Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen

Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen
Beispiel 1 Ein Angestellter kostet Euro Lohn/Monat Wie hoch sind die Lohnkosten für 5 Angestellte? ==> 5 · Euro = Euro Lineare Zusammenhänge sind in der Wirtschaft sehr häufig anzutreffen.

Beispiel 2 Für die Produktion eines Bauteiles muß eine Maschine 36 Sekunden laufen. Wie lange ist die Laufzeit bei der Produktion von 1000 Bauteilen? ==> · 36 Sekunden = Sekunden = 10 Stunden Oder - etwas komplizierter: Wieviel Bauteile können auf 10 Maschinen in 8 Arbeitsstunden produziert werden? 10 (Maschinen)·8 (Stunden/Maschine)· 3600 (Sekunden/Stunde) 36 (Sekunden/Bauteil) = 8000 (Bauteile)

Matrizen: Einführendes Beispiel Gegeben sei der folgende Sachverhalt: Ein Betrieb produziert 3 Produkte P1, P2 und P3 auf 2 Maschinen M1 und M2. Produkt P1 muss 1 h auf Maschine M1 und 2 h auf Maschine M2 laufen. Produkt P2 muss 3 h auf Maschine M1 und 1 h auf Maschine M2 laufen. Produkt P3 muss 1,5 h auf Maschine M1 und nicht auf Maschine M2 laufen. Aufgabe: Schreiben Sie diesen Sachverhalt übersichtlich auf!

Matrizen: Einführendes Beispiel Ein Betrieb produziert 3 Produkte P1, P2 und P3 auf 2 Maschinen M1 und M2. Die Laufzeiten (in Stunden) entnehme man folgender Tabelle:

Matrizen: Einführendes Beispiel Die Maschinenlaufzeiten sind also in einer Tabelle zusam-mengefasst. Entfernt man die Beschriftung, so sieht die Tabelle wie folgt aus: Ein solches, rechteckiges Zahlenschema nennen wir in der Mathematik eine Matrix. Es wird dabei etwas anders hingeschrieben.

Matrizen: Einführendes Beispiel Wenn wir mit Matrizen in der Anwendung hantieren, dürfen wir die Herkunft (die “Beschriftung”) nicht vergessen, da sie uns angibt, was die Zahlen in der Matrix zu bedeuten haben. Eine Matrix ohne Interpretation ist nichtssagend!

Matrizen: Einführendes Beispiel Jeder Spalte steht für eine Maschine! (Es gibt 2 Maschinen) Die Einträge geben die Maschinenlaufzeiten der Produkte an! Jeder Zeile steht für ein Produkt! (Es gibt 3 Produkte)

Wichtige Eigenschaften einer Matrix Spaltenanzahl (hier 2) Wertebereich der Einträge (auch Koeffizienten genannt) (hier: nicht-negative Zahlen) Zeilenanzahl (hier 3)

Definition einer Matrix Das rechteckige Zahlenschema heißt Matrix mit m Zeilen und n Spalten, oder m × n Matrix (Mehrzahl: Matrizen) Die Zahlen in dem Schema heißen Einträge, Elemente oder Koeffizienten der Matrix.

Beispiele für Matrizen ist eine 3 ×5 Matrix mit nicht-negativen, ganzen Zahlen ist eine 1 × 4 Matrix mit positiven, ganzen Zahlen ist eine 1 × 1 Matrix

Spezielle Matrizen: Vektoren Definition: Eine Matrix mit nur einer Zeile oder Spalte wird auch Vektor genannt. ist ein Spaltenvektor mit 4 Komponenten (0, ,1 -2) ist ein Zeilenvektor mit 5 Komponenten

Beispiele Der Wertebereich der Einträge ist wichtig und sollte stets im Auge behalten werden! Beispiel 1 Die folgende Matrix gebe für 2 Abteilungen einer Firma an, wieviel Arbeiter, Angestellte und Manager dort beschäftigt sind: Arbeiter Angestellte Manager Abteilung 1 Abteilung 2 Die Einträge der Matrix müssen positive, ganze Zahlen sein! Es gibt weder halbe, noch negative Arbeiter!

Beispiele Der Wertebereich der Einträge ist wichtig und sollte stets im Auge behalten werden! Beispiel 2 Die folgende Matrix gebe für 2 Produkte einer Firma an, wie diese prozentual aus 3 Rohstoffen zusammengesetzt sind Rohstoff 1 Rohstoff 2 Rohstoff 3 Produkt 1 Produkt 2 Die Einträge der Matrix müssen Prozentwerte zwischen 0% und 100% sein! Ein Produkt kann nicht aus 150% eines Rohstoffs bestehen.

Beispiele Der Wertebereich der Einträge ist wichtig und sollte stets im Auge behalten werden! Beispiel 3 Die folgende Matrix gebe für 2 Firmen, wieviel Gewinn oder Verlust sie in drei Geschäftsjahren gemacht haben (in Mio. DM): 1994 1995 1996 Firma 1 Firma 2 Die Einträge der Matrix sind beliebige reelle Zahlen, positiv oder negativ! Verluste/Gewinne können beliebige Werte annehmen!

Besondere Matrizen Die Einheitsmatrix Definition 3 Eine quadratische Matrix, in der alle Einträge auf der Hauptdiagonale Eins sind und alle anderen Einträge Null, heißt Einheitsmatrix

Besondere Matrizen Die Diagonalmatrix Definition 4 Eine Matrix, in der alle Einträge außer der Hauptdiagonale Null sind, heißt Diagonalmatrix

Besondere Matrizen Die Nullmatrix Definition 5 Eine Matrix, in der alle Einträge Null sind, heißt Nullmatrix.

