m Elektrodynamik x 1. Elektromagnetische Wellen D γ 1.1. Schwingkreise Q 1.1.1. Freie Schwingung Maschenregel D γ m x Mechanisches Analogon: Übersetzung: Mechanik Elektrodynamik x Q m L R D C1
Lösung übersetzt aus Mechanik: Q Schwingfall: Aperiodischer Grenzfall: Kriechfall:
1.1.2. Erzwungene Schwingung ( Übersetzung aus Mechanik) Serienschwingkreis: U(t) R C L Q I D γ m x F(t) Resonanzfrequenz: Z R minimal Bandbreite:
Parallelschwingkreis: U(t) QC I R C L IL m xm D F(t) γ x Kleine Dämpfung Resonanzfrequenz: maximal Bandbreite:
1.1.3. Gekoppelte Schwingkreise ( gekoppelte mechanische Schwinger ) R1 C1 L1 I1 Q1 R2 C2 L2 I2 Q2 L12 Induktive Kopplung: Lösungsweg: Transformation auf Normalkoordinaten Beispiel: L1L2 L C1C2C R1R2 R Normalkoordinaten: Eigenfrequenzen: Normalmoden ( Schwingfall ):
Analoges Verfahren Kapazitive Kopplung: R1 C1 L1 R2 C2 L2 Ck Galvanische Kopplung: R1 C1 L1 R2 C2 L2 Rk
1.1.4. Erzeugung ungedämpfter Schwingungen Beispiel: Meißner-Schaltung L C R1 C1 L C R1 C1 sperrt Schwingphase 1 autarker Schwingkreis Schwingkreis npn-Transistor als elektronischer Schalter Lade-Widerstand Puffer-Kondensator
npn-Transistor als elektronischer Schalter 1.1.4. Erzeugung ungedämpfter Schwingungen Beispiel: Meißner-Schaltung L C R1 C1 L C R1 C1 leitet Schwingphase 2 Nachladung Schwingkreis npn-Transistor als elektronischer Schalter Lade-Widerstand Puffer-Kondensator
1.2. Elektromagnetische Wellen auf Leitern 1.2.1. Die Telegraphengleichung viele gekoppelte Schwinger Kontinuumsübergang Wellen Beispiele: Leitermantel , I ( x , t ) d I ( x , t ) d x Doppelleitung ( Flachbandkabel, Twisted Pair ) Koaxialkabel ( Koax-Kabel ) dx Ersatzschaltbild: x dR dL dC Beispiel: d mm ≪ 30 GHz Voraussetzung: d c ≪ T bzw. ≪ c d d. h. lokal gelten weiterhin die Gesetze der Quasistatik!
x Am Ort x zur Zeit t: dx dR dL dC dR dL dC Maschenregel: für dx Also:
Am Ort x zur Zeit t: dx x dR dL dC dR dL Knotenregel: Also:
Telegraphengleichung Folgerung: Telegraphengleichung Wellengleichung mit Dämpfung
Phasengeschwindigkeit Spezialfall: ideale Leiter Wellengleichung Phasengeschwindigkeit Lösung: ( Tafelrechnung, Handout ) Dispersionsrelation Wellenwiderstand (Impedanz) Ak ℂ-Amplitude zu harmonischem Anteil (k), Laufrichtung x Bk ℂ-Amplitude zu harmonischem Anteil (k), Laufrichtung x
1.2.2. Signalkabel Koaxialkabel Flachbandkabel 2 b 2 a 2 r d ≫ r Vakuum-Wellenwiderstand Vakuum-Lichtgeschwindigkeit Brechungsindex
Phasengeschwindigkeit: Bemerkung: Die Phasengeschwindigkeit hängt nicht von k ab. Alle harmonischen Komponenten laufen gleich schnell im Kabel. Pulsformen bleiben erhalten. Es gibt keine Dispersion. Bemerkung: Reales Kabel, . Die harmonischen Komponenten werden k-abhängig absorbiert. Pulsformen bleiben nicht erhalten; Pulse zerfließen. Es gibt Dispersion.
