Der Wiener Prozess und seltene Ereignisse Markus Seidler markus.seidler@chello.at

Inhalt Normal und rare events Wiener Prozess Poisson Prozess Charakteristik von normal bzw. rare events Erweiterung der SDE Momente

Gewöhnliches Ereignis (normal event) Betrachtungszeitraum h wird kleiner  Größe der Ereignisse wird kleiner Werden fast unbedeutend wenn h  0 aber Eintrittswahrscheinlichkeit wird nicht null

Seltenes Ereignis (rare event) In stetiger Zeit (h  0) Wahrscheinlichkeit  0 ABER Größe muss nicht kleiner werden

Kapitel 7 Asset Preis „Überraschunskomponente“ Varianz  Erwartete Größe Varianz proportional zu h Wahrscheinlichkeit (abhängig von h) x unabhängige Größe  SELTENES Ereignis Unabhängige Wahrscheinlichkeit x abhängiger Größe  GEWÖHNLICHES Ereignis

Modellieren von asset Preisen in stetiger Zeit Wiener Prozess (oder Brownsche Bewegung) Stetiger stochastischer Prozess Verwendung: Markt dominiert von gewöhnlichen Ereignissen und extreme Bewegungen sind selten (tail area – Normalverteilung) Poisson Prozess Unstetig Verwendung: systematische Sprünge verursacht durch seltene Ereignisse Kombination beider Modelle

Wiener Prozess Zufallsvariable kann sich nur stetig verändern Kleiner Zeitintervall h  kleine Änderungen von  Ereignisse gewöhnlich

Wiener Prozess ist ein quadratisch integrierbares Martingal mit = 0 und Die Abbildungen von sind stetig über t s ≤ t

Eigenschaften Wiener Prozess hat nicht korrelierende unvorhersehbare Zunahmen weil es ein Martingal ist hat Null Erwartungswert, weil es bei Null startet hat Varianz t Da Prozess stetig, gibt es in unendlich kleinen Intervallen, unendlich kleine Veränderungen

Poisson Prozess gesamte Anzahl an „extremen Schocks“ in einem Finanzmarkt sind die Veränderungen in während einer unendlichen kleinen Zeitperiode

Poisson Prozess Annahme: Rate der Erscheinungen während = ist der Prozess definiert als ist ein quadratisch integrierbares Martingal Dabei ist

Unterschiede Die Abbildungen sind unterschiedlich Stetige Graphen vs. Sprünge Die Wahrscheinlichkeit von Sprüngen wenn h  0, geht Richtung null. D.h. Abbildung ist weniger irregular. Obwohl es zu diskreten Sprüngen kommt es zu keiner unbegrenzten Variation im Gegensatz zum Wiener Prozess Deswegen ist die Definierung des Integrals auch einfacher.

Charakteristik seltener und normaler Ereignisse Kapitel 7: SDE Annahme: nur eine endliche Zahl

Varianz von Da endliche Nummer an Werten 

sind lineare Funktionen von h deswegen Linke Seite proportional zu h Jeder Term der Summe ist proportional zu h deswegen wobei c > 0 ist und einen Faktor der Proportion darstellt sind lineare Funktionen von h deswegen Laut Merton spezielle exponentiale Formen Wobei r und q nicht negative Konstanten sind und w und p in Abhängigkeit von i oder k, jedoch nicht von h.

mit folgenden Einschränkungen für und Varianz: bzw. Das bedeutet: und mit folgenden Einschränkungen für und Deswegen zwei Arten von Ereignissen: Gewöhnliche: Seltene:

Normal Event Annahme: = 0,5 Größe wird kleiner, wenn h kleiner wird Wahrscheinlichkeit bleibt konstant

Smoothness („Glätte“) Eine Funktion ist „glatt“, wenn sie sich nicht abrupt verändert. f(x) ist „glatt“, wenn im Punkt die ratio endlich bleibt, trotz kleiner werdenden h. Mit = 0,5 D.h. Intervall h wird kleiner, W verändert sich unendlich  Asset Preise verhalten sich STETIG, aber unregelmäßig.

Rare Event Mit = 0 und = 1 Wahrscheinlichkeit verschwindet wenn h  0 Während die Größe konstant bleibt Die Abbildung beinhaltet Sprünge, die nicht kleiner werden.

Modelle für rare events SDE wenn h kleiner wird Rare event fehlt Verwendung von Poisson Prozess mit Modifikationen (Konstante Rate von Ereignisse, Erwartungswert ungleich null,..) Die Zunahmen haben Erwartungswert 0 Multipliziert man mit einer zeitabhängigen Konstante wie wird die Größe der Sprünge auch zeitabhängig. Ergebnis:

SDE für normale und seltene Events wenn h kleiner wird

Momente Momente sind verschiedene Erwartungen des zugrunde liegenden Prozesses 1. Ordnung: Erwartungswert 2. Ordnung: Varianz (Darstellung der Volatilität) 3. Ordnung: zeigt die Schräge der Verteilung 4. Ordnung: Ausmaß der „heavy tails“

Momente Bei Prozessen mit normalen Ereignissen, kann man höhere Ordnung (ab zwei) vernachlässigen. Da sie von h abhängig sind, konvergieren sie zu null bei h  0. Bei seltenen Ereignissen können sie nützliche Informationen liefern, da die Momente unabhängig von h sind.

Zusammenfassung „Große“ Events, die selten vorkommen Erwartete Veränderung Reguläre Ereignisse mit bedeutungsloser Größe Die Kombination von Wiener und Poisson Prozess kann all die Störungen darstellen, die einen Finanzmarkt beeinflussen