Mathematisches Modellieren Workshop am Kantonalen Fachschaftstag 2012

Präsentation zum Thema: "Mathematisches Modellieren Workshop am Kantonalen Fachschaftstag 2012"—  Präsentation transkript:

1 Mathematisches Modellieren Workshop am Kantonalen Fachschaftstag 2012
r.maerki

2 r.maerki

3 Mathematisches Modellieren (aus dem Kanon)
Modellbildung: Mathematik ist Sprache und Werkzeug für andere Wissenschaften. Der ungeheure Nutzen der Mathematik für unser tägliches Leben bleibt dem oberflächlichen Betrachter meist verborgen. Er beruht einerseits auf dem Faktum, dass die Mathematik erlaubt, Modelle von realen Gegebenheiten zu bilden, und andererseits darauf, diese Modelle mit mathematischen Methoden zu untersuchen und aus den Ergebnissen Rückschlüsse für die Realität zu ziehen. Zentrale Fragen sind: Was ist ein Modell? Wie gelangt man von einem realen Phänomen zu einem Modell? Welche Faktoren sind vernachlässigbar, welche relevant? Wo liegen die Grenzen von Modellen? Welche Beziehung besteht zwischen Modell und Realität? Welchen Nutzen hat man von einem Modell? (Prognosen, Simulationen, Optimierung.) . R. Märki

4 Aus dem Kanon: Einsatz neuer Technologien: Dieser ermöglicht die Behandlung auch realitätsnäherer oder komplexerer Phänomene durch Experiment, numerische Rechnung, Simulation und Visualisierung. Gleichzeitig muss erlebbar werden, dass unkritischer Umgang mit Computern in die Irre führen kann. Der Rechner ermöglicht es auch schwachen Schülerinnen und Schülern mathematische Erfolgserlebnisse zu haben. Weil Routinerechnugen an den Computer delegiert werden können, spart man im Unterricht Zeit und schafft Platz für Vertiefungen. Dies darf jedoch nicht dazu führen, das Handrechnen zu vernachlässigen. R. Märki

5 Newton‘s law of cooling

6 Das Burger-King-Problem
Ein Warteschlangen-Problem R. Märki

7 Das Simulationsspiel . R. Märki

8 Simulationsspiel Ankommensrate: l=1/Minute
Servicerate: Variante I: m= 1/Minute Variante II: m= 2/Minute Simulation mit Würfel: 1 Wurf entspricht 10 Sekunden: - A ist Kunde, würfelt A eine „6“, dann kommt ein Auto. - B ist Service, würfelt B eine „6“ (resp. „6“ oder “5“ bei Variante II), dann wird ein Auto abgefertigt und entfernt sich. Jeder Kunde bezahlt im Mittel c1=10 CHF Servicekosten: Variante I: c2=1 CHF/Minute, Variante II: c2=2 CHF/Minute R. Märki

9 Das mathematische Modell (kontinuierlich)
Ankommensrate: l, Servicerate: m In einem kurzen Zeitintervall Dt gilt: Wahrscheinlichkeit, dass ein Auto ankommt ist l* Dt Wahrscheinlichkeit, dass ein Service vollendet wird ist m* Dt Pn(t): Wahrscheinlichkeit, dass zur Zeit t genau n Fahrzeuge in der Schlange sind. Wir bestimmen P‘n(t) R. Märki

10 Wahrscheinlichkeitsverteilung
state at time t+Dt state at time t+Dt Wahrscheinlichkeitsverteilung . R. Märki

11 Differenzialgleichungen
. R. Märki

12 Langzeitverhalten, Gleichgewicht
. R. Märki

13 Gewinnfunktion . R. Märki

14 Optimale Servicerate= 1/0.751*Ankommensrate
R. Märki

15 Danke für die Aufmerksamkeit
. R. Märki