Reelle Zahlen Variablen, die grundsätzlich reelle Werte annehmen können oder in Ausdrücken erscheinen, die einen reelllen Wert liefern, sollten vom Typ.

Präsentation zum Thema: "Reelle Zahlen Variablen, die grundsätzlich reelle Werte annehmen können oder in Ausdrücken erscheinen, die einen reelllen Wert liefern, sollten vom Typ."—  Präsentation transkript:

1 Reelle Zahlen Variablen, die grundsätzlich reelle Werte annehmen können oder in Ausdrücken erscheinen, die einen reelllen Wert liefern, sollten vom Typ REAL sein.

2 Division ganzer Zahlen
Betrachte die Auswertung der Anweisung a = b*c/d, wobei b eine reelle Variable mit dem Wert ist, während c und d ganze Zahlen mit den Werten 9 und 10 sind. b*c wird zuerst ausgewertet, wobei c zunächst in den reellen Wert 9.0 umgewandelt wird. Danach wird der Wert von d in seinen reellen Gegenwert umgewandelt, bevor die Division ausgeführt wird. Ellis et al. (1994), S. 48

3 Division ganzer Zahlen
Was passiert, wenn der Ausdruck in der folgenden, mathematisch gleichwertigen Form geschrieben worden wäre: a = c/d*b ? In der ersten Operation sind beide Operanden ganze Zahlen, so dass der Unterausdruck c/d als ganzzahlige Operation ausgeführt wird. Das mathematische Ergebnis (0.9) wird abgeschnitten und liefert ein Zwischenergebnis von Null. Ellis et al. (1994), S. 49

4 Literaturhinweis Ellis, T.M.R., Phillips, Ivor R., and Lahey, Thomas M.: Fortran 90 Programming, Addison-Wesley Publishing Company, 1994. M. Schulz

5 Mathematical Operations
Deg_C = 5.0 * (Deg_F ­ 32.0) / 9.0  The expression on the RHS is evaluated and assigned to the REAL variable Deg_C * is the multiplication operator, ­ is the subtraction operator, / is the division operator, ** is the exponentiation, and = is the assignment operator. M. Schulz

6 Important Built-In Functions
ABS(x) Absolute value LOG(x) Natural logarithm LOG10(x) Base-10 logarithm EXP(x) Natural exponential SQRT(x) Square root SIN(x) Sine (x in radians!) COS(x) Cosine TAN(x) Tangent ASIN(x) Arcsine ACOS(x) Arccosine ATAN(x) Arctangent INT(x) Convert real to integer, truncation (7.8  7) NINT(x) Convert real to integer, rounding (7.8  8) REAL(i) Convert integer to real (1  1.0)

7 Unix-Tipp Wenn das aktuelle Verzeichnis “.” nicht im Suchpfad enthalten ist, dann kann man ein Programm a.exe mit dem Befehl ./a.exe starten.

8 Tipps zur Fehlersuche “PRINT”-Anweisungen einbauen, um den Wert bestimmter Variablen zu überprüfen Spezielle Compileroptionen wählen, um zum Beispiel Feldbereichsüberschrei-tungen anzuzeigen

9 G95-Optionen Option Bedeutung g95 --help g95 --target-help
g95 –fbounds-check Prüfe Feld- und Zeichenkettengrenzen

10 Fortran-Links http://www.g95.org/ http://de.wikibooks.org/wiki/Fortran

11 Vergleichsoperatoren
Bedeutung < kleiner <= kleiner oder gleich == gleich /= ungleich > größer >= größer oder gleich

12 Energiebilanzmodell (Aufgabe 4)
Projektübung Klimamodellierung ( ) – A. Paul

13 Punktmodell der Strahlungsbilanz
(Stocker 2004, Abschnitt 2.2) Gewöhnliche, nichtlineare Differentialgleichung erster Ordnung für die unbekannte, zeitabhängige Variable T(t)

14 R 6371 km Erdradius h 8.3 Skalenhöhe r 1.2 kg m-3 Luftdichte C 1000 J kg-1 K-1 Spezifische Wärme von Luft T K Temperatur a 0.3 Planetare Albedo S 1367 W m-2 Solarkonstante e 0.6 Emissions-vermögen s 5.67x10-8 W m-2 K-4 Stefan-Boltzmann-Konstante

15 Gleichgewichtstemperatur des globalen Energiebilanzmodells: Die aus Messungen bestimmte mittlere Oberflächentemperatur beträgt 14°C (fett ausgezogen).

