Vorlesung Prozessidentifikation Bestimmung von Ersatzsystemen zur Identifizierung gemessener Übergangsfunktionen 24. April 2002 Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes Fachbereich Elektrotechnik Goebenstr. 40 66117 Saarbrücken April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 3.1

Ermittlung von Ersatzübertragungssystemen Wichtige Identifikationsaufgabe Bestimmung eines Ersatzübertragungssystem auf Basis von Messdaten (Eingangs- und Ausgangssignale). Parametrischer Ansatz (grey box): Struktur des Übertragungssystems wird angenommen (PTx-Glied, Übertragungsverhalten mit Ausgleich) Die Wahl der Struktur muß mit dem Kurvenverlauf korrespondieren ! (z.B.: Kurvenverlauf ohne Ausgleich / PTx-Glied sinnlos). Die Kenngrößen / Parameter des Übertragungssystem (Struktur) muß aus der vorliegenden Kurven ermittelt werden ! April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 3.2

Beispiel Heizungsregelung Schema: Aufgabenstellung: Das Zeitverhaltens des Wohn- Raumes für die Heizungs- Regelung ist durch Identifikation zu bestimmen. Wirkungsplan: w u y Ein/Aus Regler Brenner Kessel Rohrleitung Körper Raum Luft Messen Gas April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 3.3

Beispiel Heizungsregelung Wirkungsplan w u1 y Regler Brenner Kessel Leitung Körper Raum Messen u1 u2 u3 u4 y Brenner Kessel Rohrleitung Körper Raum Pt PT1 PT1 PT1 Für Identifikation Raumverhalten  Kenntnis von u4 erforderlich April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 3.4

Vorgehensweise Einfachster Fall: Suche als Ersatzsystem ein System 1. Ordnung (PT1-Glied) Vorgehen: Ermittlung / Einzeichnen der Anstiegstangente im Wendepunkt des Kurvenverlaufes Bestimmung der Verzugszeit (Tu) und Ausgleichszeit (Tg) Bestimmung des Proportionalbeiwertes K aus y() und u0 K = y()/u0 K, Tu und Tg bestimmen die Parameter des Ersatzsystems Hinweise für die praktische Anwendung: Konstruktion der Wendetangenten Bewertung zur Modellgüte / Fehler & Unterschiede Ersatz-/ Ursprungssystem April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 3.5

Ersatzsystem PT1 April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 3.6

Beispiel für Ersatzsystem PT1 Blau: Messkurve Rot: Wendetangente Grün: PT1 Ersatzsystem Ablesen: Tu = 15 sec. Tg = 85 sec. K = 1 G(s) = e-sTu / (1+sTg) Sprungantwort h(t) = 1-e-(t-Tu)/Tg Für t > Tu, sonst 0 April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 3.7

Ersatzsystem höherer Ordnung Fall 2: Ersatzsystem höherer Ordnung n > 1 (ab PT2-Glied) Ersatzsystem mit gleicher Zeitkonstanten Vorgehen: Ermittlung / Einzeichnen der Anstiegstangente im Wendepunkt des Kurvenverlaufes Bestimmung der Verzugszeit (Tu) und Ausgleichszeit (Tg) Bestimmung des Proportionalbeiwertes K aus y() und u0 K = y()/u0 Bestimmung der Ordnung des Systems K, Tu und Tg bestimmen die Parameter des Ersatzsystems April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 3.8

Mathematische Betrachtung Wendepunkt Definition des Wendepunktes (mathematisch) Wendepunkt bedeutet mathematisch: 1. Ableitung im WP Max/Mini 2. Ableitung O-stelle im WP Wir finden den Wendepunkt der Sprungantwort in dem Zeitpunkt, wo sich das Maximum / Minimum der Ableitungskurve (Gewichtsfunktion) befindet. g(t) = y(t) = K / Tn · tn-1/ (n-1)! · e-t/T PTn-Glied gleiche Zeitkonst. . April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 3.9

Bestimmung Lage Wendepunkt für PTn-Glieder gleicher Zeitkonstanten Math. Vorschrift für WP: 0-stelle der 2. Ableitung g(t) = y(t) = K / Tn e-t/T [-1/T tn-1/(n-1)! + 1 /(n-2)! tn-2] . .. . g(to) = 0 : [-1/T tn-1/(n-1)! + 1/(n-2)! tn-2] = 0 to = T (n-1) Beispiel System 5. Ordnung T = 40 sec -> Lage des Wendepunkte bei 4 T = 160 s April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 3.10

Wert der Gewichtsfunktion im Zeitpunkt to (Wendepunkt) g(t) = y(t) = K / Tn · tn-1/ (n-1)! · e-t/T mit to = T (n-1) und Einsetzen ergibt g(to) = y(to) = K / Tn · ton-1/ (n-1)! · e-to/T g(to) = y(to) = K / Tn · Tn-1 (n-1)n-1/ (n-1)! · e-T(n-1)/T g(to) = y(to) = K / T · (n-1)n-1 / (n-1)! · e-(n-1) Ergebnis: mit zunehmender Ordnungszahl wird das Maximum kleiner Anstieg der Sprungantwort wird im Wendepunkt daher flacher für n = 1 (PT1-Glied) existiert kein Wendepunkt Maximum g(to) befindet sich im O-punkt (PT1-Glied) April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 3.11

