Frank Kameier Strömungstechnik II 3. Vorlesung Koordinatensysteme / Kreuzprodukt Drehimpulserhaltung Eulersche Strömungsmaschinenhauptgleichung oder Eulersche Strömungsmaschinengleichung

Übung – Geschwindigkeitsdreiecke und Androsseln Drehrichtung - Koordinatensysteme - Drehrichtung -Richtung u-Richtung azimutale Richtung Umfangsrichtung CAD denkt in x-,y-,z-Richtung nicht in Zylinderkoordinaten r-,- und z-Richtung

Übung – Geschwindigkeitsdreiecke und Androsseln Hauptströmung c = u + w 2=24° 𝛽 2 unendlich dünne Schaufeln schaufelkongruente Umströmung 𝑢 1 𝛽 1 1=17° |𝑢|=𝑢= 𝑢 1 = 𝑢 2 =𝜋∙𝑛∙𝑑 Drehrichtung

c = u + w Koordinatentransformation Absolut-geschwindigkeit Grundlagen Strömungsmaschinen – Eulersche Strömungsmaschinengleichung Umfangsgeschwindigkeit aus dem Kreuzprodukt von Winkelgeschwindigkeit und Radius Die Umfangsgeschwindigkeit nimmt linear mit dem Radius zu: Koordinatentransformation Absolut-geschwindigkeit Relativ-geschwindigkeit c = u + w Kreuzprodukt – rechte Hand Regel http://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt www.techniklexikon.net/.../rechte-hand-regel.htm Bild: Carolus, Ventilatoren, 2009

Grundlagen Strömungsmaschinen – Eulersche Strömungsmaschinengleichung Exkurs zum Zusammenhang von Drehimpuls, Arbeit und Leistung: Eine Kraft, die über einen Weg verrichtet wird, nennt man Arbeit [Nm]=[J] Der überstrichene Weg bei einer rotatorischen Bewegung ist mit dem Betrag des Radiusvektors r und dem Winkel , so dass für die Arbeit folgt . Der Kraft äquivalent ist das Drehmoment

Grundlagen Strömungsmaschinen – Eulersche Strömungsmaschinengleichung für die Arbeit folgt . Die in der Zeit t geleistete Arbeit führt zu der Leistung [ Nm/s ]=[ J/s ]=[ W ] Die zurückgelegte Wegstrecke pro Zeit wird Geschwindigkeit genannt Der überstrichene Winkel pro Zeit wird Winkelgeschwindigkeit genannt

Grundlagen Strömungsmaschinen – Eulersche Strömungsmaschinengleichung Auf ganze Umdrehungen 2 bezogen gilt mit der Drehzahl n Für die Leistung an der Welle einer Strömungsmaschine folgt somit Mit dem Betrag des Drehimpulses … Theorie ist notwendig

zeitliche Änderung des Impulse Druckkraft und Reibung Grundlagen Strömungsmaschinen – Eulersche Strömungsmaschinengleichung Multiplikation (Kreuzprodukt) des Impulssatzes mit r zeitliche Änderung des Impulse Druckkraft und Reibung Schwerkraft (Erdbeschleunigung)

Kreuzprodukt http://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt rechte Hand Regel kartesische Koordinaten: ex x ey = ez ey x ex = - ez ez x ex = ey ez x er = e Zylinder-Koordinaten: er x ez = - e

Kreuzprodukt http://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt Schade/Kunz: Strömungslehre

zeitliche Änderung des Impulse Druckkraft und Reibung Grundlagen Strömungsmaschinen – Eulersche Strömungsmaschinengleichung Multiplikation (Kreuzprodukt) des Impulssatzes mit r zeitliche Änderung des Impulse Druckkraft und Reibung Schwerkraft (Erdbeschleunigung)

Grundlagen Strömungsmaschinen – Eulersche Strömungsmaschinengleichung Für einen Stromfaden folgt nach rein mathematischer Umformung: mit ds/dt=c der Kontinuitätsgleichung und dem Moment in den Endflächen ME folgt und für stationäre Strömungen folgt der Eulersche Momentensatz

Grundlagen Strömungsmaschinen – Eulersche Strömungsmaschinengleichung Die Eulersche Strömungsmaschinengleichung aus mit Momente werden auf die Drehachse bezogen oder verschwinden aufgrund der Orientierung der Normalenvektoren der Endflächen Dem Betrage nach folgt

Grundlagen Strömungsmaschinen – Eulersche Strömungsmaschinengleichung Für Strömungsmaschinen (Turbine oder Pumpe) gilt 1 = Laufradeintritt, 2= Laufradaustritt. (stets positiv!) für Turbinen für Ventilatoren/Pumpen/Verdichter (Eulersche Strömungsmaschinengleichung) - kompressible und inkompressible Strömungen - mit und ohne Reibung der Strömung im Schaufelgitter. Die Eulersche Strömungsmaschinengleichung gilt somit für hydraulische und thermische Strömungsmaschinen.

Grundlagen Strömungsmaschinen – Eulersche Strömungsmaschinengleichung Umformung für eine anschauliche Interpretation (Cosinus-Satz) (Skalarprodukt alles ┴ wird zu 0!) Quadrieren des Geschwindigkeitsdreiecks ergibt eingesetzt folgt

Grundlagen Strömungsmaschinen – Eulersche Strömungsmaschinengleichung In die Eulersche Strömungsmaschinengleichung eingesetzt folgt für Turbinen für Ventilatoren/Pumpen/Verdichter Änderung der spezifischen kinetischen Energie im Absolutsystem (z.B. durch Beschleunigung der Strömung bei Pumpen oder durch Verzögerung der Strömung bei Turbinen) Differenz der spezifischen kinetischen Energie durch Änderung der Fliehkräfte am Ein- und Austritt Änderung der spezifischen kinetischen Energie im Relativsystem (z.B. die spezifische Verzögerungsarbeit der Strömung bei einer Pumpe und die spezifische Beschleunigungsarbeit der Strömung bei einer Turbine). … unterscheidet Radial- und Axial- maschinen!

Grundlagen Strömungsmaschinen – Eulersche Strömungsmaschinengleichung Verknüpfung Laufradströmung(Rotor) mit Rohrströmung (1-dimensionale Stromfadentheorie) [ m2/s2 ] Strömungsmaschine(Ventilator) Verluste (Reibung und Einbauten)