Prof. Dr. Walter Kiel Fachhochschule Ansbach IT-Kompaktkurs: Wirtschaftsmathematik (Folge 9) Lineare Algebra (2) Matrizen und Vektoren Prof. Dr. Walter Kiel Fachhochschule Ansbach

Matrix

Umsatz-Matrix

Bezeichnungen für Matrizen A Amn (aij) (aij)mn

Vektoren Spaltenvektor Zeilenvektor

Nullmatrix

Einheitsmatrix

Symmetrische Matrix

Transposition

Gleichheit von Matrizen bei typgleichen Matrizen: aij = bij für alle i und j Beispiel: A = B

Größer-Gleich-Relation bei typgleichen Matrizen aij  bij für alle i und j Beispiel: A  B

Ungleichheit bei typgleichen Matrizen Beispiel: A  B

Addition/Subtraktion typgleiche Matrizen aij  bij = cij für alle i und j A  B = C Beispiel:

Gesetze zu Addition/Subtraktion von Matrizen A+B=B+A (Kommutativgesetz) A-B=-B+A (Kommutativgesetz) (A+B)+C=A+(B+C) (Assoziativgesetz) (A+B)'=A'+B' (Transposition) A±N=A (Nullmatrix) Monotoniegesetze: Aus A=B folgt A±C=B±C Aus AB folgt A±CB±C

Multiplikation Matrix mit Skalar c  aij = bij für alle i und j c  A = B Beispiel:

Gesetze zu Multiplikation Skalar mit Matrix c  A = A  c (Kommutativgesetz) c1c2A=c1(c2  A) (Assoziativgesetz) c(A±B)=cA ± cB (1. Distributivgesetz) (c1±c2)A=c1A±c2A (2. Distributivgesetz)

Multiplikation zwischen Matrizen: Verkettete Matrizen Amn  Bnp = Cmp

Matrix-Multiplikation mit dem Falkschen Schema A22  B23 = C23 3 2 2 -1 5 1 4 0 1 2 0 3 1x2+2x1 1x(-1)+2x4 1x5+2x0 4 7 5 0x2+3x1 0x(-1)+3x4 0x5+3x0 3 12 0

Gesetze zur Multiplikation zwischen Matrizen A(BC)= (AB) C (Assoziativgesetz) A(B+C)=AB+AC (Distributivgesetz) (A+B)C=AC+BC k(AB)=(kA)B=A(kB) aber: (i.A.): ABBA (keine Kommutativität) AB + CA  A(B+C) und: Aus A  B = A  C folgt nicht: B = C

Matrix-Multiplikation Ökonomische Anwendung Beispiel: Zwei Produktionsstufen

LGS als Matrix-Gleichung a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2 : : : : an1 x1 + an2 x2 + ... + ann xn = bn Ann xn1 = bn1

Auflösung Matrix-Gleichung Gewöhnliches Rechnen ax = b a-1 * a x = a-1 * b x = a-1 * b Lineare Algebra mit Matrizen-Gleichung Inverse suchen, für die gilt: A-1 * A = E Auflösung: Ax = b A-1 * A x = A-1 * b E  x = A-1 * b x = A-1 * b

Matrix-Inversion: Ausgangsmatrix A (hier 2x2) wird um die passende Einheitsmatrix erweitert zu (A|E)

Matrix-Inversion: Zeilen-Transformationen Vertauschen zweier Zeilen Multiplikation aller Elemente einer Zeile mit einer reellen Zahl ungleich Null Addition einer Zeile zu einer anderen Zeile Von links her Einheitsvektoren erzeugen mit dem Ziel: (E|A-1)

Matrix-Inversion Beispiel: Ausgangsmatrix A wird erweitert zu (A|E)

Matrix-Inversion Beispiel: Zeilenoperationen 0,5xZ2 + Z1

Matrix-Inversion Beispiel: Zeilenoperationen Z1 - 3 x Z2

Matrix-Inversion Beispiel: Inverse isolieren

Matrix-Inversion Beispiel: Probe A-1  A = E