Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 24.11.2006 1 Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I) Vorlesung am 24.11.2006 Fr. 08:30-10:00 Uhr; R. 1603 (Hörsaal)

Präsentation zum Thema: "Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 24.11.2006 1 Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I) Vorlesung am 24.11.2006 Fr. 08:30-10:00 Uhr; R. 1603 (Hörsaal)"—  Präsentation transkript:

1 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 24.11.2006 1 Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I) Vorlesung am 24.11.2006 Fr. 08:30-10:00 Uhr; R. 1603 (Hörsaal) Universität Kassel (UNIK) FB 16 Elektrotechnik / Informatik FG Fahrzeugsysteme und Grundlagen der Elektrotechnik (FG FSG) FG Theoretische Elektrotechnik (FG TET) Büro: Wilhelmshöher Allee 71, Raum 2113 / 2115 D-34121 Kassel Dr.-Ing. René Marklein E-Mail: marklein@uni-kassel.demarklein@uni-kassel.de Tel.: 0561 804 6426; Fax: 0561 804 6489 URL: http://www.tet.e-technik.uni-kassel.dehttp://www.tet.e-technik.uni-kassel.de URL: http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.htmlhttp://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html

2 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 24.11.2006 2 2.7 Stern-Dreieck-Transformation Allgemein möglich: Umwandlung von Vieleckschaltungen: Polygone in Sterne und umgekehrt Bild 2.70. Vierersterin und Viereck aus Ohmschen Widerständen (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 79, 2005])

3 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 24.11.2006 3 2.7 Stern-Dreieck-Transformation Praktische Bedeutung hat Umwandlung Dreieck/Dreierstern: mit der Abkürzung Bild 2.71. (Dreier-)Stern und Dreieck-Schaltung (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 80, 2005]) Zum Beispiel, gleiches Verhalten zwischen den Klemmen 1 und 2 fordert: (rechts) (links) (2.88a) (2.88b) (2.88c) (2.88d)

4 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 24.11.2006 4 2.7.1 Umwandlung Dreieck in Stern (2.90a) Einsetzen in Gl. (2.88a): (2.90b) Gl. (2.88a) in Gl. (2.88c) einsetzen: (2.90c) Die Linearkombination Gl. (2.88a) + Gl. (2.88c) – Gl. (2.88b):

5 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 24.11.2006 5 2.7.1 Umwandlung Dreieck in Stern Allgemein formuliert: (2.90a) (2.90b) (2.90c)

6 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 24.11.2006 6 2.7.2 Umwandlung Stern in Dreieck (2.91b) (2.91c) Linke Seiten von Gl. (2.91a) und Gl. (291.b) gleichsetzen: Ebenso Gl. (2.91b) mit Gl. (2.91.c): Aus den Gln. (2.90a)-(2.90c) (jeweils Nenner rechts mit linker Seite vertauschen): (2.91a) (2.92) (2.93) Gl. (2.92) und Gl. (2.93) in Gl. (2.91a) einsetzen: (2.94)

7 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 24.11.2006 7 2.7.2 Umwandlung Stern in Dreieck (2.96) Allgemein formuliert: (2.94) (2.95)

8 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 24.11.2006 8 2.7.2 Umwandlung Stern in Dreieck Gl. (2.96) in Leitwertform: (2.97a) (2.97b) (2.97c) Allgemein formuliert: (2.96)

9 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 24.11.2006 9 2.7.1/2 Umwandlung Dreieck in Stern und Stern in Dreieck (2.90a) (2.90b) (2.90c) (2.97a) (2.97b) (2.97c)

10 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 24.11.2006 10 2.7.3 Vor- und Nachteile der Netzumwandlung 3 Maschen 7 Knoten Umwandlung sinnvoll, wenn neue Topologie leichter berechenbar, sich z.B. einfache Reihen- und Parallelschaltung durch die Umwandlung ergibt. Nachteil: verschiedene Ströme (hier I 1, I 2, I 4 ) nicht mehr direkt zugänglich! Bild 2.72. Netzumwandlung (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 82, 2005]) 4 Maschen 6 Knoten + + Bild 2.73. Dreieck-Stern-Transformation eines einfachen Netzes (Reduktion von 3 auf 2 Maschen) (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 83, 2005])

11 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 24.11.2006 11 Beispiel 2.25: Berechnung des Eingangswiderstandes einer Brückenschaltung Lösung: Gegeben: Bild 2.74. Unabgeglichene Brücke (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 83, 2005]) Bild 2.75. Brückenschaltung nach Dreieck-Stern-Transformation (vgl. Clausert & Wiesemann Bd. I, S. 84, 2005]) Dreieck-Stern- Transformation

12 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 24.11.2006 12 Beispiel 2.25: Berechnung des Eingangswiderstandes einer Brückenschaltung Zusammenfassung der unteren vier Widerstände: Gesamtwiderstand aus Reihenschaltung: Bild 2.75. Brückenschaltung nach Dreieck- Stern-Transformation (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 84, 2005]) (2.98)

13 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 24.11.2006 13 Bild 2.76. Netz mit drei Maschen und einer Spannungsquelle (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 84, 2005]) 2.8 Umlauf- und Knotenanalyse linearer Netze 2.8.1 Bestimmungsgleichungen für Ströme und Spannungen in einem Netz; lineare Abhängigkeit Zusammenhang Spannung/Strom über Ohmsches Gesetz: Kirchhoffsche Knotengleichungen für Knoten K A bis K D : (2.101a) (2.101b) (2.101c) (2.101d) ( K D ist auch die Summe von K A + K B + K C, also linear abhängig! ) KA:KB:KC:KD:KA:KB:KC:KD: (2.100a) (2.100f) Definition: (Maschen) Maschen M sind Umläufe, die im Innern keine Zweige enthalten.