Besondere Matrizen Drei Automobilfirmen werden von 6 Zulieferern mit Bauteilen beliefert. Die folgende Matrix gibt an, wieviel die Autofirmen an die Zulieferer pro Quartal zahlen: Autofirma 1 Autofirma 2 Autofirma 3 Zulieferer 1 2 3 4 5 6 Frage: Wie sieht die Matrix aus, die beschreibt, wieviel die Zulieferfirmen von den Autofirmen erhalten? “Autofirma 1 zahlt pro Quartal 120 TDM an Zulieferer 5” “Zulieferer 5 erhält pro Quartal 120 TDM von Autofirma 1”

Besondere Matrizen Die Matrix aus Sicht der Autofirmen (“Wieviel zahlen wir an die Zulieferer?”) Autofirma 1 Autofirma 2 Autofirma 3 Zulieferer 1 2 3 4 5 6

Besondere Matrizen Die Matrix aus Sicht der Zulieferer (“Wieviel bekommen wir von den Autofirmen?”) Zulieferer 1 Zulieferer 2 Zulieferer 3 Zulieferer 4 Zulieferer 5 Zulieferer 6 Autofirma 1 2 3

Besondere Matrizen Autofirma 1 Autofirma 2 Autofirma 3 Zulieferer 1 2 3 4 5 6 Die Matrix wird durch “Kippen” zu folgender Matrix:

Besondere Matrizen Zulieferer 1 Zulieferer 2 Zulieferer 3 Zulieferer 4 Zulieferer 5 Zulieferer 6 Autofirma 1 2 3 “Aus Zeilen werden Spalten, aus Spalten werden Zeilen.”

Besondere Matrizen Die transponierte Matrix Definition Die Matrix, die entsteht, wenn wir in einer gegebenen Matrix A die Zeilen als Spalten (bzw. die Spalten als Zeilen) schreiben, heißt die transponierte Matrix AT. Beispiel Wie sieht die Transponierte der folgenden Matrix aus?

Besondere Matrizen Die transponierte Matrix Frage: Was erhält man, wenn man AT transponiert? Feststellung Für alle Matrizen A gilt: (AT)T = A (Zweifaches Transponieren liefert die Ausgangsmatrix)

Besondere Matrizen Die transponierte Matrix Frage: Wie sieht die Transponierte der folgenden Matrix aus? Man sieht: Es gilt A = AT Definition Ist eine Matrix A gleich ihrer transponierten Matrix AT , so heißt A eine symmetrische Matrix Feststellung Nur quadratische Matrizen können symmetrisch sein.

Erste Zusammenfassung Um Zusammenhänge zwischen Komponenten übersichtlich aufzuschreiben, eignen sich Tabellen besonders gut. Beispiele dafür sind: - Laufzeiten von Produkten auf Maschinen - Lieferkosten von Anbietern zu Abnehmern - Entfernungen zwischen Produktionsstätten - Zusammensetzung von Produkten aus Rohstoffen - Kosten für verschiedene Posten in Abteilungen - usw.

Erste Zusammenfassung Produkte setzen sich auf Rohstoffen zusammen: Eine Firma stellt 3 Produkte her: Gummibärchen, Schokolade und Hustenbonbons. In der folgenden Tabelle ist angegeben, wie sich die Produkte prozentual aus den Rohstoffen Zucker, Fett, Gelatine und Zusatzstoffen zusammensetzen:

Erste Zusammenfassung Die mathematische “Modellierung” einer Tabelle ist die Matrix (Plural: Matrizen) Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema, die Zahlen in der Matrix heißen Einträge Matrizen werden beschrieben durch: - Anzahl Zeilen - Anzahl Spalten - Art der Einträge (reelle Zahlen, ganze Zahlen, positive Zahlen, etc.) Matrizen mit nur einer Zeile bzw. Spalte heißen auch Zeilenvektoren bzw. Spaltenvektoren.

Erste Zusammenfassung Die Einträge werden durch ihre Zeilen- und Spaltennummer identifiziert (auch Zeilen- und Spaltenindex genannt) Die Einträge mit gleichen Zeilen- und Spaltenindex bilden die Hauptdiagonale einer Matrix Spezielle Matrizenformen sind: - Quadratische Matrizen - Diagonalmatrizen - Einheitsmatrix - Nullmatrizen

Addieren und Subtrahieren 3 Betriebe beliefern 4 Abnehmer mit jeweils dem gleichen Produkt. Die Lieferungen im ersten Halbjahr (in t) seien in der folgenden Matrix L1 gegeben: Die Lieferungen im zweiten Halbjahr seien in der Matrix L2 gegeben:

Addieren und Subtrahieren Frage: Wieviel lieferten die Betriebe im ganzen Jahr? + Lieferungen im 2. Halbjahr Lieferungen im 1. Halbjahr

Addieren und Subtrahieren Frage: Wieviel lieferten die Betriebe im ganzen Jahr? Lieferungen im 2. Halbjahr Lieferungen im 1. Halbjahr Lieferungen im ganzen Jahr!

Addieren und Subtrahieren Frage: Wieviel lieferten die Betriebe im ganzen Jahr? Lieferungen im ganzen Jahr! Die Matrix LG, die die Lieferungen für das ganze Jahr beschreibt, ist genauso groß, wie die Matrizen L1 und L2, die die Halbjahres-lieferungen beschreiben (alles 3 x 4 Matrizen). Die Einträge von LG ergeben sich als Summen der entsprechenden Einträge in L1 und L2.

Addieren und Subtrahieren 2 Lagerstätten lagern 3 Produkte. Der Lagerbestand zu Beginn des Monats (in Produktionseinheiten) sei durch die Matrix MA gegeben: Der Lagerbestand am Ende des Monats sei durch ME gegeben: Frage: Wieviel wurde im Laufe des Monats von den Lagerstätten ausgeliefert?

Addieren und Subtrahieren Bestand am Monatsende Bestand am Monatsanfang Im Monat ausgelieferter Bestand?

