HELIOSEISMOLOGIE & ASTEROSEISMOLOGIE IV. Oszillationsgleichungen Markus Roth & Svetlana Berdyugina Fakultät für Mathematik und Physik Albert-Ludwigs-Universität Freiburg Kiepenheuer-Institut für Sonnenphysik

Überblick stellare Oszillationen

Eigenschaften von Sonnen(-ähnlichen) Pulsationen Kleine Amplitude; können deshalb als lineare Störungen des Gleichgewichts angesehen werden Perioden sind viel kürzer als thermische Zeitskala in den meisten Sternen; deshalb Annahme adiabatischer Oszillationen gerechtfertigt. Modi sind wahrscheinlich hauptsächlich durch den konvektiven Fluss und turbulente Druckstörungen gedämpft Modi werden stochastisch durch die Konvektion angetrieben Amplituden werden durch ein Gleichgewicht zwischen Energiezufuhr und Dämpfung bestimmt. Deshalb gibt es Anregung von beobachtbaren Oszillationen über einen breiten Frequenzbereich Nicht-sonnenähnliche Oszillationen: Intrinsisch getrieben, der Stern funktioniert wie eine Wärmemaschine (in der kritischen Schicht) Begrenzung der Amplitude unklar, führt zur irregulären Auswahl von beobachtbaren Modi

Pulsierende Sterne im HR Diagramm

Grundgleichungen der (nicht-viskosen) Hydrodynamik

Energie Gleichung, adiabatische Näherung Relative Größen:

Kleine Störungen um das Gleichgewicht

Linearisierte Grundgleichungen Kontinuitätsgleichung Bewegungsgleichung Poisson Gleichung Adiabatizität

Schallwellen im homogenen Medium

Innere Schwerewellen In Wirklichkeit hat man erhöhte Trägheit wegen horizontaler Bewegungen

Stern zum „Leben“ erwecken Statischer Stern – eindimensional: Masse m ist keine geeignete Koordinate mehr, um dreidimensionale Bewegungen im Stern zu beschreiben Bewegung eines Gaspakets mit Masse m im dreidimensionalen Stern: Bewegungsgleichung (3D) Kontinuitätsgleichung (keine Massenquellen und -senken)

Grundgleichungen der (nicht-viskosen) Hydrodynamik

Störungen dieses zeitabhängigen Modells – durch kleine Bewegungen Alle Größen können in der Form © (r ,t) = ©0(r) + ©‘(r, t) , wenn ©‘ << ©0 geschrieben werden. gestörte Größe = Gleichgewichtsmodell + kleine zeitabhängige Störung ) Einsetzen in die Grundgleichungen der Hydrodynamik ) Beibehalten von Termen bis erster Ordnung in der Störung ) Abziehen der Gleichgewichtsgrößen

Linearisierte Grundgleichungen Kontinuitätsgleichung Bewegungsgleichung Poisson Gleichung Adiabatizität

Separation von (, ) Separation der Auslenkung in Radialteil und Horizontalteil (radiale Richtung hat besonderen Status): Bewegungsgleichung separiert dann auch: Radiale Komponente Horizontale Komponente Kontinuitätsgleichung:

Separation von (, ) Divergenz anwenden auf horizontalen Bewegungsgleichung: Divergenz von Gleichgewichtsgrößen verschwindet, da keine horizontalen Anteile Einsetzen der Kontinuitätsgleichung: Poisson Gleichung ausgeschrieben für Radial- und Horizontalteil:

Die letzten drei Gleichungen nochmals Ableitung nach den Winkelvariablen µ u. Á nur in Verbindung mit ! weitere Vereinfachung möglich Bis jetzt: Gleichungen sind ein System partielle Differentialgleichungen in erster Ordnung in den vier Variablen

Separation von (, ) Ziel, Abhängigkeit von den Winkelkoordinaten weiter vereinfachen. Weiterer Separationsansatz mit Funktion f(, ) in der Art, dass f(, ) Eigenfunktion des horizontalen Laplace-Operators ist: Koeffizienten sind unabhängig von Á, d.h. weitere Separation f(µ,Á ) = f1(µ) f2(Á) Erfüllt mit

Separation von (, ) Ergebnis: Die r-abhängigen Variablen in dem Differentialgleichungssystem können geschrieben werden als: Den gemeinsamen Faktor Ylm exp (-i!t) kürzt man aus den Gleichungen heraus und erhält ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen: Energiegleichung:

Separation von (, ) Separation der skalaren Größen, z.B: Auslenkungsvektor: Effekt des horizontalen Laplace Operators auf eine beliebige Störung ’:

Kugelflächenfunktionen

Nicht radiale Modi: Quadrupol Modus Schwingungen in Sternen Nicht radiale Modi: Quadrupol Modus l=2, m=0 l=2, m=2 Rich Townsend

Schwingungen in Sternen

Separierte Gleichungen Separation der Zeit gemäß exp(- it); adiabatische Oszillationen: Lamb Frequenz, Schallgeschw., Brunt-Väisälä-Frequenz System gewöhnlicher Differentialgleichungen vierter Ordnung für die vier Variablen:

Randbedingungen Im Zentrum singulärer Punkt (Taylor-Entwicklung in r) Für l ≠ 0 folgt: »r » rl-1, p’, ©’ » rl; für l=0: »r» r An der Oberfläche: r=R 1. Forderung der Kontinuität der Lösung und ihrer Ableitung; außerhalb des Sterns verschwindet die Dichtestörung, Poisson Gl. analytisch lösbar. Im Unendlichen : 2. Lagrangesche Druckstörung verschwindet: Die Diff.Gl.en und Randbedingungen bestimmen die Frequenzen (Eigenwert) wnl

Frequenzabhängigkeit vom inneren Aufbau der Sonne Frequenzen hängen von dynamischen Größen ab: Jedoch können aus dem hydrostatischen Gleichgewicht und der Poisson-Gleichung p und g aus ½ bestimmt werden. Deshalb sind adiabatische Oszillationen vollständig charakterisiert durch oder äquivalent

Relevante Aspekte des inneren Aufbaus der Sonne Schematischer Aufbau der Sonne Dünner gestreifter Bereich nahe der Oberfläche: Physik unsicher wegen Effekten von Konvektion, Nicht-Adiabatiziät, … Boden der Konvektionszone: Konvektiver Overshoot und Diffusion führen zu Unsicherheit Aufbau des adiabatischen Teils der Konvektionszone: ist durch die Zustandsgleichung (EOS) und die konstante spezifische Entropie und die chemische Zusammensetzung bestimmt Unterhalb der Konvektionszone: hängt der Aufbau auch von der Opazität und der Energieerzeugungsrate ab.

Frequenzen von Model S n = w / 2 p Beobachtete Modi der Sonne

Experimenteller Beweis Franz-Ludwig Deubner, 1974

Genäherte Gleichungen Hohe radiale Ordnung ! Störungen variieren schneller mit r als Gleichgewichtsgrößen ) Ableitungen von Gleichgewichtsgrößen vernachlässigbar Cowling Näherung Kombination der zwei verbleibenden Gleichungen:

Moden-Einfang (“Mode Trapping”) Lokales Verhalten von »r hängt vom Vorzeichen von K(r) ab: K positiv: lokales oszillieren K negativ: exponentielles Verhalten Eigenfunktionen oszillieren als Funktion von r, falls

Asymptotische Frequenzen Dispersionsrelation für akustische Wellen Deshalb

Wellenpfade

Ort des Umkehrpunkts

Einfluß auf Eigenfunktionen rt rt

Aus den Tönen, auf den Aufbau des Instruments schließen Seismologie der Sonne Unterschiedliche Wellen laufen durch unterschiedliche Bereich in der Sonne → Information aus verschiedenen Tiefen Seismologie der Sonne damit möglich „Helioseismologie“ Aus den Tönen, auf den Aufbau des Instruments schließen Voraussetzungen: Sehr genaue Messung der Frequenzen, um die Wellen trennen zu können → lange u. ununterbrochene Messungen Frequenzauflösung:

Asymptotische Frequenzen Dispersion Beziehung für akustische Wellen Deshalb Bedingung für stehene Wellen mit oberflächengeneriertem Phasensprung a Folgerung: Duvall’sches Gesetz (Duvall 1982; Nature 300, 242)

Beobachtetes Duvall’sches Gesetz

Beobachtetes Duvall’sches Gesetz

Beobachtetes Duvall’sches Gesetz

Beobachtetes Duvall’sches Gesetz

Beobachtetes Duvall’sches Gesetz

Beobachtetes Duvall’sches Gesetz F(w)

Innerer Aufbau der Sonne Inversion der Integralgleichung für die Schallgeschwindigkeit (ähnlich für die Dichte): Schallgeschwindigkeit Dichte  [g/cm3] c2 [m2/s2] (Vorontsov, 2002) (Kosovichev, 1996) Differenz zwischen theoretischem Modell und Helioseismologie: ca. 2%

Zentraltemperatur der Sonne Die Zentraltemperatur der Sonne beträgt: 15,7 Millionen Grad Celsius Unsicherheit: 2% (Vorontsov, 2002)

Eine rigorosere asymptotische Analyse (I) Verallgemeinerung einer Analyse von Lamb (1909) von D. Gough (Deubner & Gough 1984) Annahmen: Cowling Näherung Keine Ableitung der Gravitationsbeschleunigung, quasi-planparallele Näherung Thermodynamische Variationen erlaubt, inklusive g1

Eine rigorosere asymptotische Analyse (II) p-mode trapping

Eine rigorosere asymptotische Analyse (III) p mode g mode

Eine rigorosere asymptotische Analyse (IV)

Linearisierstes Duvall’sche Gesetz Linearisieren in Dann oder mit

Beispiel: Einfluß von Absacken (“Settling”) (Settling) – (kein Settling)

Frequenz Differenzen

Oberflächenterm Ohne “Settling”: Ys = 0.280 “Settling”: Ys = 0.249

Frequenz Differenzen, Sonne – Modell