Kapitel IV. Matrizen Inhalt:

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1 Kapitel IV. Matrizen Inhalt:
Matrizen als eigenständige mathematische Objekte Zusammenhang zwischen Matrizen und linearen Abbildungen Produkt von Matrizen Inverse Matrix Basiswechsel

2 §18 Der Vektorraum der Matrizen
Im folgenden ist K stets ein Körper und V, W, ... sind Vektorräume über K . Matrizen lassen sich einführen als Hilfsmittel zur Beschreibung von linearen Abbildungen und auch als solche untersuchen (vgl. § 19). Wir wollen Matrizen zunächst als eigenständige mathematische Objekte verstehen. Wichtig, wie an vielen Stellen in Mathematik und Physik, sind dazu die Indizes und Doppelindizes: (18.1) Notation: n bezeichne im folgenden den durch n aus N bestimmten Abschnitt der natürlichen Zahlen, also die Menge n := {1, 2, ... , n} Das „fett n“ wird dabei auch normal geschrieben. Also: n = {1, 2, ... , n} und

3 Kapitel IV, §18 (18.2) Definition: Eine (m,n)-Matrix A (mit Koeffizienten aus K) ist eine Abbildung Eine solche Matrix A ist also durch die Werte vollständig bestimmt. Bemerkung: Diese Werte – und damit die Matrix A – können auf verschiedene Wiese notiert werden. In der Regel in einem „Rechteckschema“: An diese Notation werden wir uns halten. (Eine Vertauschung von n und m wäre auch denkbar, eine Aneinanderreihung der Werte in einer Zeile oder in einer Spalte wäre ebenfalls korrekt, - aber unüblich.)

4 Kapitel IV, §18 Die Schreibweise der Koeffizienten A(i,j) ist beliebig. Ziemlich verbreitet ist es, die A(i,j) mit kleinem Buchstaben und tiefgestellten Indizes zu schreiben, zumindestens in der Mathematik: Je nach Anwendung sind aber auch aij , aij oder aij gebräuchlich. Also statt A(i,j) : aij . Unsere Konvention (Physikernotation in Falle von Koordinaten eines Konfigurationsraumes) in Abweichung von Kap. I - III: (18.3) Bemerkungen: Die Menge aller (m,n)-Matrizen ist Kmxn ; sie besitzt daher in natürlicher Weise die Struktur eines K-Vektorraums. Addition: Für A und B aus Kmxn ist Skalarmultiplikation: Für A aus Kmxn und t aus K ist

5 Kapitel IV, §18 (18.4) Lemma: Für natürliche Zahlen genau mn Elemente.
Durch f(i,j) := (j - 1)n + i , , wird eine Bijektion Definiert (sukzessives Durchzählen der Reihen). (18.5) Folgerung: Der Vektorraum Kmxn der (m,n)-Matrizen hat die Dimension mn . Er ist isomorph zu Kmn und auch zu (Km)n und (Kn)m. Die Standardbasis von Kmxn ist {Eji : i aus m und j aus n} , wobei Eji ist die folgende Matrix: In der Zeile i lauter Nullen außer einer 1 in Position j (Spalte j); ansonsten nur Nullen. Anders ausgedrückt: Alle Spalten sind 0 außer der j-ten Spalte. Diese ist der i-te Standardeinheitsvektor von Km . Es gilt für A aus Kmxn :