Addieren und Subtrahieren Bestand am Monatsende Bestand am Monatsanfang Im Monat ausge-lieferter Bestand Die Matrix ML ist genauso groß, wie die Matrizen MA und ME (alles 2 x 3 Matrizen). Die Einträge von ML ergeben sich als Differenzen der entsprechenden Einträge in MA und ME. Man schreibt: ML = MA - ME

Addieren und Subtrahieren 2 Lagerstätten lagern 3 Produkte. Der Lagerbestand zu Beginn des Monats (in Produktionseinheiten) sei durch die Matrix MA gegeben: Der Lagerbestand für die Produkte 1 und 2 am Ende des Monats sei durch ME gegeben:

Addieren und Subtrahieren Frage: Können wir berechnen, wieviel von den Lagerstätten im Laufe des Monats ausgeliefert wurde? Genauer: Können wir berechnen, wieviel Lagerstätte 1 von Produkt 3 ausgeliefert hat? ==> Nein! Frage: Warum nicht? Antwort: In Matrix ME fehlen die Angaben für das Produkt 3 ! Allgemeiner: Die Matrizen MA und ME sind nicht gleich groß! MA ist eine 2 x 3 Matrix, ME ist eine 2 x 2 Matrix! Feststellung Matrizen unterschiedlicher Größe können nicht addiert oder subtrahiert werden!

Addieren und Subtrahieren Definition 1 Seien A und B Matrizen mit m Zeilen und n Spalten: Dann definiert sich die Summe A+B von A und B als

Addieren und Subtrahieren Definition 2 Seien A und B Matrizen mit m Zeilen und n Spalten: Dann definiert sich die Differenz A-B von A und B als

Zusammenfassung Rechnen mit Matrizen Matrizen gleicher Größe (mit gleicher Zeilen- und Spaltenanzahl) können addiert werden. Man addiert Matrizen, indem man die Einträge komponentenweise addiert. Für die Matrizenaddition gilt das Kommutativgesetz: A + B = B + A (Summanden dürfen vertauscht werden) Für die Matrizenaddition gilt das Assoziativgesetz: (A + B) + C = A + (B + C) (Klammerung darf vertauscht werden) Addition der Nullmatrix N verändert eine Matrix nicht: A + N = N + A = A (Die Nullmatrix ist „neutral“.) Subtraktion ist nur ein Spezialfall der Addition

Multipliaktion einer Matrix mit einer Zahl Die folgende Matrix M gebe die monatlichen Budgets zweier Tochter-firmen für die Posten Personal, Sachmittel und Verbrauch (in TDM) an: Aufgabe: Wie hoch sind die Budgets pro Quartal? Lösung: Das Quartal hat 3 Monate, also sind die Quartalsbudgets dreimal so hoch, wie die monatlichen Budgets. (Klar!) = 3 ·M = 3 M

Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl Sei A eine beliebige mxn Matrix und sei x eine beliebige Zahl. Werden alle Einträge von A mit x multipliziert, so sprechen wir von der Multiplikation der Matrix A mit dem Skalar x. Wir schreiben dafür xA:

Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl Feststellung 1 Jede Matrix kann - unabhängig von ihrer Größe - mit einem Skalar (einer Zahl) multipliziert werden. Feststellung 2 Bei der Multiplikation mit einem Skalar (einer Zahl) ist es egal, ob von links oder von rechts multipliziert wird. Für eine Matrix A und eine Zahl x gilt stets: x A = A x (Kommutativgesetz)

Zusammenfassung Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl (Skalar) Eine Matrix A beliebiger Größe kann stets mit einer Zahl x (einem Skalar) multipliziert werden. Man schreibt x A Man multipliziert Matrizen mit einem Skalar, indem man die Einträge komponentenweise mit dem Skalar multipliziert. Es gilt das Kommutativgesetz: x A = A x (Matrix und Skalar dürfen vertauscht werden) Es gilt das Assoziativgesetz: (x y) A = x (y A) (Klammerung darf vertauscht werden) Es gilt das Distributivgesetz: x (A+B) = xA+ xB (Man darf ausmultiplizieren/ ausklammern) Multiplikation mit 0 ergibt die Nullmatrix Multiplikation mit 1 ergibt die Ausgangsmatrix: 1 A = A Multiplikation mit -1 negiert die Einträge: (-1 A) = -A (Subtraktion ist nur ein Spezialfall der Addition)

Multiplikation von Matrizen Modell Regalsystem 2A 4A 6A Korpus Türen Modellmatrix Einlegeböden Schubladensätze Ein Auftrag zur Lieferung der verschiedenen Schrankmodelle ist zu bearbeiten Modell 2A 20 Stück Modell 4A 40 Stück Modell 6A 70 Stück Aufgabe: Berechnen Sie, wie viele Schrankelemente jeweils hergestellt werden müssen

Multiplikation von Matrizen Modell 2A 20 Stück Modell 4A 40 Stück Modell 6A 70 Stück Regalsystem Korpus *20+1*40+1*70 = 130 Türen *20+1*40+2*70 = 180 Einlegeböden *20+3*40+6*70 = 600 Schubladensätze 1*20+0*40+0*60 = 20 Beachte: Die Multiplikation einer Matrix A mit einem Vektor ist nur möglich, wenn die Anzahl der Spalten von A mit der Anzahl der Koordinaten von übereinstimmt

Multiplikation von Matrizen Regalsystem Unter Verwendung der Modellmatrix A sollen folgende Kundenaufträge bearbeitet werden. Modellmatrix Kunde X Kunde Y Modell 2A 10 40 Modell 4A 20 Modell 6A 50 Auftragsmatrix

Multiplikation von Matrizen Definition: Ist A = (aij) eine l x m – Matrix und B = (bjk) eine m x n – Matrix, so ist das Produkt A  B = C = (cik) eine l x n – Matrix. Jedes Element cik der Produktmatrix C = (cik) berechnet man als Skalarprodukt des i-ten Zeilenvektors der Matrix A mit dem k-ten Spaltenvektor der Matrix B. Die Produktmatrix C = A  B Ist eine l x n Matrix B m x n-Matrix c23 = a21b13+a22b23+..+a2mbm3 A l x m -Matrix

Multiplikation von Matrizen Achtung: Man kann zu zwei Matrizen A und B nur das Produkt A  B bilden, wenn die Anzahl der Spalten des ersten Faktors A mit der Anzahl der Zeilen des zweiten Faktors B übereinstimmt. Zur Durchführung der Multiplikation lese man die Matrix A zeilenweise und die Matrix B spaltenweise. Die Elemente des Produkts erhält man als Skalarprodukt der Zeilenvektoren von A mit den Spaltenvektoren von B.

