen
Für die Formel von Q(B) wird die Bildoperation Dilatation benötigt: AB:={a + b | a  A, b  B} Dilatation B der Umbra einer Funktion  mit dem Kreis B

15 3. Boolesche Zufallsfunktionen
Dann gilt: Dabei bezeichnet t die horizontale n-dimensionale Hyperebene in Höhe t. -B={(-x,-t)  RnR | (x,t)  B}

16 3. Boolesche Zufallsfunktionen
Boolesche Funktionen für den Fall =t1+t2 mit verschiedenen Primärkörnern für t = t1 und t = t2

17 3. Boolesche Zufallsfunktionen
Eindimensionale Verteilung : Sei B={(0,t)} und qt:=Q({(0,t)}) qt wird die Porosität des Schnittes von  in Höhe t genannt. Dann gilt:

18 3. Boolesche Zufallsfunktionen
Hieraus folgt außerdem: Der Erwartungswert hängt nicht von x ab, da  stationär ist.

19 3. Boolesche Zufallsfunktionen
Zweidimensionale Verteilung : Sei nun B={(0,t),(h,u)} Dann ist P((0) < t, (h) < u)=Q(B)=Q(h,t,u)=

20 3. Boolesche Zufallsfunktionen
Die Kovarianz C(h)=E[(0) (h)] – m² kann bestimmt werden durch :

21 3. Boolesche Zufallsfunktionen
Das Variogramm 1. Ordnung 1(h)=½E|(0) - (h)| kann bestimmt werden durch : Denn |(0)-(h)|= (0)+(h)-2inf{(0),(h)}.

22 3. Boolesche Zufallsfunktionen
Das Variogramm 2. Ordnung 2(h)=½E[((0) - (h))2] kann bestimmt werden durch : 2(h) =C(0) - C(h)

23 3. Boolesche Zufallsfunktionen
Teilbarkeit unter Vereinigung Sei {j}={*j, j(dt)} eine Familie von Booleschen Zufallsfunktionen nummeriert mit jJ, sodass Dann ist =sup{j, j  J} eine Boolesche Zufallsfunktion.

24 3. Boolesche Zufallsfunktionen
Sei  eine Boolesche Zufallsfunktion in RnR. Dann ist H eine Boolesche Zufallsfunktion für alle Hyperebenen HRn parallel zur t-Achse und eine Boolesche Zufallsmenge für H orthogonal zur t-Achse.

25 3. Boolesche Zufallsfunktionen
Jede Boolesche Zufallsfunktion  : Rn R ist unendlich teilbar unter dem sup, d.h. für jedes kN kann  geschrieben werden als : =sup{i,i{1,..,k}} wobei i k unabhängige identischverteilte Boolesche Zufallsfunktionen sind.

26 4.a) Spezialfälle: Boolean Islands
Definition: Spezialfall, bei dem (dt) ein Diracmaß im Ursprung ist, d.h. (dt)= 0(dt). Der Keim-Prozess I ist dann ein n-dimensionaler stationärer Poisson-Punktprozess in 0 mit Intensität . O.B.d.A. setzen wir *(x)0 f.s.

27 4.a) Spezialfälle: Boolean Islands
Simulation von Boolean Islands mit Kegeln als Primärkörner (Sicht von oben) Realisierung von Boolean Islands

28 4.a) Spezialfälle: Boolean Islands
Metallische Oberfläche modelliert durch Boolean Islands (mit Sicht von oben)

29 4.a) Spezialfälle: Boolean Islands
Kapazitäts-Funktional : Sei B eine kompakte Menge. Dann gilt: Falls B um den vertikalen Vektor (0,t) verschoben wird, d.h. Bt=B + (0,t), dann gilt :

30 4.a) Spezialfälle: Boolean Islands
Berechnung verschiedener Kenngrößen Um Eigenschaften wie z.B. den Erwartungswert des Volumens des primären Korns * zu berechnen, benötigt man folgende Formel :

31 4.a) Spezialfälle: Boolean Islands
Volumen vom Untergraph von * und seinem Träger: B={0} Sei nun B das vertikale Segment der Länge  dessen höchster Punkt der Ursprung ist.

32 4.a) Spezialfälle: Boolean Islands
Anzahl von Maximumstellen: Falls * f.s. nur eine Maximumstelle hat, dann gilt für die spezifische Anzahl von Maximumstellen z, d.h. die durchschnittliche Anzahl von Maximumstellen pro Einheitsvolumen im Rn : Dabei ist G(t) die Verteilungsfunktion der maximalen Höhe des primären Korns *

33 4.a) Spezialfälle: Boolean Islands
Konvexität für Boolean Islands: Um Parameter  schätzen zu können, benötigt man Annahmen über die Konvexität des Primärkorns. Außerdem kann dann die Oberfläche des Primärkorns berechnet werden.

