Der F - Test Man prüft, ob sich 2 Varianzen unterscheiden, mit dem F-Quotienten: Geprüft werden stets die Schätzungen der Populationsvarianzen aufgrund der Stichprobendaten [Excel-Beispiel] Der Quotient ist F-verteilt mit n 1 -1 Zählerfreiheitsgraden und n 2 -1 Nennerfreiheitsgraden. Die größere der beiden Varianzen ist in den Zähler zu stellen. Der F-Test ist grundsätzlich einseitig. F-Verteilungen sind nicht symmetrisch und besitzen eine Schiefe, die von den beiden Freiheitsgraden abhängt. [Mathematica-Demo]

Bartlett-Test Prüft ebenfalls die Annahme der Varianzhomogenität (exakter) Es sollte = 0.25 gewählt werden, da man an der Beibehaltung der H0 interessiert ist. Der Test ist nur reliabel für normalverteilte Daten. [Rechenbeispiel]

Der U - Test Man hat ordinalskalierte Daten (Rangdaten) und testet, ob sich die Meßobjekte in 2 unabhängigen Gruppen in ihren Rängen unterscheiden. Beispiel: Nordd/Südd. Schüler im Schultest Nr Süd Nord Rang Süd Rang Nord Haben die Nord- und Süd. Schüler verschiedene Rankings nach ihrer Leistung im Schultest ? Ranking

Der U - Test Berechnung eines U – Wertes: Rangsummen Es gilt: Rang Süd Rang Nord Ferner: Man kann die Teststatistik alternativ über U oder U berechnen.

Der U - Test Berechnung der Prüfgrüße: Rangsummen mit Rang Süd Rang Nord U bzw. U sind normalverteilt: Unter H0 gilt: Prüfung in Standardnormalverteilung [Rechenbeispiel]

Der U - Test Bei Rangbindungen rechnet man mit einer Korrekturformel für die Streuung: Korrigierte Streuung: [Beispiel verbundene Ränge] mit: t i = Personen, die sich Rang i teilen (Länge der Rangbindung) k = Anzahl der Gruppen mit Rangbindungen

Der Wilcoxon - Test Man hat ordinalskalierte Daten (Rangdaten) und testet, ob sich die Meßobjekte in 2 abhängigen Gruppen in ihren Rängen unterscheiden. Beispiel: wie t- Test abhängig Unterscheiden sich die Rangsummen der Differenzen mit positivem und negativem Vorzeichen? Ranking von | | Nr Test 1 Test 2

Der Wilcoxon - Test Man hat ordinalskalierte Daten (Rangdaten) und testet, ob sich die Meßobjekte in 2 abhängigen Gruppen in ihren Rängen unterscheiden. Fall NrTest1Test2 | Rang (-) (-) TT 36 Prüfe Rangsummen T und T 9 5 T: Rangsumme für selteneres Vorzeichen

Rang TT' 369 Der Wilcoxon - Test Rangsummen Es gilt: Man kann die Teststatistik alternativ über T oder T berechnen. (Wird um Anzahl der Null- Differenzen reduziert) TT

Der Wilcoxon - Test Berechnung der Prüfgrüße: mit T bzw. T sind normalverteilt für N > 25: Unter H0 gilt: Prüfung in Standardnormalverteilung [Rechenbeispiel] Rang TT' 369 Rangsummen TT [für N 25 gesonderte Tabelle (Bortz, Tab. G)]

Wilcoxon -Vorzeichen-Rangtest Prüfung, ob ein Sollwert x 0 mit dem wahren Median übereinstimmt Beispiel: x 0 sei eine Vergleichsmiete einer anderen Stadt. Prüfe, ob die Mieten x i in einer anderen Stadt sich gleich um diesen Wert verteilen. (Einstichprobentest) [Rechenbeispiel] (für N 20 in gesonderter kritischer W-Tabelle nachsehen) 1. Berechne Differenzen: 2. Bringe die Beträge |d i | in eine Rangreihe, der kleinste Betrag bekommt Rang Bilde W + - Statistik: mit (W + ist Rangsumme der positiven Abweichungen vom Vergleichswert x 0 ) 4. Es gilt: (normalverteilte Prüfgröße)

Der Binomialtest Man habe einen wahren Anteil P. Kann man aufgrund von p sagen, daß in der Population tatsächlich der Anteil P zugrunde liegt? [Beispiele] In einer Stichprobe der Größe n beobachte man einen Anteil: Man testet einfach n A in der Binomialverteilung mit den Parametern n und P (=Binomialtest)

Die Stichprobenverteilung von Anteilen Man habe einen wahren Anteil P. [Beispiele] Gilt Es gibt die Sicherheit der Schätzung von Anteilen, abhängig von der Stichprobengröße n an (Stichprobenverteilung von Anteilen) so existiert für P das Konfidenzintervall mit Die Verteilung von Anteilen ist analog der Verteilung von Mittelwerten

Stichprobenverteilung der Differenzen von Anteilen [Beispiele] Gilt so sind Differenzen von Anteilen p = p 1 -p 2 normalverteilt mit Die Verteilung der Differenzen von Anteilen ist analog der Verteilung der Differenzen von Mittelwerten Man prüft die H0: P 1 =P 2 über die normalverteilte Prüfgröße

Chi-Quadrat Tests für Häufigkeiten 1.Zur Prüfung von Häufigkeitsunterschieden 2.Zur Prüfung der Unabhängigkeit zweier nominalskalierter Variablen 3.Zur Prüfung der Übereinstimmung einer empirischen mit einer theoretischen Verteilung

Chi - Quadrat Die generelle Form des Chi – Quadrat für Häufigkeiten ist: mit: Dieses Schema wird flexibel auf die jeweilige Fragestellung angewandt. Die Frage ist, nach welchem Kriterium sich die erwarteten Häufigkeiten ergeben ! Das einache 2 hat k-1 Freiheitsgrade, die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die 2 Verteilung.

Chi – Quadrat Test auf Unabhängigkeit Man hat eine l k Kreuztabelle: Merkmal B +- +o 11 o 12 B+ -o 21 o 22 B- A+ A- Merkmal A Erwartete Häufigkeit e ij : Ferner gilt:

Chi – Quadrat Test: Verteilungsanpassung Sind die Abweichungen von empirischer und theoretischer Verteilung nur zufällig oder systematisch?

Chi – Quadrat Test: Verteilungsanpassung 1.Die erwarteten relativen Häufigkeiten berechnet man aus der Differenz der Werte der Verteilungsfunktion für die exakten Intervallgrenzen 2.Die erwarteten Häufigkeiten ergeben sich durch Multiplikation mit der Anzahl der Beobachtungen N. [Tafelbeispiel]

Häufigkeitsverteilungen zu Aufgabe 3 beobachtet erwartet als Normalverteilung Vergleich: h(x)h(x) h(x)h(x) h(x)h(x) x x x