Matrizen in Mathematica Matrizen werden in Mathematica als Listen dargestellt: Matrix1={{1,3,4},{4,5,7},{3,4,5}} Matrix2={{4,2,3},{1,2,0},{1,9,4}} Dieses stellt jeweils eine 3x3 – Matrix dar. Um zwei Matrizen zu addieren, gibt man folgenden Befehl ein: Matrix1+Matrix2 Man erhält als Darstellung wieder die Listendarstellung. Möchte man das Ergebnis in der gewohnten Matrixschreibweise erhalten, so genügt folgender Zusatz: Matrix1+Matrix2//MatrixForm

Matrizen in Mathematica Um zwei Matrizen zu multiziplizieren, gibt man folgenden Befehl ein: Matrix1.Matrix2 (Dieses ist der einfache Punkt) Man erhält als Darstellung wieder die Listendarstellung. Möchte man das Ergebnis in der gewohnten Matrixschreibweise erhalten, so genügt folgender Zusatz: Matrix1.Matrix2//MatrixForm

Matrizen in Mathematica Um die inverse Matriz zu bestimmen, gibt es den Befehl: Inverse[Matrix1]//MatrixForm

Die Basis eines Vektorraumes Wir betrachten den zweidimensionalen Vektorraum über dem Körper der reellen Zahlen. Jeder Vektor kann als Linearkombination zweier sog. Basisvektoren dargestellt werden. Die Basisvektoren müssen linear unabhängig sein. Die Anzahl der Basisvektoren hängt von der Dimension ab. Im zweidimensionalen Vektorraum benötigt man 2 Vektoren, im dreidimensionalen sind es dagegen 3. Die Menge der Basisvektoren nennt man Basis Besonders einfache Basisvektoren sind im R2 die folgenden: Diese Basis nennt man auch die kanonische Basis.

Die Basis eines Vektorraumes Wie sieht nun die Basisdarstellung eines bestimmten Vektors bzgl. der kanonischen Basis aus? Folgender Vektor liegt vor: Die Linearkombination bzgl. der kanonischen Basis sieht dann wie folgt aus: Wie man jetzt leicht nachvollziehen kann, sieht die Darstellung eines beliebigen Vektors bzgl. der kanonischen Basis wie folgt aus

Lineare Abbildungen Definition: f sei eine Abbildung von Vektoren, dann heißt diese Abbildung linear, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind: 1. 2.

Lineare Abbildungen Spiegelung an der x-Achse P(4/3)  P‘(4/-3) oder allgemein P(x/y)  P‘(x/-y) Die Matrix dazu lautet:

Lineare Abbildungen Die Matrix dazu lautet: Spiegelung an der y-Achse P(4/3)  P‘(-4/3) oder allgemein P(x/y)  P‘(-x/y)

Lineare Abbildungen Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden P(4/2)  P‘(2/4) oder allgemein P(x/y)  P‘(y/x) Die Matrix dazu lautet:

Lineare Abbildungen Drehung um 90o P(3/2)  P‘(-2/3) oder allgemein P(x/y)  P‘(-y/x) Die Matrix dazu lautet:

Lineare Abbildungen Drehung um 180o P(3/2)  P‘(-3/-2) oder allgemein P(x/y)  P‘(-x/-y) Die Matrix dazu lautet:

Lineare Abbildungen Drehung um einen beliebigen Winkel  P(x/y)  P‘(x‘/y‘) Um die Rechnung zu vereinfachen, bezeichnet man den Winkel zwischen der x-Achse und dem Vektor zum Punkt P mit ,  sei der Winkel zwischen dem Vektor p und p‘. Weiterhin bezeichnen wir die Abstände der Punkte P und P‘ vom Ursprung mit r. Man erhält dann für die Koor-dinaten x und y des Punktes P: x = r  cos  und y = r sin  Für die Koordinaten x‘ und y‘ des Punktes P‘: x‘ = r  cos ( + ) und y‘ = r  sin ( + )

Lineare Abbildungen x = r  cos  und y = r sin  x‘ = r  cos ( + ) und y‘ = r  sin ( + ) Mit Hilfe der Additionstheoreme für sin und cos kann man die Beziehungen für x‘ und y‘ vereinfachen. Dieses sind: 1.cos (+) = cos  cos  - sin  sin  2.sin (+) = cos  sin  + sin  cos  x‘ = r  cos( + ) = r cos  cos  - r sin  sin  = x cos  - y sin  y‘ = r  sin( + ) = r cos  sin  + r sin  cos  = x sin  + y cos 

Lineare Abbildungen Drehung um einen beliebigen Winkel alpha P(x/y)  P‘(x‘/y‘) x‘ = r  cos( + ) = r cos  cos  - r sin  sin  = x cos  - y sin  y‘ = r  sin( + ) = r cos  sin  + r sin  cos  = x sin  + y cos  Damit ergibt sich die folgende Rotationsmatrix (Drehung um den Ursprung mit einem beliebigen Winkel)

