Das quasi-geostrophische System

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1 Das quasi-geostrophische System
Vertikalbewegungen sind von entscheidender Bedeutung für das Wettergeschehen, da sie beispielsweise durch Abkühlung zur Wolken- und Niederschlagsbildung beitragen. Die quasi-geostrophische Diagnostik gibt eine Erklärung für die großräumigen Vertikalbewegungen und einen Einblick in die Dynamik der atmosphärischen Strömung. Es zeigt sich, dass vor allem die Vergenzen in der Höhenströmung ausschlaggebend für das Vorzeichen und die Stärke der Vertikalbewegung sind, sowie auch für die daran gekoppelten Entwicklungen im Bodendruckfeld. Die auf- und abwärts gerichteten Bewegungen sind deshalb räumlich und zeitlich untrennbar mit der Entstehung, Entwicklung und Verlagerung von Hoch- und Tiefdruckgebieten verbunden. Die quasi-geostrophische Theorie geht davon aus, dass die Atmosphäre jederzeit nach einem Gleichgewicht zwischen Massen-, Druck- und Windfeld strebt. Es werden hydrostatische Verhältnisse und eine Balance zwischen dem Vorticity- und Druckfeld angenommen.

2 Das quasi-geostrophische System
p-System horizontale Bewegungsgleichungen hydrostatische Grundgleichung (im Zusammenhang zwischen T und ) Kontinuitätsgleichung

3 Das quasi-geostrophische System
1. Hauptsatz der Wärmelehre wobei Die vorgestellten Gleichungen sind für die Analyse auf der synoptische Skala nicht geeignet. Durch eine Skalenanalyse wird gezeigt, dass für Systeme in den mittleren Breiten die Tendenz des Geopotenzials ( ) als auch  alleine durch die Verteilung des Geopotenzials () bestimmt werden können. Mit Hilfe der hydrostatischen Grundgleichung und mittels der Entropie kann der 1. Hauptsatz der Wärmelehre geschrieben werden als:

4 Für eine stabile Atmosphäre ( ) gilt:  > 0
Das quasi-geostrophische System wobei der statische Stabilitätsparameter () definiert wird, durch: Für eine stabile Atmosphäre ( ) gilt:  > 0 Näherung: Auf der synoptischen Skala ist die horizontale Geschwin-digkeit (v) in etwa gleich der geostrophischen Windgeschwindigkeit (vg). Somit gilt:

5 Das quasi-geostrophische System
Näherung: << 1 Das diabatische Heizen wird im quasi-geostrophischen System generell vernachlässigt. Für Zeitskalen von mehreren Tagen sollten die diabatischen Prozesse allerdings berücksichtigt werden. Mit diesen Näherungen wird der 1. Hauptsatz der Wärmelehre vereinfacht: Da  = () (ohne Beweis) lässt sich der vereinfachte Hauptsatz allein durch das Geopotenzial () und  bestimmen. In einer hydrostatischen Atmosphäre gilt auf einer isobaren Fläche: entspricht ebenfalls der Schichtdicke  falls p  0, d. h. genau:

6 Das quasi-geostrophische System
B C A: lokale zeitliche Temperaturänderung auf isobarer Fläche B: Temperaturadvektion durch den geostrophischen Wind C: adiabatische Erwärmung (Abkühlung), d. h. das ist die Temperatur- änderung die ein Luftpaket in einer stabil geschichteten Atmosphäre erfährt, wenn es beim adiabatischen Auf-(Ab)stieg expandiert (komprimiert wird). Nun werden die horizontalen Bewegungsgleichungen durch die Vorticitygleichung ersetzt (diese wird bekanntlich aus diesen hergelei-tet) und diese wird im Sinne der großskaligen „Verhältnisse“ vereinfacht. Zusätzlich wird sie geostrophisch approximiert: Die Vorticitygleichung lautet:

7 Das quasi-geostrophische System
Von links nach rechts: lokale zeitliche Änderung der relativen Vorticity horizontale Advektion absoluter Vorticity vertikale Advektion relativer Vorticity Divergenzterm „Twisting“- oder „Tilting“-Term Näherung: In den mittleren Breiten lässt sich die Vorticitygleichung mittels einer Skalenanalyse auf der synoptischen Skala stark vereinfachen: Vernachlässigung von Vernachlässigung des „Twisting“ Terms im Advektionsterm