x Behandlung von Übergängen zwischen Kabeln (exemplarisch): Puls Harmonische Komponenten für x 0: einlaufend: reflektiert: Reflexionskoeffizient Harmonische Komponenten für x 0: transmittiert: Transmissionskoeffizient
x 0: x 0: Stetigkeit von U und I bei x 0 (Grund: am Übergang endlich) aber I x offenes Ende: kurzgeschlossenes Ende: perfekte Anpassung:
erfüllen den ganzen Raum 1.3. Elektromagnetische Wellen im Vakuum 1.3.1. Hertzscher Dipol erfüllen den ganzen Raum Übergang: offener Schwingkreis Quasistatik versagt Eigendynamik der Felder wird wichtig Abstrahlung elektromagnetischer Wellen
Ungedämpfter Oszillator Antenne (Sender / Empfänger) Dämpfung: Ohmscher Widerstand der Antenne Abstrahlung elektro-magnetischer Wellen Sender mit induktiver Energieeinspeisung: Ungedämpfter Oszillator 0 Energie L12 L 0 Resonanzfrequenz ?
z L ZW Wechselstromleitung in Antenne (Dämpfung vernachlässigt): Telegraphengleichung & Randbedingungen z ZW L Tafelrechnung mit m ℕ Kontinuitätsgleichung Tafelrechnung Linienladungsdichte Tafelrechnung schwingender Dipol Hertzscher Dipol
L Anschauliches mikroskopisches Modell: Dipolnäherung Bewegung der Ladungsschwerpunkte d0 L d0 ist sehr viel kleiner als L feste Ionenrümpfe (Gesamtladung Q) frei bewegliche Elektronen (Gesamtladung Q)
Abstrahlung elektromagn. Wellen vom Hertzschen Dipol ( Theorie VL) wechselseitige Anregung Nahfelder: Dynamik des Stromflusses (Quasistatik) E- und B-Feld 90 phasenverschoben Eigendynamik der Felder Fernfelder: E- und B-Feld phasengleich dominant für r » d0
Zeitentwicklung des E-Feldes
Zeitentwicklung des E-Feldes …
E- und B-Fernfelder
(max. in Äquatorialebene) Qualitative Eigenschaften der Fernfelder: z -Feld konzentrisch um Dipolachse (max. in Äquatorialebene) mittlere Energiestromdichte mittlere abgestrahlte Leistung Abstrahlcharakteristik (max. in Äquatorialebene) z Abstrahlung 4 senkrecht zur Dipolachse
Strahlung in großem Abstand von der Sendeantenne, r » d: Krümmung der Phasenflächen zu vernachlässigen Ebene Wellen, Polarisation ∥ Strahlung senkrecht zur Antenne (x-Richtung): z x y
1.3.2. Abstrahlung einer beschleunigten Ladung Interpretation q Momentaufnahme eines Hertzschen Dipols Antenne Ladungsschwerpunkt der freien Ladungsträger Beschleunigte Ladungen strahlen (in ihrem Ruhesystem) e.m.-Wellen aus (Dipolstrahlung mit Beschleunigungsrichtung als Dipolachse) q v c q v c q v 0
Anwendung: Röntgenstrahlung Vakuumröhre ,,Bremsstrahlung“ Glühkathode Anode e p n e Kern im Anodenmaterial Röntgenstrahlen (X-Rays) zur Patientin Anwendung: Synchrotronstrahlung ( Beispiel: BESSY II ) Elektronen-Synchrotron Radius typisch 100 m e Synchrotronstrahlung Strahlung ist… intensiv & eng gebündelt kurz gepulst breitbandig (bis X-Rays) polarisiert
Beispiel: Himmelsblau Streuung von Sonnenlicht an N- und O-Atomen der Atmosphäre Strahlungsintensität des Hertzschen Dipols Elektronenhülle eines Atoms Blau wird viel stärker gestreut als Rot blauer Himmel Streuung azimutal symmetrisch Keine Streuung entlang der Dipolachse keine Streuung entlang des E-Vektors des einfallenden Strahls Schwingung des Ladungsschwerpunkts Hertzscher Dipol von Sonne weiß unpolarisiert rötlich bläulich voll polarisiert Polfilter-Anwendung in Fotografie: Abdunklung vom Himmelsblau, dramatische Stimmung Veränderung des Farbkontrasts