Lineare Abbildungen Drehung um einen beliebigen Winkel alpha P(x/y)  P‘(x‘/y‘) Wie man jetzt leicht nachvollziehen kann, sieht die Darstellung eines beliebigen Vektors bzgl. der kanonischen Basis wie folgt aus

Lineare Abbildungen Drehung um einen beliebigen Winkel alpha P(x/y)  P‘(x‘/y‘) Die Matrix dazu lautet:

Lineare Abbildungen Scherung Unter einer Scherung versteht man eine Abbildung, bei der der Flächeninhalt erhalten bleibt. Bei einer Scherung bleibt eine Gerade der Ebene fix (unverändert), das heißt, jeder Punkt dieser Geraden wird auf sich abgebildet. Alle anderen Punkte der Ebene werden parallel zur Achse verschoben Bei einer Scherung bleibt also der Abstand jedes Punktes zur Achse unverändert. Damit werden Rechtecke und Dreiecke, bei denen eine Seite parallel zur Achse ist, auf Parallelogramme bzw. Dreiecke abgebildet, die (auf diese Seite) eine gleich lange Höhe haben

Lineare Abbildungen Matrix zur Scherung an der x-Achse Scherung Bei einer Scherung muss berücksichtigt werden, dass die Scherachse festgelegt werden muss. In der rechten Abbildung ist es die x-Achse. Man sieht, dass die Achse des Dreiecks, die mit der x-Achse zusammenfällt, nicht verändert wird.

Lineare Abbildungen Matrix zur Scherung an der x-Achse Scherung an der x-Achse Eine Dreiecksseite ist jetzt parallel zur x-Achse. Bei der Scherung bleibt diese Seite parallel zur ursprün-glichen Dreiecksseite, ist aber nach rechts verscho-ben. Berechnung der neuen Koordinaten des Bildpunktes

Lineare Abbildungen Matrix zur Scherung an der x-Achse Scherung an der x-Achse Keine Dreiecksseite ist jetzt parallel zur x-Achse. Man sieht, dass der Punkt auf der Scherachse bei der Abbildung erhalten bleibt. Die anderen Punkte haben weiterhin denselben Abstand von der Scherachse.

Lineare Abbildungen Matrix zur Scherung an der x-Achse Scherung an der x-Achse Keine Dreiecksseite ist jetzt parallel zur x-Achse. Weiterhin liegt kein Punkt des Dreiecks auf der Scherachse. Berechnung der neuen Koordinaten des Bildpunktes

Matrix zur Scherung an der y-Achse Lineare Abbildungen Scherung an der y-Achse Eine Dreiecksseite liegt auf der y-Achse. Ergebnisse entsprechend zur Scherung an der x-Achse Berechnung der neuen Koordinaten des Bildpunktes

Matrix zur Scherung an der y-Achse Lineare Abbildungen Scherung an der y-Achse Keine Dreiecksseite ist jetzt parallel zur y-Achse. Weiterhin liegt kein Punkt des Dreiecks auf der Scherachse. Die Eckpunkt haben denselben Abstand zur y-Achse. Berechnung der neuen Koordinaten des Bildpunktes

Lineare Abbildungen Scherung an der x- u. y-Achse Das Dreieck hat die Eckpunkte: A(1/5), B(3/1) und C(5/3) Es ist ein Unterschied, ob erst die y-Scherung und dann die x-Scherung oder erst die x-Scherung und dann die y-Scherung durchgeführt wird. Die Matrizenmultiplikation ist i. Allg. nicht kommutativ. Die beiden Scherungen sind:

Lineare Abbildungen Scherung an der x- u. y-Achse Das Dreieck hat die Eckpunkte: A(1/5), B(3/1) und C(5/3) Lila: Ausgangsdreieck Rot: Erst die x- dann die y-Scherung Grün. Erst die y- dann die x-Scherung

Lineare Abbildungen Skalierung Bei der Skalierung werden die Abmessungen des Objekts (geo-metrische Transformation) bzw. die Skaleneinteilung der Koordina-tenachsen (Koordinatentransformation) vergrößert (Skalierungsfak-toren größer als 1) bzw. verkleinert. Die Skalierung bezieht sich immer auf einen zu definierenden Punkt, der dann selbst seine Lage nicht, während alle anderen Punkte ihren Abstand vom Bezugspunkt vergrößern oder verkleinern. Bei der geometrischen Skalierung bezüglich des Nullpunktes mit den Skalierungsfaktoren Sx und Sy (jeweils in Richtung der Koordinatenachsen) berechnet sich die Lage des neuen Punktes mit Hilfe der Matrix

Lineare Abbildungen Skalierung in x-Richtung Berechnung der neuen Koordinaten des Bildpunktes

Lineare Abbildungen Skalierung in y-Richtung Berechnung der neuen Koordinaten des Bildpunktes

Lineare Abbildungen Skalierung in x- und y-Richtung Berechnung der neuen Koordinaten des Bildpunktes

Lineare Abbildungen Verschiebung in x- und y-Richtung Das Dreieck hat die Eckpunkte: A(1/5), B(3/1) und C(5/3) Das Dreieck soll in x-Rich-tung um 3 Einheiten und in y-Richtung um 4 Einheiten verschoben werden Berechnung der neuen Koor-dinaten des Bildpunktes A

Lineare Abbildungen im R3 Spiegelung an der xz-Ebene Die Matrix dazu lautet:

Lineare Abbildungen im R3 Spiegelung an der yz-Ebene Die Matrix dazu lautet:

Lineare Abbildungen im R3 Spiegelung an der xy-Ebene Die Matrix dazu lautet:

Lineare Abbildungen im R3 Spiegelungen an den Koordinaten-Ebenen

Lineare Abbildungen im R3 Drehung um die x-Achse Die Matrix dazu lautet:

Lineare Abbildungen im R3 Drehung um die y-Achse Die Matrix dazu lautet:

