GIN 2 – Vorlesung zu Hashing, 31. Mai 2005 Prof. Dr. W. Conen FH Gelsenkirchen SS 2005.

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1 GIN 2 – Vorlesung zu Hashing, 31. Mai 2005 Prof. Dr. W. Conen FH Gelsenkirchen SS 2005

2 Hashing - Ausgangssituation [Einstieg: s. auch ihr Mitschrieb aus der letzten Woche] Datenstruktur Dictionary: Insert, Delete, Member/Search Bisher: Der Schlüssel selbst konnte unmittelbar als Index in einem Array zur Speicherung der Daten verwendet werden K U T K 9 1 4 0 6 7 2 3 5 8 U = Universum möglicher Keys (=Schlüssel); K = Tatsächlich auftretende Keys; T = Direkt-addressierte Tabelle 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Nutzlasten

3 Hashing - Ausgangssituation Datenstruktur Dictionary: Insert, Delete, Member/Search Jetzt: U ist sehr groß (z.B. Strings!) und |K| << |U|, d.h. die Anzahl tatsächlich genutzter Schlüssel ist eher klein. Selbst, wenn unser T genug Platz für die möglichen Schlüssel hätte, wäre das unschön: es würde sehr viel Platz nicht verwendet! Also Annahme: |U| >> |T| ¸ |K| K U T K k1k1 h = Hashfunktion: U ! {0,...,m-1} 0 1 2 = h(k 1 ) 3 4 5 = h(k 2 ) = h(k 3 ) Kollision! 6 7 = h(k 4 ) 8 m-1 k2k2 k3k3 k4k4

4 Hashing - Ausgangssituation Annahme: |U| >> |T| ¸ |K| K kann auch größer, als T werden, dann gibt es aber natürlich auf jeden Fall gewisse Probleme... Lösung: Wir bilden mit einer Hashfunktion h : U ! {0,...,m-1} die (möglichen und tatsächlichen) Schlüssel auf die Einträge in T ab Hauptproblem: es können Kollisionen auftreten Worst-Case: bei ungünstiger Hashfunktion können alle tatsächlichen Werte auf einen Index abgebildet werden Und das selbst dann, wenn die Hashfunktion im Prinzip, also gemessen an U, z.B. bei Annahme einer Gleichverteilung der Auftretenswahrscheinlichkeit, gut zu sein scheint!

5 Hashing Was hätten wir gern? Eine Hashfunktion, die wenigstens im Prinzip alle Werte in [0,...,m-1] treffen kann (also surjektiv ist) Eine Hashfunktion, die die tatsächlich auftretenden Werte (also K) möglichst gut über T streut also Kollisionen so weit wie möglich vermeidet Bei der Konstruktion von h weiß man eventuell bereits etwas über die Auftretenswahrscheinlichkeit der möglichen Schlüssel Wenn es um z.B. um Namen geht, dann sind manche Buchstabenkombination häufiger (Schmidt, Weber), manche eher selten (Xyzmick) Die Hashfunktion sollte Schmidt und Weber möglichst auf verschiedene Indices abbilden Wo Xyzmick landet, ist eher nicht so wichtig...

6 Hashing Ursache von Kollisionen: Unvermeidbar 1: Wenn Keywerte mehrfach auftreten können z.B. mehrere Personen mit Namen Weber Randbemerkung: manchmal hilft dann natürlich, die Schlüssel zu vergrößern, z.B. Vorname Nachname zu verwenden Unvermeidbar 2: Wenn K größer als T ist (aber selbst dann ist eine Minimierung von Kollisionen hilfreich!) Vermeidbar: Wenn |K| <= |T|, dann könnte h | K ( also h eingeschränkt auf K, s. GIN1b) im Prinzip injektiv sein... wenn es aber dann nicht injektiv ist, dann gibt es unnötige Kollisionen! Für uns ist vor allem der vermeidbare Fall interessant!