14 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 24.11.2006 14 Bild 2.76. Netz mit drei Maschen und einer Spannungsquelle (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 84, 2005]) 2.8.1 Bestimmungsgleichungen für Ströme und Spannungen in einem Netz; lineare Abhängigkeit Kirchhoffsche Knotengleichungen für die k = 4 Knoten A bis D : (2.101a) (2.101b) (2.101c) (2.101d) In einem Netz mit K Knoten können K - 1 linear unabhängige Knotengleichungen aufgestellt werden. In diesem Netzwerk mit K = 4 Knoten können K - 1 = 3 linear unabhängige Knotengleichungen aufgestellt werden. Im allgemeinen gilt: KA:KB:KC:KD:KA:KB:KC:KD: ( K D ist auch die Summe von K A + K B + K C, also linear abhängig! )

15 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 24.11.2006 15 2.8.1 Bestimmungsgleichungen für Ströme und Spannungen in einem Netz; lineare Abhängigkeit Knotengleichung aber auch möglich für größere Teile des Netzes: Zweig A - B als Knoten: Bild 2.77. Großknoten in dem Netz aus Bild 2.76 (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 85, 2005]) Zweig A - B als Knoten Umgestellt gilt zu- fließend ab fließend

16 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 24.11.2006 16 2.8.1 Bestimmungsgleichungen für Ströme und Spannungen in einem Netz; lineare Abhängigkeit Knotengleichung aber auch möglich für größere Teile des Netzes: Zweig A-C als Knoten K AC : Zweig A-D als Knoten K AD : Zweig B-C als Knoten K BC : Zweig B-D als Knoten K BD : Zweig C-D als Knoten K CD : Zweig A-B-C als Knoten K ABC : usw. In einem Netz mit K Knoten können K - 1 linear unabhängige Knotengleichungen aufgestellt werden. Analog folgen: Im allgemeinen gilt: Bild 2.76. Netz mit drei Maschen und einer Spannungsquelle (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 84, 2005])

17 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 24.11.2006 17 2.8.1 Bestimmungsgleichungen für Ströme und Spannungen in einem Netz; lineare Abhängigkeit Umlaufgleichung auf die drei Maschen M 4, M 5, M 6 : Andere Möglichkeit: Umlauf A-B-C-D-A d.h. Umlauf 7 ( ): In einem Netz mit M Maschen können M linear unabhängige Maschengleichungen aufgestellt werden. (2.102d) (2.102a) (2.102b) (2.102c) M 4 : M 5 : M 6 : linear abhängig, da Addition von Gl. (2.102a) und Gl. (2.102b) die Gl. (2.102d) ergibt! Im allgemeinen gilt: Bild 2.76. Netz mit drei Maschen und einer Spannungsquelle (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 84, 2005]) In diesem Netzwerk mit M = 3 Maschen können M = 3 linear unabhängige Maschengleichungen aufgestellt werden. U 7 :

18 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 24.11.2006 18 2.8.1 Bestimmungsgleichungen für Ströme und Spannungen in einem Netz; lineare Abhängigkeit Für das Beispiel Bild 2.76 existieren 12 linear unabhängige Gleichungen: 3 Maschengleichungen für M = 3 Maschen 6 Strom-/Spannungsbeziehungen zur Bestimmung der 12 unbekannten Ströme und Spannungen. (2.101a) (2.101b) (2.101c) 3 = K - 1 Knotengleichungen für K = 4 Knoten führen auf (2.102a) (2.102b) (2.102c) (2.100a). (2.100f) Bild 2.76. Netz mit drei Maschen und einer Spannungsquelle (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 84, 2005]) Masche M 4 : Masche M 5 : Masche M 6 : Knoten K A : Knoten K B : Knoten K C :

19 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 24.11.2006 19 2.8.1 Bestimmungsgleichungen für Ströme und Spannungen in einem Netz; lineare Abhängigkeit Vorgehen: Spannungen in den Gln. (2.102a)-(2.102c) durch Ströme über das Ohmsche Gesetz, die letzten 6 Gleichungen, ersetzen Elimination von der drei Srröme über die drei Knotengleichungen (2.101a), (2.101b) und (2.101c): Nach Umsortierung ergeben sich die drei folgenden Gleichungen (2.102a) (2.102b) (2.102c) (2.100a). (2.100f) (2.101a) (2.101b) (2.101c)