Lineare Abbildungen im R3 Drehung um die z-Achse Die Matrix dazu lautet:

Lineare Abbildungen im R3 Drehungen um die Koordinaten-Achsen

Lineare Abbildungen im R3 Skalierung Die Matrix dazu lautet: In x-Richtung: Faktor 2.5 In y-Richtung: Faktor 2 In z-Richtung: Faktor 1.5

Lineare Abbildungen im R3 Scherung in x-Richtung Die Matrix dazu lautet:

Lineare Abbildungen im R3 Scherung in y-Richtung Die Matrix dazu lautet:

Homogene Koordinaten Transformationen Problem: Keine einheitliche Beschreibung der Transformationen Wie sieht die Hintereinanderausführung der Transformationen aus? Alle Operationen lassen sich durch 4x4-Matrizen (bzw. 3x3-Matrizen) darstellen. Erweiterung des Vektorraumes. 3D  4D (bzw. 2D  3D)

Homogene Koordinaten Übersicht über die Transformationen Verschiebung Vektoraddition Skalierung Skalare Multipliaktion Spiegelung Rotation Matrixoperation Scherung

Homogene Koordinaten Verschiebung Alle Transformationen bis auf die Verschiebung können mit Hilfe einer 2x2-Matrix durchgeführt werden. Bei der Verschiebung erfüllt die Abbildung eine 2x1-Matrix (bzw. ein Spaltenvektor) und diese wird noch addiert. Beispiel: Der Punkt P(2/3)soll um 3-Einheiten in x-Richtung verschoben werden. Dies erfüllt folgende Rechnung: Der neue Punkt hat also die Koordinaten: P‘(5/3)

Homogene Koordinaten Verschiebung Um alle Transformationen mit derselben Rechenoperation durchführen zu können, müsste die Methode, mit der man die Translation einbindet, geändert werden. Die Translation müsste also durch eine Matrix mit der gleichen Anzahl von Zeilen und Spalten wie die anderen Transformationsmatrizen dargestellt werden. Ein Ausweg bzw. Lösung sind die sog. homogenen Koordinaten. In der Tat lassen sich nun die Translationen gleichwertig mit allen anderen affinen Abb. als Produkte "Matrix mal Vektor„ berechnen.

Homogene Koordinaten Einbettung des 2D in homogene Koordinaten Mit Hilfe dieser Matrix kann ein Punkt sowohl in x-Richtung (Vx) als auch in y-Richtung(Vy) verschoben werden

Homogene Koordinaten Einbettung des 2D in homogene Koordinaten Beispiel: Der Punkt P(2/3) soll um 3 Einheiten in x- und 4 Ein-heiten in y-Richtung verschoben werden. Die Verschiebungsmatrix ergibt sich zu: Die Rechnung sieht dann wie folgt aus: Der Punkt ist demnach: P‘(5/7)

Homogene Koordinaten Einbettung des 2D in homogene Koordinaten Verschiebungsmatrix Skalierungsmatrix Rotationsmatrix

Homogene Koordinaten Einbettung des 3D in homogene Koordinaten

Verschiebung Verschiebung in x- und y-Richtung

Verschiebungsmatrix Ein Punkt kann durch Matrixmultiplikation verschoben werden

Verknüpfung von linearen Abbildungen Verschiebung dann Rotation Rot -> Blau -> Grün

Verknüpfung von linearen Abbildungen Rotation dann Verschiebung Rot -> Blau -> Grün

Verknüpfung von linearen Abbildungen Da die Matrixmulti-plikation nicht kommutativ ist, ist die Reihenfolge der Transformationen wichtig

Zusammenfassung – affine Transformationen Geradlinigkeit, Parallelität, Teileverhältnis bleiben erhalten Orientierung bleibt erhalten Längentreu Winkeltreu Translation Ja ja Rotation Spiegelung Nein Skalierung Scherung nein

Aufgabe Dreieck mit A(1/1), B(3/2), C(2/4) 1.Drehung um 90o 2.Verschiebung um 2 EH in x-Richtung, um -3,5 EH in y-Richtung 1.Verschiebung um 2 EH in x-Richtung, um -3,5 EH in y-Richtung 2.Drehung um 90o Führen Sie die beiden Aufgaben in zwei verschiedenen Koordinaten-kreuzen hintereinander aus Wie lautet jeweils die Transformationsmatrix für beide Abbildungen?

Aufgabe Dreieck mit A(1/1/-1), B(3/2/1), C(2/4/-2) 1.Drehung um 90o um die z-Achse 2.Verschiebung um 2 EH in x-Richtung, um -3,5 EH in y-Richtung und 3 EH in z-Richtung 1.Verschiebung um 2 EH in x-Richtung, um -3,5 EH in y-Richtung und 3 EH in z-Richtung 2.Drehung um 90o um die z-Achse Führen Sie die beiden Aufgaben in zwei verschiedenen Koordinaten-kreuzen hintereinander aus Wie lautet jeweils die Transformationsmatrix für beide Abbildungen?

Aufgabe Dreieck mit A(1/1/0), B(3/2/0), C(2/4/0)

Spiegelung an der Geraden y= a x 1. Betrachte die Gerade y = a x als x‘-Achse eines neuen rechtwinkligen Koordinatensystems (x‘,y‘), das gegenüber (x,y) um den Winkel  gedreht ist. 2. Spiegelung an der x‘-Achse des neuen Koordinatensystems. 3. Darstellung des gespiegelten Punktes im alten Koordinatensystem (x,y). Wir benötigen also drei Matrizen zur Darstellung der einzelnen linearen Abbildungen. 1.Drehung um   T 2. Spiegelung Ts 3. Drehung zurück um -  T - Insgesamt also: T = T Ts T - 