Plancksches Wirkungsquantum 1.3.3. Das elektromagnetische Spektrum Charakterisierung: Plancksches Wirkungsquantum h 6.6261034 Js Frequenz Wellenlänge Photonenergie (Photon: Feldquant des e.m.-Feldes) Ultralangwelle: 1 Hz 300000 km 400 nm 700 nm Violett Rot kosmische Gammastrahlung: E ≲ 1014 eV 100 TeV ≳ 1020 m
c Phasengeschwindigkeit 1.4. Analogie: Mechanische Systeme 1.4.1. Erinnerung: Wellengleichungen N 3: abstrakte Räume in Feldtheorie ... (x1,x2,,xN,t) N: Dimension eines elastischen kontinuierlichen Mediums N 2: Membran, Platte, Glocke, ... (x,y,t) N 3: Festkörper, Flüssigkeitsvol., Gasvol., ... (x,y,z,t) x,t N 1: Stab, Saite, ... x Longitudinalwelle Transversalwelle Linearer Elastizitätsbereich (Hookesches Gesetz) Wellengleichung (isotropes Medium) c Phasengeschwindigkeit
Isotrope elastische Materialkonst. Herleitung der Wellengleichung aus dem Hamiltonschen Prinzip: kj: mikroskopische Federkonstanten für den Auslenkungstyp k1 k2 Auslenkung dm Massendichte: Isotrope elastische Materialkonst. z.B. Elastizitätsmodul, Torsionsmodul, Kompressionsmodul Kin. Energie: Pot. Energie:
kontinuierliche dynamische Variablen Auslenkung dm Massendichte: Definition: Lagrange-Funktion: mit mit Lagrangedichte: kontinuierliche dynamische Variablen gleichberechtigte Parameter
Euler-Lagrange-Gleichungen: Wirkung: Hamiltonsches Prinzip: Unser Beispiel: Wellengleichung
mit Dispersionsrelation Wellengleichung im isotropen Medium Allgemeine Lösung (vgl. Physik I): mit Dispersionsrelation Spezielle Lösungsklassen: harmonische Wellen: Kugelwellen: N 3 N 2
1.4.2. Schwingende Saite z L S Ruhelage (z,t) L S Ruhelage (z,t) Spannung S (Kraft auf die Einspannung) Saite: Masse m, Länge L ideal flexibel (keine Steifigkeit) Kleine Auslenkung Actio Reactio S Kraft zwischen benachbarten Saitensegmenten Auslenkung L L L V = SL Vergleich mit liefert: Phasengeschwindigkeit
z Saite: Masse m, Länge L ideal flexibel (keine Steifigkeit) L S Ruhelage (z,t) Spannung S (Kraft auf die Einspannung) Saite: Masse m, Länge L ideal flexibel (keine Steifigkeit) Lösung der Wellengl.: Zerlegung in Superposition ebener Wellen Randbedingungen: Allgemeine Lösung: mit Eigenschwingungen
Allgemeine Lösung: Grundfrequenz mit Eigenschwingungen 1 Bauch 0 Knoten n 1 Grundschwingung 2 Bäuche 1 Knoten n 2 1. Oberschwingung 3 Bäuche 2 Knoten n 3 2. Oberschwingung
Kein reiches Frequenzspektrum ungünstiger Zupfpunkt Anwendung: Saiteninstrumente Zupf-Anregung (Gitarre, Cembalo, Harfe, ) Anfangszustand: Fourier-Entwicklung An ,,Frequenzspektrum” Kein reiches Frequenzspektrum ungünstiger Zupfpunkt Anschauliche Fourierentwicklung für Zupfen bei L : groß klein
L h β·L Asymmetrisch gezupfte Saite: β = 1/3 n β = 1/10 n
Bewegung der gezupften Saite:
Ruheposition der Saite Streich-Anregung (Geige, Cello, ) Helmholtz-Bewegung Periode Teil 1: Saite haftet am Bogen und wird mitgeführt Periode Teil 2: Saite löst sich und schnellt zurück Streichgeschwindigkeit Schwingungsamplitude Spektrum ähnlich zum Zupfen Mittlere Auslenkung Zeit Auslenkung beim Bogen Ruheposition der Saite
Flacheres (d.h. reicheres) Frequenzspektrum als beim Zupfen Hammer-Anregung (Klavier, ): L V β·L Δ Idealfall: Flacheres (d.h. reicheres) Frequenzspektrum als beim Zupfen β = 1/3 n β = 1/10 n
Problem für Musikerzeugung mit Saiten: Saiten sind schwache Schallstrahler langer, aber sehr leiser Klang Ausweg: mechanische Kopplung ( z.B. Steg ) an andere Schwinger (Platten, Lufthohlräume Helmoltz-Resonator , die effektiv Energie abstrahlen Konzertgitarre Cello
1.4.3. Schwingende Membran y x Membran: Masse m, Fläche A ideal flexibel (keine Steifigkeit) Spannung: S S ds Spannkraft senkrecht auf Rand ds jedes Flächenelements Einspannung x y Kleine Auslenkung Auslenkung A A A V = SA Vergleich mit liefert: Phasengeschwindigkeit
y x Einspannung Wellengleichung … … in kartesischen Koordinaten (x , y) … in Polarkoordinaten (r , ) günstig für Rechteckmembran günstig für Kreismembran Errechnung der Eigenmoden durch Faktorisierungsansatz ( Tafel) : Besselfunktionen Zusätzlich: Randbedingung durch Einspannung:
Fall 1: Rechteckmembranen: Lx y Ly x Lösung der Wellengleichung: Superposition ebener Wellen Randbedingungen: Eigenfrequenzen Allgemeine Lösung: Eigenschwingungen
Eigenfrequenzen Allgemeine Lösung: Eigenschwingungen n = 1 m = 1 n = 2 m = 1 n Bäuche in x-Richtung m Bäuche in y-Richtung n1 Knotenlinien in x-Richtung m1 Knotenlinien in y-Richtung n = 1 m = 2 n = 2 m = 2 Saite: n n 1 harmonischer Klang Membran: nicht-harmonisches Spektrum Eine schwingende Membran erzeugt keinen Klang n = 3 m = 1 n = 3 m = 2 Chladni-Muster
Fall 2: Kreismembranen: x y r Fall 2: Kreismembranen: , pℕ0 Lösung der Wellengleichung: Superposition von Kreiswellen Randbedingung: Bezeichnung: pn n-te Nullstelle der p-ten Besselfunktion Jp (n ℕ) Allgemeine Lösung: Eigenschwingungen Eigenfrequenzen:
p = 0 n = 1 p = 1 n = 1 p = 2 n = 1 p = 3 n = 1 unharmonische Nullstellenfolge kein harmonischer Klang p = 0 n = 2 p = 3 n = 2 n Bäuche in r-Richtung 2p Bäuche in -Richtung n1 Knotenkreislinien p Knotendurchmesserlinien Chladni-Muster
Bemerkung: Transversal schwingende (dünne) Stäbe und Platten Ähnlich zu Saiten und Membranen Unterschied (1): Nichtlinearer Dispersionsrelation c c() Unterschied (2): Enden bzw. Rand frei / unterstützt / eingespannt Beispiel: Stab frei: unterstützt / eingehängt: eingeklemmt: Chladni-Muster nur qualitativ wie bei Saite / Membran
z 1.5. Elektromagnetische Hohlleiter und Resonatoren 1.5.1. Hohlleiter Literatur: K. Wille, ,,Physik der Teilchenbeschleuniger und Synchrotronstrahlungsquellen”, Teubner Hochfrequenzsysteme zur Teilchenbeschleunigung Mikrowellentransport Lichtleiter, Optoelektronik z Ausbreitungs-richtung ( kz ) total reflektierende Wand ( z.B. idealer Leiter ) Wellengleichung: Zusätzlich: Zeitseparation: Einsetzen mit