8 mit y=0 auf der Breite 0 und:
Das quasi-geostrophische System -Flächen-Approximation („ -plane approximation“): Taylor-Entwicklung von f auf der Breite 0: Offenbar ist die Veränderung des Coriolisparameters vernachlässigbar, wenn sich die Bewegung in Richtung der Pole nicht weit von der Ausgangsbreite 0 entfernt. Einführung der geostrophischen Näherung für die relative Vorticity ersetzt: 0 mit y=0 auf der Breite 0 und: Durch den horizontalen Laplaceoperator entspricht nun die Krümmung der Druckflächen der relativen Vorticity. Die Krümmung des Geopotenzials ist also ein direktes Maß für die vorherrschende Wirbelstärke.

9 Das quasi-geostrophische System
In Gebieten, in denen die isobaren Flächen „eingedellt (aufgewölbt)“ sind (positive (negative) Krümmung), besitzt das Windfeld positive (negative) relative Vorticity. Das Druckfeld steht in geostrophischer Balance mit dem Vorticityfeld. Es ergibt sich die quasi-geostrophische Vorticitygleichung: mit An Orten an denen die aus der Advektion resultierende lokale Vorticity-änderung nicht von einer genau abgestimmten Potenzialtendenz (oder umgekehrt) begleitet wird, müssen im Windfeld Vergenzen auftreten.

10 Das quasi-geostrophische System
Bemerkung: Auf der -Fläche gilt: Deshalb kann v im Divergenzterm der Vorticitygleichung nicht durch vg ersetzt werden! Die ageostrophischen Windkomponenten sind entscheidend für: Auf der synoptischen Skala ist die durch die Divergenz induzierte Vertikalbewegung notwendig, damit die Atmosphäre bei einer Änderung der Temperatur hydrostatisch bleibt und damit die Veränderungen der Vorticity geostrophisch ablaufen. Aufgrund: kann die quasi-geostrophische Vorticitygleichung alternativ folgendermaßen geschrieben werden:

11 Das quasi-geostrophische System
Da g und vg durch das Geopotenzial () bestimmt werden, kann aus der obigen Gleichung allein mit Hilfe von  und das -Feld bestimmt werden. Durch den vereinfachten 1. Hauptsatz der Wärmelehre und die quasi-geostrophische Vorticitygleichung kann die Geopotenzialtendenz ( ) und  allein durch die Beobachtung der aktuellen Verteilung des Geopotenzials () bestimmt werden. D. h. in den mittleren Breiten ist es möglich die Entwicklung auf der synoptischen Skala ohne direkte Messungen des Geschwindigkeitfeldes abzuleiten. Die beiden obigen Gleichungen werden als quasi-geostrophisches System bezeichnet und bilden den Kern der modernen dynamischen Meteorologie.

12 Die -Gleichung Sei Dann ergibt sich aus dem vereinfachten 1. Hauptsatz der Wärmelehre und der quasi-geostrophic Vorticitygleichung: () und () Durch die Anwendung des Laplace-Operators auf Gl. (), folgt unter der Annahme das  konstant ist: Mittels Ableitung von Gl. () nach p ergibt sich:

13 Die -Gleichung Durch die Subtraktion der letzten von der vorletzten Gleichung lässt sich die -Gleichung herleiten: A B C Berücksichtigung diabatischer Effekte Eigenschaften: enthält keine zeitlichen Ableitungen => diagnostische Gleichung benötigt keine ageostrophischen Windkomponenten lösbar als elliptische Differenzialgleichung unter der Kenntnis von  und Randbedingungen Term D: diabatische Wärmezufuhr (J), J > 0 => Aufsteigen (s. u.) . D

14 z Die -Gleichung Term A: Term A ist prop. zu -  bzw. prop. zu w, denn: Annahme:  ist in der Horizontalen und Vertikalen wellenförmig verteilt (Diese Annahme ist möglich, da sich  offenbar in eine Fourierreihe entwickeln lässt. Im Folgenden ist deshalb die Betrachtung eines einzigen Gliedes der Fourierreihe ausreichend.) Dann lässt sich mit p0=1000 hPa, k=2/Lx und l=2/Ly (Lx bzw. Ly: Wellenlänge in x bzw. y-Richtung, d. h. k,l << 1) schreiben:  Dann folgt: Da < 1 bewirken die zweifachen räumlichen Ableitungen eine Glättung von .