Spiegelung an der Geraden y= a x T = =

Hausaufgabe 1 Spiegelung der Punkte A(3/1), B(5/2) und C(4/3) an der Geraden mit der Gleichung y = 1/2 x Mit Hilfe dieser Matrix ergeben sich folgende Bildpunkte A(3;1)  A‘(2.6 ; 1.8) B(5/2)  B‘(4.6 ; 2.8) C(4/3)  B‘(4.8 ; 1.4)

Hausaufgabe 1 Spiegelung der Punkte A(3/1), B(5/2) und C(4/3) an der Geraden mit der Gleichung y = 1/2 x

Hausaufgabe 2 Spiegelung der Punkte A(3/1), B(5/2) und C(4/3) an der Geraden mit der Gleichung y = -2 x Mit Hilfe dieser Matrix ergeben sich folgende Bildpunkte A(3;1)  A‘(-13/5 ; -9/5) B(5/2)  B‘(-23/5 ; -14/5) C(4/3)  B‘(-24/5 ; -7/5)

Hausaufgabe 2 Spiegelung der Punkte A(3/1), B(5/2) und C(4/3) an der Geraden mit der Gleichung y = -2 x

Spiegelung an der Geraden y= m x T = =

Spiegelung an der Geraden y= m x Bezug zur Steigung m der Geraden y = m x (es gilt: tan  = m ) Damit ergibt sich für die Matrix:

Spiegelung an einer Geraden durch den Ursprung mit der Gleichung Die Matrix lautet:

Spiegelung an einer Ebene durch den Ursprung mit der Gleichung Die Matrix lautet:

Die Zentralprojektion Der Effekt bei der Zentralprojektion ist dem des menschlichen Auges sehr ähnlich. Abgebildete Objekte werden proportional zu ihrer Entfernung von der Bildebene verkleinert, d.h. entfernt liegende Körper erscheinen kleiner als näherliegende. Eigenschaften Parallele Geraden werden, falls sie nicht parallel zur Bildebene verlaufen, nicht auf parallele Geraden abgebildet, sondern laufen in einem Fluchtpunkt zusammen. Winkel zwischen zwei Geraden werden nur dann beibehalten, wenn die durch die Geraden definierte Ebene parallel zur Bildebene liegt. Entfernungen zwischen verschiedenen Punkten werden in der Abbildung unterschiedlich verzerrt.

Die Zentralprojektion Beispiel: Zentralprojektion eines achsenparallelen Würfels der Kantenlänge 2, zentriert um die z-Achse im Abstand 4 vom Ursprung auf eine Bildebene im Abstand d = 2. A(-1/-1/-4) B(1/-1/-4) C(1/1/-4) D(-1/1/-4) E(-1/-1/-6) F(1/-1/-6) G(1/1/-6) H(-1/1/-6)

Die Zentralprojektion

Tabellen – Trigonometrische Funktionen
Sin 1 Cos Tan 

Sin 1 Cos -1 Tan 

Sin -1 Cos Tan 1 

Sin -1 Cos 1 Tan 

Aufgaben Matrizenmultiplikation
Wir fragen uns, wieviel Arbeit das Multiplizieren von Matrizen macht. Betrachten Sie die beiden 4x4 Matrizen M und N. Wieviel Multiplikationen und wieviel Additionen von Zahlen muss man durchführen, um einen Zeilenvektor von M mit einem Spaltenvektor von N zu multiplizieren? Wieviel Produkte aus Zeilen- und Spaltenvektor muss man durchführen, um das Matrixprodukt aus M und N zu berechnen? Schließen Sie aus (a) und (b), wieviel elementare Rechenoperationen (also Additionen und Multiplikationen von Zahlen) man benötigt, um das Matrixprodukt aus M und N zu berechnen! Überlegen Sie sich in der gleichen Weise, wieviel Rechenoperationen man benötigt, um das Produkt von zwei 5x5 Matrizen und zwei 100x100 Matrizen zu berechnen. Überschlagen Sie, wieviel Rechenoperationen man benötigt, um das Produkt von zwei nxn Matrizen zu berechnen. Jemand kündigt an, zwei 100x100 Matrizen von Hand miteinander multiplizieren zu wollen. Als flinker Kopfrechner benötigt er 2 Sekunden pro Rechenoperation. Wie lange braucht er in etwa für diese Aufgabe, wenn man annimmt, daß er täglich 10 Stunden arbeiten kann?

Aufgaben Matrizenmultiplikation - Lösung
a) Es sind jeweils 4 Additonen und 4 Multiplikationen b) c)16*4 = 64 Additionen und 16*4=64 Multiplikationen d) 5x5-Matrix: 25*5=125 Additionen und 25*5=125 Multiplikationen 100x100-Matrix: 100*100*100 = Additionen und Multipliaktionen e) Es sind n3 Additionen bzw. Multiplikationen Die Zeit beträgt: 2* /2 = s  277 h. Die Person benötigt ungefähr 277 h, das ergibt ca. 28 Tage.

Seien A und E die 4x4 Einheitsmatrix gegeben. a)Berechnen Sie die Matrixprodukte AE und EA b)Sei E24 die Matrix, die sich ergibt, wenn Sie in der Einheitsmatrix die zweite und vierte Zeile vertauschen. Berechnen Sie AE24 und E24A. c)Sei E23 die Matrix, die sich ergibt, wenn Sie in der Einheitsmatrix die zweite und dritte Zeile vertauschen. Berechnen Sie AE23 und E23A. d)Sei E14 die Matrix, die sich ergibt, wenn Sie in der Einheitsmatrix die erste und vierte Zeile vertauschen. Berechnen Sie AE14 und E14A. e)Fassen Sie Ihre Berechnungen aus (a)-(e) in einer Vermutung zusammen.