z Ausbreitungs-richtung ( kz ) total reflektierende Wand ( z.B. idealer Leiter ) Separation für Ez in : Bemerkung: Randbedingung ( reflektierende Wand ) stehende Wellen Benennung: kc heißt Grenzwellenzahl ( für die betrachtete Mode ) , heißt Grenzwellenlänge Ausbreitung in z-Richtung:
Ausbreitung in z-Richtung: Fall 1: exponentiell gedämpft bzw. unphysikalisch keine Ausbreitung Fall 2: Wellenausbreitung in z-Richtung
Dispersionsrelation: Ausbreitung in z-Richtung: Fall 2: Wellenausbreitung in z-Richtung Dispersionsrelation: Phasengeschwindigkeit: Gruppengeschwindigkeit:
y z x mit: Beispiel: Rechteckhohlleiter a > b b Beispiel: Rechteckhohlleiter kartesische Koordinaten günstig Moden Produkte ebener Wellen (vgl. Membran) Zusätzlich (Maxwellgleichungen): Einzig mögliche Amplituden-Phasen-Kombination: mit:
Zusätzlich Randbedingungen: E-Vektor am Rand Wand ( n,mℕ0 )
Transversal elektrisch: TEnm Transversal magnetisch: TMnm Zwei Moden-Klassen: Transversal elektrisch: TEnm Transversal magnetisch: TMnm TE10 TE01 TE20 TE11 TE02 TE30 TM11 TM21 TM12 TM31 TM22
Beispiel: TE10-Mode ( Fundamentalmode) x y z a > b b Beispiel: TE10-Mode ( Fundamentalmode) y x a b Ey Bx y z Ey Bz b x z a ⊙ ⊗ x a Ey Bx Bz
Bemerkung: Wahl der Frequenz derart, dass gilt: Folge: Nur die TE10-Mode wird geleitet Mono-Moden-Leiter
Fundamentalmode p=0, n=1 für Teilchenbeschleuniger z x y R Bemerkung: Zylindrische Hohlleiter Zylinderkoordinaten r z p 0 , 1 , n 1 , 2 , pn Nullstellen von TE Moden: TE11 TE21 TE01 TE31 TE41 TE12 TE51 TM Moden: TM01 TM11 TM21 TM02 TM31 TM12 TM41 Fundamentalmode p=0, n=1 für Teilchenbeschleuniger
Wanderwellen-Beschleunigungskavität Beispiel: Hochfrequenzstrukturen zur Beschleunigung von geladenen Teilchen Wanderwellen-Beschleunigungskavität HF-Quelle (Klystron) Zylindrische ,,Disk-Loaded-Structure” Phasengeschwindigkeit der e.m.-Welle Teilchengeschwindigkeit Rechteckiger Wellenleiter TE10 Teilchenpaket (e , e , p , ) TE10 (Rechteckiger Querschnitt) TM01-Mode E-Feld beschleunigend bei richtiger Phasenlage des Teilchenpakets Reflexionsfreier Absorber
1.5.2. Hohlraumresonator (Hohlleiter mit ideal leitenden ,,Deckeln“) Deckel zusätzliche Randbedingung in z stehende Wellen z x y L Deckel Hohlleiter ohne Deckel: Zusätzlich Randbedingungen: E-Vektor an Deckeln Wand (q ℕ0) Resonanzwellenlängen R: Resonanzfrequenzen: R R c Sehr kleine ohmsche Verluste in Wänden Hohlraumresonator ≙ Schwingkreis extrem hoher Güte
y x z a b L Deckel Beispiel: Rechteckresonator Deckel ohne Deckel Hohlleiter Resonator-Schwingungsmoden TEnmq: TMnmq: (TE001: Fundamentalmode)
TM01q r z Stehende-Wellen-Beschleunigungskavität Beispiel: Hochfrequenzstrukturen zur Beschleunigung von geladenen Teilchen Zylindrische ,,Disk-Loaded-Structure” Phasengeschwindigkeit der e.m.-Welle Teilchengeschwindigkeit HF-Quelle (Klystron) Stehende-Wellen-Beschleunigungskavität TM01q r z Teilchenpaket (e , e , p , ) E-Feld beschleunigend bei richtiger Phasenlage des Teilchenpakets Rechteckiger Wellenleiter TE10