MNU- Tagung am an der Universität in Dortmund

Präsentation zum Thema: "MNU- Tagung am an der Universität in Dortmund"—  Präsentation transkript:

1 MNU- Tagung am 09. 10. 2007 an der Universität in Dortmund
MNU- Tagung am an der Universität in Dortmund Klaus Gerber, Leichlingen  Related-Rates-Problems – Aufgaben mit verketteten Änderungsraten – Ein integrierendes Konzept für den Analysis-Unterricht

2 Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen

3 Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen
Geometrisch orientierte Strategien Related-Rates-Aufgaben in Verbindung mit dem HDI Veränderliche Raten – Sprungbrett zu den Differenzialgleichungen Experimentelle Untersuchungen

4 Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen
Geometrisch orientierte Strategien Related-Rates-Aufgaben in Verbindung mit dem HDI Veränderliche Raten – Sprungbrett zu den Differenzialgleichungen Experimentelle Untersuchungen

5 Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen
Pólyas Kegel In ein trichterförmiges Gefäß läuft Wasser ein. Es hat die Form eines auf der Spitze stehenden Kegels mit dem Radius r = 5 cm und der Höhe h = 10 cm. Die Zuflussgeschwindig- keit beträgt 9 cm3/min. Mit welcher Geschwindigkeit steigt der Wasserpegel, wenn die Füllhöhe gerade 6 cm beträgt?

6 Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen
Pólyas Kegel Lösung: 1. Zeichnung: 2. Gegebene Änderungsrate: Gesuchte Änderungsrate: 3. Kettenregel: Gesucht! 4. Es gilt: Mit der Ähnlichkeitsbeziehung erhält man: Ableiten ergibt: 5. Einsetzten in die umgeformte Kettenregel: Mit der Füllhöhe y = 6cm erhält man die gesuchte Pegelgeschwindigkeit:

7 Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen
Die Lösungsschritte lassen sich zusammenfassen: Fertige eine Zeichnung mit den relevanten geometrischen Größen an. Notiere die gegebenen und die gesuchten Änderungsraten. Formuliere die Kettenregel, die die Änderungsraten verknüpft. Finde die unbekannte Änderungsrate in der Kettenregel mit geometrischen Hilfsmitteln (Ähnlichkeit, Pythagoras, Koordinatengeometrie). Setze die gefundene Änderungsrate in die Kettenregel ein, und berechne die gesuchten Größen.

8 Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen
Verwandte Aufgaben:

9 Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen
Geometrisch orientierte Strategien Related-Rates-Aufgaben in Verbindung mit dem HDI Veränderliche Raten – Sprungbrett zu den Differenzialgleichungen Experimentelle Untersuchungen

10 Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen
Pólyas Kegel mit dem HDI Ein Glas entsteht durch die Rotation des Graphen zu f(x) = 0,5 x im Intervall [0; 10]. Nun wird das Glas mit der Spitze nach unten aufrecht gestellt und mit Wein gefüllt. Die Zufluss- geschwindigkeit beträgt 9 cm3/min. Berechne die momentane Pegelgeschwindigkeit, wenn die Füllhöhe 6 cm beträgt?

11 Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen
Pólyas Kegel mit dem HDI Lösung: 1. Zeichnung: 2. Gegebene Änderungsrate: Gesuchte Änderungsrate: 3. Kettenregel: Gesucht! 4. Berandungsfunktion f mit f und f2 sind stetig Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist die Integralfunktion mit dem Term differenzierbar und es gilt: 5. Einsetzten in die umgeformte Kettenregel: Allgemein gilt: Mit der Füllhöhe y = 6cm erhält man die gesuchte Pegelgeschwindigkeit:

12 Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen
Verwandte Aufgaben: Vasen, Silos, Sektschalen, Weinkelche

13 Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen
Geometrisch orientierte Strategien Related-Rates-Aufgaben in Verbindung mit dem HDI Veränderliche Raten – Sprungbrett zu den Differenzialgleichungen Experimentelle Untersuchungen

14 Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen
Pólyas Kegel mit veränderlichem Zufluss In das trichterförmiges Gefäß läuft Wasser ein. (Radius r = 5cm und der Höhe h = 10cm.) Wasser läuft nun mit der veränderlichen Zuflussgeschwindig- keit dV/dt = t zu. Berechne die momentane Pegelgeschwindigkeit 3s nach dem Start des Zuflusses in das leere Glas?

15 Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen
Pólyas Kegel mit veränderlichem Zufluss Einsetzen in die umgeformte Kettenregel: Separation der Variablen: Integration: Wenn für t=0 die Füllhöhe 0cm beträgt, ist die Integrationskonstante c=0 und wir können die Lösungsfunktion der Differentialgleichung durch Auflösen nach y bestimmen: Ihre Ableitungsfunktion beschreibt die Pegelgeschwindigkeit: 3s nach dem Start des Zuflusses beträgt die gesuchte Pegelgeschwindigkeit :

16 Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen
Geometrisch orientierte Strategien Related-Rates-Aufgaben in Verbindung mit dem HDI Veränderliche Raten – Sprungbrett zu den Differenzialgleichungen Experimentelle Untersuchungen

17 Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen
Befüllung einer Glaskaraffe 1. Aufzeichnung des Füllvorgangs mit einer Videokamera und Auswertung mit einer Videoanalyse-Software (z.B.: VIANA) 2. Entwicklung eines mathematischen Modells mit einer ganzrationalen Berandungsfunktion und Lösung als Related-Rates-Problem. 3. Vergleich der Modelle.

18 Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen
Danke für Ihre Aufmerksamkeit!