Aufgaben Matrizenmultiplikation b) c) d)

Ein Landwirt düngt seine 3 Felder viermal im Jahr mit 4 verschiedenen Düngemitteln. Im ersten Quartal gibt er von Düngemittel A 10dz auf Feld 1, 20dz auf Feld 2 und 5dz auf Feld 3. Im zweiten Quartal gibt er von Düngemittel B 8dz auf Feld 1, 12dz auf Feld 2 und 2dz auf Feld 3. Im dritten Quartal gibt er von Düngemittel C 2dz auf Feld 1, 4dz auf Feld 2 und 0dz auf Feld 3. Im vierten Quartal gibt er von Düngemittel D 6dz auf Feld 1, 0dz auf Feld 2 und 1dz auf Feld 3. (Bemerkung: dz = 1 Doppelzentner = 100kg) Die Düngemittel des Landwirts bestehen aus den Wirkstoffen Phosphor (P), Kalium (K) und Stickstoff (N). Die Düngemittel seien dabei wie folgt zusammengesetzt: Mittel A besteht aus 30% P, 20% K und 50% N, Mittel B besteht aus 10% P, 20% K und 70% N, Mittel C besteht aus 40% P, 10% K und 50% N und Mittel D besteht aus 30% P, 30% K und 40% N.

a)Schreiben Sie den obigen Sachverhalt mit Hilfe von Matrizen übersichtlich auf. Vergessen Sie dabei nicht, anzugeben, wofür Zeilen, Spalten und Einträge der Matrizen stehen b)Aus Umweltschutzgründen darf der Landwirt pro Jahr nur eine bestimmte Menge an Stickstoff auf seine Felder geben. c)Überlegen Sie sich, wie man berechnen kann, wieviel Stickstoff im ganzen Jahr jeweils auf die 3 Felder gegeben wurde. Berechnen Sie für jedes Feld, wieviel dz jedes Wirkstoffs im ganzen Jahr auf das Feld gegeben wurden. Benutzen Sie dabei Ihr Wissen über Produktionsmatrizen!

Aufgaben Matrizenmultiplikation A B C D Feld 1 10 8 2 6 Feld 2 20 12 4
Feld 3 5 1 P K N A 30% 20% 50% B 10% 70% C 40% D

Aufgaben Matrizenmultiplikation b) Man berechnet:
35*50%+22*70%+6*50%+7*40% = 46 dz c) Die Zeilen stehen für die unterschiedlichen Felder, die Spalten für P, K und N. Also: Auf Feld 1 wurden 6,4 dz Phosphor aufgebracht

Aufgaben Abbildungen durch Matrizen
1.Aufgabe: ( Seite 204 A.6) Gegeben ist die Ebene E mit 1*x – 2*y + 0*z = 0. a) Bestimmen Sie die Schnittgerade g der Ebene E mit der xy-Ebene. b) Bestimmen Sie die zur Spiegelung an E gehörende Abbildungsmatrix. c) Bestimmen Sie die 3x3-Matrix, die die Spiegelung an g in der xy-Ebene beschreibt. d) Bestimmen Sie die 2x2-Matrix, die die Spiegelung an g in der xy-Ebene beschreibt. Vergleichen Sie mit den Matrizen aus den Teilaufgaben b) und c). a) Die Schnittgerade lautet: b) c)

Aufgaben Abbildungen durch Matrizen
5.Aufgabe: Gegeben ist die Abbildungsmatrix a) Bestimmen Sie die Bildpunkte der Punkte A(3/3/0), B(3/-6/3), C(3/3/-3). a) A‘(-3/-3/0) B‘(5/-2/5) C‘(-5/-1/1) b) Geben Sie zur Spiegelung an der Geraden g: gehörende Abbildungsmatrix T2 an, und bestimmen Sie die zur Verkettung (zunächst die zu T1 gehörenden Abbildung und anschließend die Spiegelung an der Geraden g) gehörende Abbildungsmatrix V. b)

Übungen zur 1.Klausur 2.Aufgabe: ( Seite 205 A.13) Gegeben sind die Punkte A(0/0/0), B(-1/-1/4) und C(-1/-4/1) a) Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC gleichseitig ist. b) Zeigen Sie, dass mit D(-4/-1/1) die Figur ABCD ein regelmäßiges Tetraeder ist, d.h. eine Figur, die von vier gleichseitigen Dreiecken begrenzt wird. d) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix T derjenigen Abbildung, die B auf C, C auf D, D auf B abbildet. Bestimmen Sie die Fixpunkte dieser Abbildung. Lösung: a)Mit Hilfe der Abstandsbeziehung erhält man: d = b)Zusätzlich müssen noch die anderen Dreiecke auf Gleichseitigkeit überprüft werden, nämlich: ABD BCD und CAD c)Die Abbildungsmatrix lautet:

Übungen zur 1.Klausur 8.Aufgabe: Gegeben sind die Punkte A(-2/-5/-5), B(1/-2/7), C(1/7/-2). a) Geben Sie eine Parameterdarstellung und eine Normalenform der durch A, B und C festgelegten Ebene E an. b) Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC gleichseitig ist, und bestimmen Sie den Schwerpunkt S des Dreiecks ABC. c)Bestimmen Sie alle Punkte D so, dass A, B, C, D die Eckpunkt eines regelmäßigen Tetraeders bilden. d)Zeigen Sie, dass die durch die Matrix vermittelte Abbildung jeden Punkt der Geraden g: auf sich abbildet. Wie bildet die zu T gehörige Abbildung das Dreieck ABC ab?

Übungen zur 1.Klausur Lösung:
Die Gleichseitigkeit wird mit Hilfe der Abstandformel berechnet. Es ergibt sich: d) Man sieht, dass man wieder den Vektor (-5,1,1) erhält.

Übungen zur 1.Klausur Lösung:
d) Für die Bilder der Punkte A, B und C erhält man: A(-2/-5/-5)  A‘(1/-2/7) B(1/-2/7)  B‘(1/7/-2) C(1/7/-2)  C‘(-2/-5/-5)

Lineare Algebra – Rechnen mit Matrizen

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