16 Eis-Albedo-Rückkopplung
Die Eis-Albedo-Rückkopplung soll durch folgende Abschätzung der Elbedo parameterisiert werden:

17 Diskretisierung t = n Dt, n=0,1,2,…
T(t) in eine Taylorreihe entwickeln: Nach der ersten Ableitung auflösen: Euler-Schema

18 Ersetzen von Dt durch -Dt und addieren:
Schema der zentrierten Differenzen

19 Das Euler-Verfahren ist das einfachste, aber auch ungenaueste Verfahren zur Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung mit der Anfangsbedingung Im Fall des Energiebilanzmodells ist

20 Das Euler-Verfahren wertet die Ableitung nur an den Stellen x und x+Dx aus.
Dies entspricht der Linearisierung der langwelligen Ausstrahlung. Genauere Verfahren vom Typ “Runge-Kutta k-ter Ordnung” verwenden weitere Stützstellen im Intervall [x, x+Dx]

21 Runge-Kutta-Verfahren k-ter Ordnung
Durch die Auswertung von f(x,y) an weiteren Stützstellen im Intervall [x, x+Dx] und eine geschickte Linearkombination kann der Fehler von O(Dx) auf O[(Dx)k] reduziert werden

22 Die Vorschrift für das klassische Runge-Kutta-Verfahren 4
Die Vorschrift für das klassische Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordung lautet: Stocker (2004), S. 33

23 Parameterisierte REAL-Variablen
REAL-Variablen (reelle Zahlen) sind „parameterisiert“. Der kind-Typparameter legt die Anforderungen an die minimale Genauigkeit und den Bereich des Exponenten fest.

24 ! Variable declarations REAL(KIND=q) :: dpress
! Parameter declarations ! Symbolic name for a real kind type with at least ! 15 decimal digits of precision and an exponent range ! from 10**300 to 10**(-300) (“double precision”) INTEGER, PARAMETER :: dp=SELECTED_REAL_KIND(P=15,R=300) ! 6 decimal digits of precision and an exponent range ! from 10**30 to 10**(-30) (“single precision”) INTEGER, PARAMETER :: sp=SELECTED_REAL_KIND(P=6,R=30) ! Symbolic name for a default real kind type INTEGER, PARAMETER :: q=dp ! Variable declarations REAL(KIND=q) :: dpress REAL(KIND=q), DIMENSION(1:km) :: p

25 FUNCTION- und SUBROUTINE-Unterprogramme
FUNCTION-Unterprogramme berechnen einen einzigen Wert, der an der Aufrufstelle eingesetzt wird. SUBROUTINE-Unterprogramme gestatten die gleichzeizige Berechnung mehrerer Werte. Wehnes (1985), Kapitel 6, S. 134

26 FUNCTION- und SUBROUTINE-Unterprogramme
SUBROUTINE rk4(y,dx,yp) IMPLICIT NONE ! Dummy arguments REAL(KIND=q), INTENT(IN) :: y,dx REAL(KIND=q), INTENT(OUT) :: yp ! Local variables ! dy1, dy2, dy3, dy4 = correspond to K1, K2, K3, K4 in ! fourth-order Runge-Kutta formula REAL(KIND=q) :: dy1,dy2,dy3,dy4 dy1 = f(y) dy2 = f(y + dx/2.0_q*dy1) dy3 = f(y + dx/2.0_q*dy2) dy4 = f(y + dx*dy3) yp = (dy _q*dy _q*dy3 + dy4)/6.0 END SUBROUTINE rk4

27 Block IF-Struktur ! Variable declarations
! tol = criteria of convergence (K) REAL(KIND=q) :: tol [..] ! Initializations tol = 1.0E-03_q ! Time loop DO itt=1,ittmax ! Test for convergence IF (ABS(tf – ti) < tol) THEN EXIT END IF END DO Wehnes (1985), Kapitel 4, S. 90