7 Hashing Wichtige Fragen: Frage 1: Wie designed man eine Hashfunktion so, dass sie möglichst injektiv ist, also vermeidbare Kollisionen vermeidet? Frage 2: Wie geht man mit Kollisionen um, wenn sie denn auftreten? Wir schauen uns zunächst Frage 2 an. Antworten zur Frage 1 finden Sie in ihrem Mitschrieb.

8 Hashing: Umgang mit Kollisionen (1) Kollisionen treten auf Die Daten jeder Kollisionsklasse werden in einer Liste hinter dem berechneten Indexwert für ihren Schlüssel abgelegt. Das nennt man Chaining, also Verkettung K U T K k1k1 0 m-1 k2k2 k3k3 k4k4 h k2k2 k3k3 k4k4 k1k1

9 Hashing: Umgang mit Kollisionen (2) Kollisionen treten auf Für jeden Datensatz wird ein Platz direkt in T gesucht Verschiedene Strategien möglich (z.B. Re-Hashing, Sondieren) Nebenproblem: Was passiert, wenn T überläuft K U T K k1k1 0 m-1 k2k2 k3k3 k4k4 h k2k2 k3k3 k4k4 k1k1 Sondieren in der Nachbarschaft oder zweites (drittes,...) Hashing Nutzlasten [s. auch Übungsaufgaben zu Hashing]

10 Hashing: Kollisionsbehandlung (3) Chaining Insert(d), Datensatz d hat den Schlüssel k Kosten: O(1) (+ Kosten für die Berechnung von h(k) – h sollte also möglichst effizient berechenbar sein! Wir nehmen O(1) an) Delete(d): O(1) Member(d): Best Case: O(1) Worst Case: O(|K|)...Aua! Mittlerer Fall, s. Mitschrieb Platz in T suchen Insert(d): Kosten je nach Kollisionsbehandlung Best Case: O(1) Worst Case: O(min(|T|,|K|)) Delete(d): wie Insert Member(d): wie Insert weitere Details s. Mitschrieb

11 Unsere Übungsaufgabe... stammt aus Knuth: The Art of Computer Programming, Volume 3 Wir wollen 31 Strings auf den Bereich [0..40] bijektiv abbilden (im Original auf [-10..30]) Es gibt 41 31, ungefähr also 10 50 Funktionen, die 31 Werte auf 41 Werte verteilen Es gibt 41*40*...*11 = 41!/10!, ungefähr also 10 43 injektive Funktion Das sieht nach vielen aus...aber es ist nur 1 aus ungefähr 10 Millionen der möglichen Funktionen! Aber sie sehen: sie hatten eine große Auswahl bei der Lösung der Übungsaufgabe! ;-)

12 Knuths Lösung Ein MIX-ProgrammBeispiel-Ablauf für BEKommentar LD1NK(1:1)-2 (in rI1) Wert(B)=2,Position(B)=1 LD2 K(2:2)5 (in rI2) INC1-8,2-2-8+5 = -5 J1P*+2Sprung, wenn 1 positiv INC116,2-5+16+5 = 16 LD2K(3:3) J2Z9FSprung, wenn 2 leer/null INC1 -28,2 J1P9F INC111,2 LDAK(4:4) JAZ9FSprung, wenn Accu leer DEC1-5,2 J1N9F INC110 9F: LDAK(Sprungziel eigentlich 9H) CMPATABLE,1(versteht aber niemand... ;) JNE FAILURE Wenn Sie noch kein h gefunden haben, dann suchen sie noch ein wenig weiter!

13 Literatur Hashing z.B. in Cormen et al. Introduction to Algorithms oder Owsnicki-Klewe Algorithmen und Datenstrukturen (s. auch frühere Literaturempfehlungen) Zum MIX-Computer von Knuth können sie direkt bei Knuth schauen (The Art of Computer Programming) oder einen der Emulatoren ausprobieren: http://www.recreationalmath.com/mixal/ (Emulator in HTML mit Javaskript realisiert) http://www.recreationalmath.com/mixal/ http://www.gnu.org/software/mdk/mdk.html, der GNU-MIX- Development-Kit (mit Doku: http://www.gnu.org/software/mdk/manual/mdk.html) http://www.gnu.org/software/mdk/mdk.html