20 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 24.11.2006 20 2.8.1 Bestimmungsgleichungen für Ströme und Spannungen in einem Netz; lineare Abhängigkeit Die letzten drei Gleichungen können dann in die folgende Matrixform gebracht werden (2.104d) Nach dem Ausmultiplizieren der einzelnen Termin und dem Sortieren der einzelnen Ströme folgt (2.104a) (2.104b) (2.104c) algebraische Matrixgleichung

21 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 24.11.2006 21 2.8.1 Bestimmungsgleichungen für Ströme und Spannungen in einem Netz; lineare Abhängigkeit (2.104d) Algebraische Matrixgleichung

22 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 24.11.2006 22 2.8.1 Bestimmungsgleichungen für Ströme und Spannungen in einem Netz; lineare Abhängigkeit Lösung der Matrixgleichung mit Hilfe der Cramerschen Regel und Determinantenrechnung (2.104d) Gesucht ist die Lösung der allgemeinen 3x3-Matrixgleichung Inverse Matrix Lösungswege: 1.Berechnung der inversen Matrix über die Bestimmung der Adjungierten und der Determinante 2.Cramersche Regel / Determinantenrechnung / Regel von Saurrus/ Laplacescher Entwicklungssatz 3.Gaußscher Eliminationsverfahren (Gaußscher Algorithmus )

23 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 24.11.2006 23 2.8.1 Bestimmungsgleichungen für Ströme und Spannungen in einem Netz; lineare Abhängigkeit Gesucht ist die Lösung der allgemeinen 3x3-Matrixgleichung über die Determinantenrechnung und die Cramerschen Regel Gabriel Cramer (* 31. Juli 1704 in Genf, Schweiz, 4. Januar 1752 in Bagnols-sur-Cèze, Frankreich) war ein Schweizer Mathematiker. Lösung der Matrixgleichung über die Cramersche Regel unter der Bedingung

24 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 24.11.2006 24 Beispiel 2.26: Ströme in einem dreimaschigen Netz mit Spannungsquelle Netzwerk nach Bild 2.76 mit obigen Gln. Zahlenwerte in die Gleichungen (2.104a)-(2.104c) einsetzen Lösung: Bild 2.76. Netz mit drei Maschen und einer Spannungsquelle (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 84, 2005])

25 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 24.11.2006 25 Beispiel 2.26: Ströme in einem dreimaschigen Netz mit Spannungsquelle ((c)*4+(b)): Jetzt 2 Gln. mit 2 Unbekannten, 3 * Gl. (2.106b) + Gl. (2.106a) Rückwärts einsetzen. mit Gl. (2.106a) folgt Aus (2.105a): (2.106b) (2.106a) (2.106b) und dann I 5 eliminieren (Gl. (2.105a)*8 + Gl. (2.105b)): (2.106a) Einheiten kürzen, d.h. alle Gleichungen durch Ω teilen: (2.105a) (2.105b) (2.105c)

26 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 24.11.2006 26 Beispiel 2.26: Ströme in einem dreimaschigen Netz mit Spannungsquelle Jetzt in die Knotengleichungen (2.101a)-(2.101c) einsetzen: (2.101a) (2.101b) (2.101c) Bild 2.76. Netz mit drei Maschen und einer Spannungsquelle (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 84, 2005])

27 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 24.11.2006 27 Beispiel 2.26: Ströme in einem dreimaschigen Netz mit Spannungsquelle Zahlenwerte in die Gleichungen (2.104a)-(2.104c) einsetzen Lösung gilt für die Lösung mit Hilfe der Cramerschen und Sarrusschen Regel: mit Die unbekannten Ströme I 4, I 5 und I 6 folgenden über

28 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 24.11.2006 28 Beispiel 2.26: Ströme in einem dreimaschigen Netz mit Spannungsquelle Determinante einer 3x3-Matrix -> Regel von Sarrus 1.und 2. Spaltenvektor zur Hilfe rechts anfügen (+) (+) (+) (-) (-) (-)

29 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 24.11.2006 29 Beispiel 2.26: Ströme in einem dreimaschigen Netz mit Spannungsquelle Determinante einer 3x3-Matrix -> Regel von Sarrus (+) (+) (+) (-) (-) (-)

30 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 24.11.2006 30 Beispiel 2.26: Ströme in einem dreimaschigen Netz mit Spannungsquelle

31 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 24.11.2006 31 Beispiel 2.26: Ströme in einem dreimaschigen Netz mit Spannungsquelle

32 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 24.11.2006 32 Beispiel 2.26: Ströme in einem dreimaschigen Netz mit Spannungsquelle

33 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 24.11.2006 33 Beispiel 2.26: Ströme in einem dreimaschigen Netz mit Spannungsquelle Jetzt in die Knotengleichungen (2.101a)-(2.101c) einsetzen: (2.101a) (2.101b) (2.101c) Bild 2.76. Netz mit drei Maschen und einer Spannungsquelle (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 84, 2005])

34 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 24.11.2006 34 Ende der Vorlesung