Lineare Algebra
11. Matrizen
Eine m n-Matrix ist ein Raster aus m n Koeffizienten, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind. = (a ij )
Addition von Matrizen A = (a ij ) und B = (b ij ) seien zwei m n-Matrizen. elementweise A + B = C mitc ij = a ij + b ij A - B = C mitc ij = a ij – b ij Man kann nur solche Matrizen addieren und subtrahieren, die gleiche Zeilenzahl m und gleiche Spaltenzahl n besitzen. Matrixaddition ist assoziativ und kommutativ. = +
Addition von Matrizen A = (a ij ) und B = (b ij ) seien zwei m n-Matrizen. elementweise A + B = C mitc ij = a ij + b ij A - B = C mitc ij = a ij – b ij Man kann nur solche Matrizen addieren und subtrahieren, die gleiche Zeilenzahl m und gleiche Spaltenzahl n besitzen. Matrixaddition ist assoziativ und kommutativ. = -
Man kann nur solche Matrizen A und B miteinander multiplizieren, für die gilt: A = m n-Matrix, B = n p-Matrix = Das Ergebnis ist eine m p-Matrix. A B C Multiplikation von Matrizen
a b c d e f 1a + 2c + 3e
a b c d e f 1a + 2c + 3e, 1b + 2d + 3f
a b c d e f 1a + 2c + 3e, 1b + 2d + 3f 4a + 5c + 6e
a b c d e f 1a + 2c + 3e, 1b + 2d + 3f 4a + 5c + 6e, 4b + 5d + 6f ( )
Der zweite Index des ersten Faktors und der erste Index des zweiten Faktors laufen bis n. m n-Matrix n p-Matrix = m p-Matrix =
Der zweite Index des ersten Faktors und der erste Index des zweiten Faktors laufen bis n. m n-Matrix n p-Matrix = m p-Matrix = Die Operation ist nicht kommutativ; im Allgemeinen ist selbst für quadratische Matrizen, also solche mit m = n, die sich überhaupt nur in beiden Fällen als Faktoren eignen A B ≠ B A
Der zweite Index des ersten Faktors und der erste Index des zweiten Faktors laufen bis n. m n-Matrix n p-Matrix = m p-Matrix = Die Operation ist nicht kommutativ; im Allgemeinen ist selbst für quadratische Matrizen, also solche mit m = n, die sich überhaupt nur in beiden Fällen als Faktoren eignen A B ≠ B A
a b c d e f 1a+2c+3e1b+2d+3f 4a+5c+6e4b+5d+6f
a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b (S) a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m