Die Wege - Modellierung und Simulation von biochemischen Stoffwechselpfaden Ursula Kummer EML Research gGmbH

Modellieren von einfachen Reaktionssystemen I Einfachstes System: A -------> B (V1 = k1*A) Systemgleichungen: dA/dt = A’ = - V1 = -k1*A dB/dt = B’ = V1 = k1*A A A B A B A B B

Modellieren von einfachen Reaktionssystemen II Einfachstes System: A + B -------> C (V1 = k*A*B) Systemgleichungen: dA/dt = A’ = - V1 = -k1*A*B dB/dt = B’ = - V1 = -k1*A*B dC/dt = C’ = V1 = k1*A*B C A C A C B A B A B C B C

Modellieren von einfachen Reaktionssystemen III A B C j k1 k2 k3 k4 Offenes Reaktionssystem, in das A einfließt und A und C abgeführt werden. Systemgleichungen: d[A]/dt = - V1 - V4 + j = -k1 * [A] - k4*[A] + j d[B]/dt = V1 - V2 = k1 * [A] - k2 * [B] d[C]/dt = V2 - V3 = + k2 * [B] - k3 * [C]

Modellieren von einfachen Reaktionssystemen III A B C j k1 k2 k3 k4 Ähnliches Reaktionssystem, bei dem A mit C reagiert. Systemgleichungen: d[A]/dt = - V1 - V4 + j = -k1 * [A] - k4 * [A] * [C] + j d[B]/dt = V1 - V2 = k1 * [A] - k2 * [B] d[C]/dt = V2 - V3 - V4 = + k2 * [B] - k3 * [C] - k4 * [A] * [C]

Modellieren von Elementarreaktionen in der Biochemie Z.B.: ES‘ = k1*E*S - k_1*ES - k2*ES + k_2*E*P

Biochemische Stoffwechselpfade Das Prinzip der Modell- bildung und Simulation bleibt das gleiche. Häufig werden jedoch Vereinfachungen gemacht, um viele Elementarreaktionen in einem mathematischen Term zusammenzufassen.

Simulation durch analytische Lösung der Differentialgleichungen Nur bei linearen Systemen und wenigen einfachen nichtlinearen Beispiel: dA/dt = - k*A Variablentrennung: -> Integration:

Integration durch numerische Verfahren: z.B. Euler Problem: dx/dt = f(x) und x = (x1, …….xn) Lösungsansatz: Diskretisierung der Zeit in Zeitintervalle Dt. Anfangswertprobleme: x(t0) = x0 gesucht x(t0 + Dt) = ??? Taylorreihe: x(t0 + Dt) = x(t0) + (dx/dt)t0*Dt + 1/2(d2x/dt2)t0*Dt2 + ……….. für kleine Dt : x(t0 + Dt) = x(t0) + (dx/dt)t0*Dt x(t0 + Dt) = x(t0) + f(x)*Dt Der Fehler ist proportional (d2x/dt2) Integration durch numerische Verfahren: z.B. Euler x(t) t t + Dt x t

Fallbeispiel: Peroxidase in Leukozyten Peroxidasen spielen eine wichtige Rolle bei der Abwehr von Krankheitserregern durch Leukozyten. Die NADH-Konzentration oszilliert.

Elementarreaktionen der Peroxidase in Leukozyten u.a.