Kurvenverläufe Sprung- und Gewichtsfunktion PTn-Glieder mit gleicher Zeitkonstanten April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 3.12

Kennpunkte der Sprungantwort PTn-Glieder mit gleicher Zeit T yq Kennwerte: Tu Verzugszeit Tg Ausgleichszeit yq Wert der Sprungantwort im Wendepunkt tq Zeitpunkt des Wendepunktes April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 3.13

Relationen / Math. Beziehungen to = T (n-1) yq/y() = 1 – e-(n-1) Σ (n-1)k/k! Einsetzen von to in y(t) Tg/T = (n-2)! /(n-1)n-2 en-1 Anstieg im Wendepunkt = y()/Tg Tu/T = n – 1 – (n-2)! / (n-1)n-2 [en-1 - Σ (n-1)k/k!] Zusammenstellung der Kennwerte für PTn mit Gleicher Zeitkonstante: April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 3.14

Fazit Tu / Tg ist nicht von T abhängig, sondern von der Ordnung n ! Es gilt näherungsweise für 1 <= n <= 7: n  10 Tu /Tg + 1 Mit Bestimmung der Kennwerte Tg, Tu, und y() können unmittelbar Die Werte für K, T und n bestimmt werden und damit ein Ersatz- System PTn für gleiche Zeitkonstanten angegeben werden G(s) = K / (1 + sT)n April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 3.15

Beispiel für Ersatzsystem (höherer Ordnung) Blau: Messkurve Rot: Wendetangente Grün: PT1 Ersatzsystem Pink: PT3-Ersatzsystem Ablesen: Tu = 15 sec. Tg = 85 sec. K = 1 n = 1O Tu/Tg +1 n = 3 T = to/2 = 20 sec G(s) = 1 / (1+sT)3 Sprungantwort: h(t) = 1 – e-t/T[1 + t/T + ½ t2/T2] April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 3.16

Alternative Verfahren zur Findung Ersatzsysteme (1) Strategie: Feststellen von Totzeiten Bei Totzeit Verschieben um Tt Konstruktion der Wende- tangenten Bestimmung der Ordnung über Verhältnis yWT(o)/y() Ansatz für n=2 mit PT2-Glied und 2 verschiedenen Zeit- konstanten Ansatz für n>= 2 mit PTn-Glied mit gleicher oder harmonisch gestaffelter Zeitkonstanten April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 3.17

Alternative Verfahren zur Findung von Ersatzsystemen Lösungsansatz: PT2-Glied mit unterschiedlichen Zeit- konstanten Aus dem Verhältnis der Werte y(t70/4) und y() ermittelt man q und damit T1 & T2 April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 3.18

Alternative Verfahren zur Findung von Ersatzsystemen (2) Bestimmung des PTx-Gliedes für gleiche und verschiedene Zeitkonstanten: Aus dem Verhältnis der Sprung- Antwortwerte y(t63/2) und y() ist n und D(n) festlegt. April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 3.19

Verfahren nach Radtke April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 3.20

Verfahren nach Sponer April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 3.21

Anwendungsbeispiel Kurvenverlauf: PT3-Ersatzsystem Excel-Beispiel : PTx-Kurve PTx-Kurve mit 1. und 2. Ableitung PTx-Kurve mit Wendetangente PTx-Kurve mit Bestimmung der Verzugszeit (Tu) PTx-Kurve mit Bestimmung der Ausgleichszeit (Tg) PTx-Kurve mit Ersatzsystem als PT1-Glied PTx-Kurve mit Ersatzsystem nach n = 10Tu/Tg + 1 April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 3.22

Erfahrungswerte zur Reglerein-stellung für technische Prozesse Über die Regelbarkeit von Prozessen gibt das Zeitverhältnis Tu/Tg Aufschluss: gut regelbar noch regelbar schwer regelbar Aus der Sprungantwort eines Systems mit Ausgleich kann direkt auf die Regelbarkeit geschlossen werden (Faustformel). Quelle: Samal April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 3.23

Einstellungsregeln für Regelstrecken und Regler Wenn gilt: Tg/Tu > 3 können die Regeln nach Chien, Hrones und Rewick angewendet werden. Führungsverhalten Reglerart Aperiodischer Verlauf ü=0 Regelverlauf mit 20% Überschwingen P-Regler KR PI-Regler TN PID-Regler TV April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 3.24

Beispiel für Regelkreis Messkurve zur Regelstrecke: Gesucht: Einstellung eines PI-Reglers nach Chien, Hrones und Rewick für minimales Überschwingen! April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 3.25

Beispiel für Regelkreis Messkurve zur Regelstrecke: Gesucht: Einstellung eines PI-Reglers nach Chien, Hrones und Rewick für Überschwingen von 20%! April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 3.26