34 4.a) Spezialfälle: Boolean Islands
Steiner-Formel: in R3 für die Einheitskugel B: in R2 für die Einheitskreisscheibe B:

35 4.a) Spezialfälle: Boolean Islands
Oberfläche von *: Sei der Rand der Umbra glatt genug, um ein Oberflächenmaß s(*) einführen zu können, im Halbraum RnR+. Sei B die Einheitskugel mit dem Mittelpunkt im Ursprung und sei * konvex , dann gilt:

36 4.a) Spezialfälle: Boolean Islands
Annahme über die Konvexität des Trägers von * Betrifft die Berechnung von . Falls  Boolean Islands ist, dann erfüllt Q(B) für die Einheitskugel B0 mit Zentrum in 0 die Gleichung: Für A=Supp(*) ergibt dies im R2 bzw. R3 ein Polynom vom Grad 2 bzw. 3 in  (Steiner-Formel)

37 4.a) Spezialfälle: Boolean Islands
Zum Beispiel über Methode der kleinsten Quadrate können die Koeffizienten bestimmt werden und so getestet werden, ob 0 Boolesche Zufallsmenge ist. Außerdem kann aus dem Wert des Koeffizienten höchsten Grades  geschätzt werden.

38 4.a) Spezialfälle: Boolean Islands
Annahme über die Konvexität der Schnitte: Durch das gleiche Vorgehen wie für den Träger kann getestet werden, ob alle horizontalen Schnitte t Boolesche Zufallsmengen sind. So erhält man eine starke Vermutung, dass  Boolesche Zufallsfunktion ist.

39 4.a) Spezialfälle: Boolean Islands
Falls der Schnitt in Höhe t eine Boolesche Zufallsmenge ist mit Intensität t, dann gilt : wobei G(t) die Verteilungsfunktion der maximalen Höhe von * ist. Hieraus kann G(t) geschätzt werden aus experimentellen Werten von t und .

40 4.a) Spezialfälle: Boolean Islands
Supremum von Boolean Islands : Sei {j,jJ} eine endliche Familie von Boolean Islands mit Keimen in Höhe tj. Dann ist :=supjJ{j} eine Boolean-Islands-Funktion mit Keimen in Höhe tmin=minjJ{tj}.

41 4.a) Spezialfälle: Boolean Islands
Supremum von 2 Boolean Islands mit Keimen in Höhe t1 bzw. t2

42 4.b) Spezialfälle: Rocky Deeps
Definition: (dt) = 0, falls t > (dt) = |dt|, falls t 0 * unabhängig von t, d.h. *(x, t) = *(x) für t 0.

43 4.b) Spezialfälle: Rocky Deeps
Eine Realisierung von Rocky Deeps

44 4.b) Spezialfälle: Rocky Deeps
Simulation von Rocky Deeps (hier das Komplement)

45 4.b) Spezialfälle: Rocky Deeps
Kapazitäts-Funktional: Sei Bh eine kompakte Menge verschoben um den Vektor (0,h). Dann gilt :

46 4.b) Spezialfälle: Rocky Deeps
Die Ableitung von logQ(Bh) nach h ist : Hieraus kann man die Boolesche Struktur testen und  schätzen bei konvexem Primärkorn (Steiner-Formel).

47 4.b) Spezialfälle: Rocky Deeps
Supremum von Rocky-Deeps-Funktionen: Sei {j,jJ} eine Familie von Rocky Deeps Funktionen mit Top-Level tj[tmin,tmax], wobei [tmin,tmax] ein endliches Intervall ist. Dann ist :=supjJ{j} eine Rocky Deeps Funktion.

48 5. Literatur J. Serra „Image Analysis and Mathematical Morphology “, Vol. 1 , 1982, Academic Press J. Serra „Image Analysis and Mathematical Morphology “, Vol. 2 , 1988, Academic Press (Kapitel 15) J. Serra „Boolean Random Functions“, Journal of Microscopy, Vol. 156, Pt 1, 1989, S J.M. Chautru „The Use of Boolean Random Functions in Geostatistics“, in M. Armstrong (ed.), Geostatistics, Vol. 1, 1989, Kluwer, S C. Lantuejoul „Geostatistical Simulation : Models and Algorithms“, 2002, Springer, S