15  Die -Gleichung Term B:
Aufsteigen (Absinken) bei mit der Höhe zunehmender Advektion positiver (negativer) absoluter Vorticity Dabei ist im quasi-geostrophischen Sytem gewährleistet, dass die relative Vorticity geostrophisch ausbalanciert ist. Durch die Anwendung des inversen Laplace-Operators auf die geostrophische relative Vorticty wird das Geopotenzial () geglättet.  Rot (Blau): absolute Vorticity-advektion > (<) 0

16 Die -Gleichung Term B: Annahme: die relative Vorticityadvektion ist stärker als die planetare (dies ist bei einem Kurzwellentrog stets der Fall) Aufsteigen (Absinken) herrscht bei mit der Höhe zunehmender Advektion relativer zyklonaler Vorticity. g+g Mit abnehmenden Druck steigen die negativen Werte an. Da der Wind an der Polarfront bis etwa 300 hPa zunimmt, bewirkt Term B in den darunter liegenden Niveaus aufsteigende Vertikal-bewegungen. g g- g w < 0 w > 0

17 Term B: physikalische Interpretation (Teil I)
Die -Gleichung Term B: physikalische Interpretation (Teil I) Annahme: kurze, sich nicht in der Amplitude verändernde, barokline Welle, bei der keine Temperaturadvektion auftritt, d. h. Temperatur- und Geopotenzialwelle sind in Phase Grundstrom und Vorticityextrema gewinnen mit der Höhe an Stärke planetare Vorticityadvektion ist vernachlässigbar  Trogvorder- (rück)seite: positive (negative) Vorticityadvektion  Aufsteigen (Absinken) nach -Gleichung Quelle: die adiabatische Abkühlung bei der Aufwärtsbewegung trägt zur Abnahme des Geopotenzials bei

18 Term B: physikalische Interpretation (Teil II)
Die -Gleichung Term B: physikalische Interpretation (Teil II) Trogvorderseite (Rückseite analog): quasi-geostrophische Vorticity- gleichung die allein aus der Advektion der absoluten Vorticity resultierende lokale Wirbeltendenz ist in der unteren (oberen) Troposphäre kleiner (größer) als die auf den jeweiligen Potentialfall abgestimmte geostrophische Vorticityänderung Verstärkung (Abschwächung) der Vorticity durch Konvergenz (Divergenz) [vgl. Eisläufer] Aufsteigen divergenzfreies Niveau (~500 hPa) Erhaltung der geostrophischen Vorticitybalance ohne Vergenzen Quelle:

19  Die -Gleichung Term C:
Annahme: Die Schichtdickenadvektion ist in der Horizontalen sinusförmig verteilt. Dann gilt: Aufsteigen (Absinken) herrscht bei positiver (negativer) Schichtdicken- advektion Da , zeigt bei positiver Schichtdickenadvektion (die betrag-lich höhere Schichtdicke wird advehiert) in Richtung von vg!  -( ) >0 Quelle: Fig in Holton (1979)

20 Term C/D: physikalische Interpretation
Die -Gleichung Term C/D: physikalische Interpretation Antrieb durch Temperaturadvektion (gilt analog für diabatische Wärmezufuhr) Gebiete mit relativ stärkster Warmluft- advektion [relativ: im Vergl. zur Umgebung] Schichtdicke wächst im Vergleich zur Umgebung am stärksten an vertikale Streckung der Luftsäule, auf- wärts zunehmende Aufwölbung und negative Krümmung der Druckflächen nimmt zu Quelle: quasi-geostrophische Therie: Veränderung der Vorticity quasi-geostrophische Vorticitygleichung: Divergenz muss mit der Höhe zunehmen (falls keine Vorticityadvektion auftritt) mittlere Troposphäre: ausgleichende Luftbewegung durch Aufsteigen untere Troposphäre: Massenverlust  Potenzialfall  Konvergenz

21 Literatur: Holton, J. R., 1994: An Introduction to Dynamic Meteorology. San Diego, 535 S. (L HOL 4) Kurz, M., 1990: Synoptische Meteorologie. Leitfäden für die Ausbildung im Deutschen Wetterdienst Nr. 8. Offenbach/Main, 97 S. (L DWD VIII) Pichler, H., 1997: Dynamik der Atmosphäre. Heidelberg, Berlin, Oxford, 572 S. (L PICH)  Tutorial  die Antriebe für Vertikalbewegungen